Диссертация (1149516), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.2). Такой эффект называетсявыбросом рассогласования импульсных сигналов (peaking phenomenon) [36, 60, 69, 95].Значительное число работ было посвящено наблюдаемости гибридных систем, содержащих непрерывную и импульсную части. Однако, большая часть этих работ использует гибридные наблюдатели в негибридных системах управления для улучшения качества работы системы [26, 27, 34, 76, 77, 93]. Более того, в в литературе не рассматривался случай, когда моментывозникновения скачков неизвестны, т. к.
в инженерных приложениях обычно рассматриваетсязадача синтеза импульсного регулятора, для которого параметры импульсов (их амплитуды и моменты импульсации) предполагаются измеряемыми [14, 20, 22, 41, 92]. Проблема неизмеряемыхмоментов импульсации характерна для некоторых биомедицинских моделей, где импульсныйсигнал не является частью внешнего воздействия, а формируется внутри организма, в результате работы внутренних органов и, прежде всего, головного мозга. Такой импульсный сигналзачастую не может быть измерен без причинения вреда живому организму, что недопустимо поэтическим соображениям. Отсюда возникает нетрадиционная и нетривиальная задача наблюдения.14Еще одной сложностью, возникающей в задачах наблюдения состояний системы с недоступным измерению импульсным воздействующим сигналом, является анализ устойчивости наблюдателя. Импульсный характер обратной связи приводит к возникновению скачков в состоянииисследуемой системы, причем, как правило, моменты импульсации генерируемые наблюдателемне совпадают с моментами импульсации исходной системы.
Это приводит к тому, что ошибканаблюдения также претерпевает скачки и при сколь угодно больших значениях времени имеетместо выброс этой ошибки.0.20.18x10.160.140.120.10.080.060.04100200300400500600700800900tРисунок 1.1: Графики компонент, претерпевающих скачки, двух 1-циклов с близкиминачальными данными.15|t10 − t20 | = 150.2||x1 (t) − x2 (t)||0.150.10.050100200300400500600700800900600700800900t⃒⃒(а) ⃒10 − 20 ⃒ = 15|t10 − t20 | = 50.2||x1 (t) − x2 (t)||0.150.10.050100200300400500t⃒⃒(б) ⃒10 − 20 ⃒ = 5|t10 − t20 | = 20.2||x1 (t) − x2 (t)||0.150.10.050100200300400500600700800900t⃒⃒(в) ⃒10 − 20 ⃒ = 2Рисунок 1.2: Графики разности разрывных координат двух решений при 10 = 20 и 10 − 20 ̸= 0.Из условия |10 − 20 | ≈ 0 не следует, что |1 () − 2 ()| ≈ 0 при всех .1.2Линейные системы с запаздываниемРассмотрим следующую систему линейных уравнений с запаздыванием:()˙= 0 () + 1 ( − ),16(1.9)где 0 , 1 — вещественные постоянные × матрицы.
Пусть начальные условия определеныкусочно-непрерывной функцией : [−, 0] → R и () = (), ∈ [0 − , 0 ].Характеристическое уравнение системы (1.9) выглядит следующим образом:]︀[︀() = det − 0 − 1 e− = 0.(1.10)Уравнение (1.10) является трансцендентным уравнением и в общем случае может иметь бесконечное число корней. Однако известно, что справа от любой вертикальной прямой Re = constна комплексной плоскости может находиться лишь конечное число корней.Введем понятие экспоненциальной устойчивости системы (1.9), что в линейном случае эквивалентно асимптотической устойчивости [56].Определение 1.1. Система (1.9) называется экспоненциально устойчивой, если существуют > 1 и > 0 такие, что любое решение () системы удовлетворяет неравенству||()|| 6 e− ||||[0 −,0 ] ,где норма ||||[0 −,0 ] =sup∈[0 −,0 ] > 0 .||()||.Определение 1.2.
Комплексное число 0 называется собственным числом системы (1.9), если оно является корнем характеристического уравнения (). Множество Λ = { | () = 0}называется спектром системы (1.9).Теорема 1.1 ( [18]). Система (1.9) экспоненциально устойчива тогда и только тогда, когда всеее собственные числа лежат строго в левой полуплоскостиRe 0 < 0,∀0 ∈ Λ.Определение 1.3. Система (1.9) называется конечномерно-приводимой (FD-приводимой), еслисуществует матрица такая, что любое решение (1.9) удовлетворяет системе линейныхуравнений без запаздывания()˙= ()для всех > 0 + .Следующая лемма устанавливает необходимые и достаточные условия конечномерной приводимости системы (1.9).Лемма 1.1 ( [30]). FD-приводимость системы (1.9) эквивалентна любому из следующих двухусловий:171.
Выполнено 1 0 1 = 0 для всех = 0, 1, . . . , − 1;2. Существует невырожденная квадратная матрица ∈ R такая, что⎡⎤⎡⎤000⎦ , −1 1 = ⎣⎦, −1 0 = ⎣¯ 0(1.11)¯ имеют одинаковые размеры.где блоки , — квадратные, а блоки , Если система (1.9) FD-приводима, то определяется формулой = 0 + 1 e−0 .Для FD-приводимой системы (1.9) спектр ee спектр совпадает со спектрами матриц матрицы0 , и не зависит от :[︀]︀det − 0 − 1 e−0 = det [ − 0 ]для любого комплексного числа и любого . Заметим, что обратное утверждение неверно(см. [103]), т.е.
FD-приводимость не следует из того, что система (1.9) имеет конечный спектр.Рассмотрим теперь систему импульсных уравнений (1.3), (1.4), добавив в непрерывную частьпостоянное запаздывание [30]:()˙= 0 () + 1 ( − ),+1 = + ,(+)=(−)() = (),() = (),(1.12)+ , = Φ(( )), = (( )),где 0 ∈ R × , 1 ∈ R × — постоянные матрицы. Система (1.12) рассматривается при > 0 с начальным условием () = (), 0 − 6 < 0 , где () — некоторая непрерывная начальная вектор-функция.
Будем считать, что величина запаздывания строго меньше минимальновозможной длины промежутка между двумя последовательными импульсами, т.е. < inf Φ().Это означает, что на любом интервале времени длины может быть не более одного импульса.Введем новое понятие наблюдаемости, которое сочетает в себе понятия спектральной наблюдаемости (см., например, [80, 83]) и FD-приводимости.
Заметим, что для модели гормональнойрегуляции, рассмотренной в [30], это свойство имеет место.Определение 1.4. Линейную часть системы (1.12) будем называть спектрально FD-наблюдаемой, если для любого набора комплексных чисел Λ = { , = 1, . . . , }, в котором вместе скомплексным числом в этот набор входит и комплексно-сопряженное число ¯ той же кратности, существует вещественная матрица такая, что спектр матрицы 0 − совпадаетc Λ, и, кроме того,1 (0 − ) 1 = 0 для = 0, 1, . . . , − 1.18(1.13)Глава 2Наблюдатели состояния с обратной связьюв дискретной части наблюдателя2.1Постановка задачиРассмотрим импульсную систему (1.3)–(1.4):()˙= (),() = (),−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),() = (),+1 = + , = (( )),с обозначениями и предположениями, приведенными в параграфе 1.1.Требуется на основе измеряемого вектора () оценить вектор состояния ().
Как следуетиз рассуждений выше, основная сложность разработки наблюдателя для гибридной системыˆ ) импульсных параметров ( , ), в то время как(1.3)–(1.4) состоит в получении оценок (ˆ , оценки вектора состояния () на непрерывных интервалах могут быть получены с помощьюстандартной техники наблюдения. При этом главной задачей гибридного наблюдения являетсяобеспечение асимптотической сходимости последовательности {ˆ } к { }, т. е. синхронизациимоментов импульсации наблюдателя и системы.192.2Использование пропорциональной обратной связи в дискретной части наблюдателя2.2.1Уравнения наблюдателяВ работе [32] для оценивания вектора состояния системы (1.3)–(1.4) рассматривался следующийнаблюдатель с обратной связью в непрерывной части:ˆ˙ () = ˆ() + (() − ˆ()),ˆ() = ˆ(),ˆ() = ˆ(),ˆˆ(+ˆ(−) = ) + ,(2.1)ˆ = (ˆ (ˆ )),ˆ+1 = ˆ + ˆ ,иˆ = Φ(ˆ (ˆ )),(2.2)где — матрица коэффициентов усиления в непрерывной части наблюдателя, обеспечивающаягурвицевость матрицы = − .Основным недостатком наблюдателя (2.1), (2.2) является его медленная сходимость, поскольку коррекции производятся только в непрерывной части.
В связи с этим, введем дополнительнуюобратную связь в дискретную часть наблюдателя и будем рассматривать следующий закон частотной модуляции:ˆ = Φ(ˆ (ˆ ) + ((ˆ ) − ˆ(ˆ ))).(2.3)В отличие от наблюдателя (2.1), (2.2), наблюдатель (2.1), (2.3) имеет две матрицы коэффициентов усиления в двух контурах обратной связи — и , где ∈ R1× — матрица коэффициентов усиления в дискретной части наблюдателя, а — матрица коэффициентов усиленияв непрерывной части наблюдателя. При = 0 наблюдатель (2.1), (2.3), очевидно, совпадает снаблюдателем (2.1), (2.2).2.2.2Синхронный режимПусть ((), ) — решение системы (1.3)–(1.4) с параметрами , , и (− ). Будем считать, чтонаблюдаемый объект уже функционирует в момент включения наблюдателя, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
