Диссертация (1149516), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

e. 6 ˆ0 < +1ˆ = ˆ(ˆ−для некоторого целого > 0. Введем следующие обозначения: = (− ), ).В силу свойства единственности решений системы уравнений (1.3)–(1.4) , для решения(ˆ(), ˆ ) уравнения наблюдателя (2.1), (2.3) с начальными условиямиˆ0 = ,−ˆ(ˆ−0 ) = ( )20справедливы равенстваˆ = + ,ˆ = + ,ˆ = + , = 0, 1, 2, . . . ,и ˆ() = () для всех > . Такое решение (ˆ(), ˆ ) будем называть синхронным режимомнаблюдателя по отношению к решению ((), ).Следующее утверждение устанавливает взаимно однозначное соответствие между синхронным режимом и нулевой ошибкой выхода.Утверждение 2.1.

Следующие утверждения равносильны:(а) (ˆ(), ˆ ) — синхронный режим наблюдателя по отношению к ((), );(б) ˆ() ≡ () для всех > .Доказательство. Очевидно, что из (а) следует (б). Докажем утверждение в обратную сторону.Так как пара (, ) наблюдаема, пара (, ) также наблюдаема (см., например, [53], упр.3.35). Обозначим через ∆ ошибку состояний системы и наблюдателя: ∆() = () − ˆ(). Элементывектора ∆() могут иметь скачки лишь в моменты времени = и = ˆ , = 0, 1, .

. .,при этом в остальные моменты времени ∆() удовлетворяет линейному дифференциальному˙ = ∆(). Из условия (б) следует, что ∆() ≡ 0 для всех > . Следовательно,уравнению ∆˙¨∆()≡ 0, ∆()≡ 0 и т.д. Таким образом, ∆() ≡ 0 для любого > 1 во все моментывремени , где ∆() непрерывна. Тогда из наблюдаемости пары (, ) следует, что ∆() = 0 вовсех точках непрерывности функции ∆(·). Такое возможно лишь когда ∆() не имеет скачков и∆() ≡ 0 на интервале (0 , ∞).Синхронный режим (ˆ(), ˆ ) по отношению к ((), ) будем называть асимптотическиустойчивым в малом, если при достаточно малых отклонениях начальных значений |ˆ0 − | и‖ˆ0 − 0 ‖ уравнений системы и наблюдателя (где ‖ · ‖ — евклидова норма), выполняются соот-−ношения |ˆ − + | −→ 0 и ‖ˆ(ˆ− ) − (+ )‖ −→ 0 при → ∞, что влечет также выполнениеˆ − + | −→ 0 при → ∞.предельных соотношений |Обозначим для краткости = + .

Таким образом, синхронный режим наблюдателя поотношению к решению системы ((), ) характеризуется векторной последовательностью⎡ ⎤ˆ = ⎣ ⎦ .(2.4)Поскольку вектор () может в определенные моменты времени претерпевать скачки, близость () и ˆ() не может быть обеспечена для всех значений времени из-за эффекта “выброса21ошибки” (см.

раздел 1.1). Действительно, предположим, что ˆ и достаточно близки, но несовпадают в точности. Для определенности положим < ˆ . Тогда на интервале < < ˆ ,вектор () уже осуществил скачок, в то время как ˆ() еще нет, поэтому () и ˆ() на этоминтервале могут различаться значительно. Однако, близость состояния () и оценки ˆ() можетиметь место в том смысле, что существует целое > 0, зависящее от начальных условий такое,что ||ˆ − ˆ || −→ 0 при → +∞, где⎡ ⎤ˆˆ = ⎣ ⎦ .ˆТаким образом, под сходимостью наблюдателя будем понимать асимптотическую устойчивостьв малом синхронного режима.2.2.3Точечное отображение и его свойстваПоскольку основной задачей наблюдения является синхронизация дискретных последовательностей состояний наблюдателя и системы, то описание динамики системы объект—наблюдательможет быть сведено к дискретному (разностному) уравнению.

Для этого построим точечноеотображение, описывающее эволюцию состояния наблюдателя для фиксированного решения((), ) системы (1.3)–(1.4) :⎡⎤⎡⎤−ˆ)ˆ(ˆ−ˆ()⎣ ⎦ ↦→ ⎣ +1 ⎦ .ˆˆ+1(2.5)Обозначим для краткости = − ,(, ) = + lim ().→−0Для любых целых чисел и , 0 6 6 , определим множества, = {(, ) : ∈ R, ∈ R , 6 < +1 , 6 + Φ((, )) < +1 }.Следовательно, каждая точка (ˆ , ˆ ) расширенного состояния наблюдателя принадлежит одному из множеств , , т. е. каждой точке (ˆ , ˆ ) можно однозначно сопоставить две точки( , ) и ( , ) состояний объекта наблюдения (в случае, если = , эти точки совпадают)такие, что 6 ˆ < + Φ( ), 6 ˆ + Φ( ˆ ) < + Φ( ) (см.

рис. 2.1).Определим функцию (, ) по формуле (, ) = , (, ) при (, ) ∈ , , где, (, ) = (+Φ((,))− ) (+)−Φ((,))−∑︁[︀ (− ) +]︀( ) − − () − (+Φ((,))− ) .=+122Рисунок 2.1: Моменты импульсации объекта наблюдения и наблюдателяТеорема 2.1. Точечное отображение (2.5) задается дискретными уравнениямиˆ+1 = (ˆ , ˆ ),(2.6)ˆ+1 = ˆ + Φ((ˆ , ˆ )).Доказательство. Рассмотрим ошибку ∆() = () − ˆ() на интервале (ˆ , ˆ+1 ). Очевидно, ∆()˙удовлетворяет дифференциальному уравнению ∆()= ∆() во всех точках , где ∆(·) не имеетскачков. Функция ∆(·) имеет разрывы первого рода ∆(+ ) − ∆(− ) = в точках = , + 1 6 6 . Таким образом, имеем^∆(ˆ−∆(ˆ++1 ) = e ) + ∆, ,где∑︁∆, =(2.7)^ e(+1 − ) .=+1Тогда (2.7) может быть переписано как^ˆ − (ˆ+ )) − ∆, .ˆ+1 = (ˆ−(ˆ + +1 ) + e(2.8)Так как^(+1 − )(ˆ−(++1 ) = e ),^( − )(ˆ+(+) = e ),равенство (2.8) влечет (2.6).Теорема 2.2.

Если функции (·), Φ(·) имеют непрерывные производные, то отображение (, ) и его частные производные′ =,23′ =непрерывны.Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.Лемма 2.1. Функцию , (, ) можно представить в виде следующей суммы:, (, ) = (, ) + (, ) + (, ),где[︃ (, ) =Φ((,)) −(− ) (+)+ (, ) =(+Φ((,))− ) (+)−∑︁∑︁]︃ (− ) ,=1 (+Φ((,))− ) ,=1(, ) =Φ((,)) [ + ()] .Кроме того, верны следующие рекуррентные равенства:[︀]︀ (, ) − −1 (, ) = − Φ((,)) (− ) − (− ) ,(2.9)[︀]︀ (, ) − −1 (, ) = (Φ((,))+− ) − (Φ((,))+− ) .(2.10)Доказательство.

Первая часть леммы проверяется прямыми вычислениями. Рекуррентные равенства (2.9) получаются из следующих соотношений:[︀ ( − ) +]︀(− )−1(− ) (+)=()+−1+= (−−1 ) (−1) + (− ) .Подставляя в приведенную выше формулу вместо , получаем (2.10).Доказательство теоремы. Будучи суперпозициями непрерывных функций, функции , (, )также непрерывны для всех 0 6 6 по совокупности аргументов. Следовательно, функция (, ) может иметь разрывы только на поверхностях = {(, ) : = } или = {(, ) : + Φ((, )) = }.Пусть (, ) ∈ при некотором . Тогда из (2.9) следует, что (, ) = −1 (, ).Следовательно, (, ) непрерывна на этой поверхности.

Это верно и для частных производных (, ):′ = ( (, ))′ + ( (, ))′ + ((, ))′ ,′ = ( (, ))′ + ( (, ))′ + ((, ))′ ,24( (, ) − −1 (, ))′ = − Φ′ ((, )) Φ((,)) [(− ) − (− ) ],(︀( (, ) − −1 (, ))′ = Φ′ ((, )) ()Φ((,)) ×)︀×[(− ) − (− ) ]−Φ((,)) [(− ) − (− ) ] .Таким образом,( (, ))′ = (−1 (, ))′и( (, ))′ = (−1 (, ))′ ,так как ( − ) = 0.Пусть (, ) ∈ для некоторого . Из (2.10) получаем (, ) = −1 (, ),т.

е. (, ) непрерывна на этой поверхности. Непрерывность сохраняется и для частных производных:[︀( (, ) − −1 (, ))′ = Φ′ ((, )) (+Φ((,))− ) −]︀−Φ′ ((, )) (+Φ((,))− ) ,[︀( (, ) − −1 (, ))′ = − (Φ′ ((, )) () + 1) (+Φ((,))− ) +]︀+ (Φ′ ((, )) () − 1) (+Φ((,))− ) .Таким образом,( (, ))′ = (−1 (, ))′и( (, ))′ = (−1 (, ))′ ,так как ( − ) = 0.Очевидно, если (, ) ∈ ∩ , для некоторых и , тогда = = − Φ( − ( −(− ))), и из (2.9), (2.10), следует, что, (, ) = −1,−1 (, ).Следовательно, функция (, ) и ее частные производные непрерывны на ∩ .Обозначим оператор, осуществляющий отображение (2.5) через⎡⎤⎡ ⎤ (, )⎦ , где = ⎣ ⎦ .() = ⎣ + Φ((, ))25Тогда из Теоремы 2.1 следует, чтоˆ+1 = (ˆ ).Под -ой итерацией оператора будем понимать суперпозицию операторов() () = ((.

. . (( )) . . .)).⏞⏟Поскольку отображение (, ) является гладким, то и () также является гладким, и, следовательно, может быть линеаризовано в окрестности точек синхронного режима. Согласно определению, ′ — матрица с размерностью × , и ′ — –мерный столбец. Тогда матрица Якоби() имеет вид⎡′ (, )′ (, )′ () = ⎣Φ′ ((, ))′1 + Φ ((, )) ()⎤⎦.Согласно правилу дифференцирования сложной функции, матрица Якоби суперпозиции () ()вычисляется следующим образом:(︀−1∏︁ (︀)︀′)︀() () =′ (−1−) () .(2.11)=0Так как для синхронного режима выполнено ˆ = , ˆ = и ˆ+1 = +1 , ˆ+1 = +1 ,тоˆ+1 = , +1 (ˆ , ˆ )для всех > 0. Заметим, что Φ(( , )) = Φ( ).

Обозначим для краткости Φ′ = Φ′ ( ),′ = ′ ( ).Для всех > 0 определим матрицу с блоками( )11 = Φ′ +1 + Φ( ) ( + ′ ) ,( )12 = +1 (1 + Φ′ ) − Φ( ) (( + )) ,( )21 = Φ′ ,( )22 = 1 + Φ′ .Теорема 2.3. Для любого > 0 матрица Якоби оператора (·) в точке ˆ может быть вычислена как′ (ˆ ) = .Для доказательства теоремы рассмотрим две леммы.Лемма 2.2. Справедливо следующее равенство:[︀]︀,+1 (, ) = Φ((,)) − Φ((,)) (− ) (+ )+[︀]︀+ +1 (+Φ((,))−+1 ) − (+Φ((,))−+1 ) ++ Φ((,)) [ + ()] .26(2.12)Доказательство. Доказательство леммы следует из теоремы 2.1 и очевидной формулы(+1 − )(+(++1 ) = ) + +1 .Лемма 2.3.

Частные производные (, ) в точке ( , ) могут быть вычислены как′ ( , ) = Φ′ +1 + [ + ′ ] ,′ ( , ) = +1 (1 + Φ′ ) − ( + ).Доказательство. Очевидно, ( , ) ∈ ,+1 , следовательно, ( , ) = ,+1 ( , ). Как былопоказано в теореме 2.2, частные производные (, ) непрерывны. Тогда ( , ) = ( , ) =,+1 ( , ),,+1 ( , ).Прямыми вычислениями получаем[︀]︀,+1 (, ) = Φ′ ((, )) Φ((,)) − Φ((,)) (− ) (+ ) +[︀]︀+ +1 Φ′ ((, )) (+Φ((,))−+1 ) − (+Φ((,))−+1 ) +[︀]︀+ Φ′ ((, ))Φ((,)) + () +]︀[︀+ Φ((,)) + ′ () ,[︀]︀,+1 (, ) = Φ′ ((, )) () Φ((,)) − Φ((,)) (− ) (+)+[︀]︀+ Φ((,)) − Φ((,)) (− ) (+)+[︀]︀+ +1 (1 + Φ′ ((, )) ()) (+Φ((,))−+1 ) − (+Φ((,))−+1 ) +[︀]︀+ Φ′ ((, )) ()Φ((,)) + () .Так как Φ(( , )) = Φ( ), + Φ( ) − +1 = 0 и ( − ) = 0, получаем[︀]︀,+1 ( , ) = Φ′ ( ) Φ( ) − Φ( ) (+ )+[︀]︀+ Φ′ ( )Φ( ) [ + ] + Φ( ) + ′ ( ) ,[︀ Φ( )]︀Φ( ))+−(+,+1 ( , ) = Φ′ ( ) Φ( ) (+ ).Φ( )(+Подстановкой (+ ) = + и ) = +1 получаем утверждение леммы 2.3.Теорема 2.3 является прямым следствием леммы 2.3.Из теоремы 2.3 и формулы (2.11) следует, что для любого > 1 матрица Якоби можетвычислена как(︀ () )︀′ 0(ˆ ) = +−1 +−2 .

. . +1 .27(2.13)2.2.4Устойчивость синхронного режима по отношению к -циклуПусть ((), ) — решение системы (1.3), (1.4) с импульсами на периоде (-цикл), где некоторое целое число, > 1. Тогда + ≡ , + ≡ , + ≡ . Рассмотрим синхронныйрежим наблюдателя по отношению к ((), ). Пусть ˆ — соответствующая последовательностьвекторов (2.4), удовлетворяющая ˆ+1= (ˆ ).Рассмотрим ранее определенные матрицы . Так как + ≡ , то последовательность{ }∞=0 содержит не более чем различных матриц, а именно 0 , .

Характеристики

Список файлов диссертации