Диссертация (1149516), страница 3
Текст из файла (страница 3)
[21, 24]).Биологический осциллятор, предложенный Брайаном Гудвиным в 1965 году [43, 44], служит для описания механизма колебаний, возникающих в биохимических системах третьего иболее высоких порядков. С точки зрения нелинейной динамики, он представляет собой систему нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка. При определенных условияхв этой системе могут возникать периодические колебания. В дальнейшем различные вариантыуравнений Гудвина стали использоваться при моделировании колебаний в других областях биологии [25, 45, 46, 63, 78, 79, 87, 98]. В 1980-е годы модель Гудвина была расширена Р.
Смитом дляописания биологических процессов, связанных с периодическими колебаниями в эндокринныхсистемах регуляции тестостерона (модель Гудвина–Смита [85, 86]). К недостаткам осциллятораГудвина относится то, что периодические решения в нем возникают лишь при довольно жесткихпредположениях к параметрам системы, причем некоторые из этих предположений не являются биологически обоснованными. Кроме того, в эндокринных системах колебания носят выраженный импульсный характер, что также не учитывалось моделью Гудвина–Смита. Поэтомуестественной явилась мысль улучшить адекватность модели Гудвина–Смита путем ее модифицикации на основе теории импульсных систем. Такая модифицированная модель, впоследствииназванная импульсным осциллятором Гудвина, была предложена в [31].Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с импульсами [31], состояющую изнепрерывной и дискретной частей:()˙= (),() = (),10() = (),(1.3)−(+ ) = ( ) + , = Φ(( )),+1 = + ,(1.4) = (( )),где ∈ R × , ∈ R , ∈ R1× , ∈ R × – постоянные матрицы кoэффициентов, ()— вектор состояния, () — измеряемая часть вектора состояния, () — модулирующий сигнал.Состояние системы испытывает скачки в моменты времени 0 , 1 , 2 , .
. . , где < +1 и → ∞при → ∞. На интервалах между импульсами ( , +1 ), = 0, 1, . . . система описываетсялинейными дифференциальными уравнениями (1.3). Уравнения (1.4) описывают дискретнуючасть системы.Функции (·) и Φ(·) (амплитудная и частотная модуляционные характеристики) являютсянепрерывными, строго монотонными и ограниченными, причем их значения строго положительны и отделены от нуля:0 < Φ1 6 Φ(·) 6 Φ2 ,0 < 1 6 (·) 6 2 ,(1.5)где Φ1 , Φ2 , 1 , 2 — положительные константы. В силу биологических свойств системы Φ(·) —неубывающая и (·) — невозрастающая, т.
е. чем больше значение модулириующего сигнала,тем меньше частота и амплитуда импульсов (отрицательная импульсная обратная связь). Такимобразом, уравнения (1.4) определяют комбинированную (амплитудно-частотную) импульснуюмодуляцию [42].Предположим, что матрица — гурвицева, т. е. все ее собственные числа имеют отрицательные вещественные части.
Пусть пара матриц (, ) наблюдаема, т. е. матрица[︁]︁ 2 . . . −1 имеет полный строчный ранг, и выполнены соотношения = 0, = 0,(1.6)обеспечивающие непрерывность функций () и (). Вектор состояния () системы (1.3) претерпевает скачки в моменты времени . Напомним, что через (− ) и (+ ) мы обозначаем левосторонний и правосторонний пределы функции (·) в точке .
Альтернативные обозначения —( − 0) и ( + 0) соответственно.Из гурвицевости матрицы и ограниченности функций Φ(·) и (·), следует, что все решения системы (1.3)–(1.4) ограничены. Так как все модуляционные характеристики являютсястрого положительными, у системы (1.3)–(1.4) отсутствует состояние равновесия [31].
В [31]были найдены условия существования простейших периодических решений (с одним и двумяимпульсами на периоде) в (1.3)–(1.4). В работе [112] были обнаружены решения более выокойпериодичности (с большим числом импульсов на периоде) и было показано, что в некоторыхобластях пространства параметров система (1.3)–(1.4) может иметь хаотическую динамику.11Начальные условия для системы (1.3)–(1.4) задаются в виде пары ((−0 ), 0 ), т. е. в качестве начального момента времени мы рассматриваем время возникновения первого импульса 0 .Введем обозначение = (− ). Тогда любое решение () системы (1.3)–(1.4) удовлетворяетдискретному уравнению+1 = ( ),(1.7) () = eΦ() ( + ()).(1.8)гдеВ результате, система двух дискретных уравнений — (1.7) и +1 = + Φ( ) полностью определяет динамику системы (1.3)–(1.4) в точках = , = 0, 1, .
. .. Значения решения в промежуточных точках легко могут быть восстановлены по этим дискретным значениям [31].Рассмотрим периодическое решение уравнения (1.7), и, следовательно, системы (1.3)–(1.4).Множество точек (0 ) = {0 , 1 , . . . }, где +1 = ( ), обычно называют орбитой дискретнойсистемы (1.7), проходящей через точку 0 .Решение { }, = 0, 1, . . . системы (1.7) называется -периодическим, если — натуральное число, для которого справедливы следующие соотношения1 = (0 ),2 = (1 ),... = (−1 ), = 0 ,при этом все вектора 0 , . . .
, −1 различны. В случае = 1 мы получаем единственное соотношение 0 = (0 ).Начальное значение 0 для -периодического решения удовлетворяет условию 0 = () (0 ), где () (0 ) = ( (. . . ))(0 ).⏞⏟Орбитой такого решения является последовательность (0 ) = (0 ) = {0 , 1 , . . . , −1 },которая определяет –периодическую орбиту дискретной системы (1.7).Пусть последовательность образует -периодическое решение уравнения (1.7), а () —−решение системы (1.3)–(1.4) при > 0 с начальными условиями (−0 ) = 0 . Тогда ( ) = , > 0, и решение () является периодическим с периодом = Φ(0 ) + · · · + Φ(−1 ) и имеетровно импульсов на любом промежутке вида [ , + ). Кроме того, = 0 + . Такоерешение () называется -циклом.12Рассматриваемая импульсная система (1.3), (1.4) имеет непрерывное состояние () ∈ R идискретное состояние , поэтому размерность ее фазового пространства равна + 1.
В то жевремя, фазовое пространство дискретной системы (1.7) -мерно и совпадает с R . Таким образом, оно представляет собой гиперплоскость в ( + 1)-мерном фазовом пространстве системы(1.3), (1.4), причем дискретное преобразование (1.7) задает преобразование этой гиперплоскостив себя. В теории гибридных систем дискретное отображение (1.7) носит название отображенияПуанкаре [48] (по аналогии с отображением Пункаре для систем в непрерывном времени).Нетрудно убедиться, что решения импульсной системы (1.3)–(1.4) не являются устойчивыми в ляпуновском смысле, т.
е. устойчивыми по отношению к малым возмущениям начальныхзначений [49, 84]. В то же время, мы можем рассмотреть устойчивость связанной с (1.3)–(1.4)дискретной системы (1.7). В отличие от импульсной системы, решения дискретной системы(1.7) могут обладать устойчивостью в смысле Ляпунова.
С практической точки зрения, ляпуновская устойчивость решений преобразования Пуанкаре (1.7) обычно достаточна для того, чтобысистема рассматривалась как работоспособная.Орбита (0 ) дискретной системы (1.7) называется асимптотически устойчивой [58], если1) для любой окрестности ⊃ существует окрестность ⊃ такая, что ∈ для всех0 ∈ и > 0;2) существует окрестность 0 ⊃ такая, что расстояние dist( , ) → 0 для всех 0 ∈ 0 при → ∞.Здесьdist( , ) = inf ‖ − ‖,∈где ‖ · ‖ — евклидова векторная норма.Для системы (1.7) -периодическая орбита {0 , 1 , .
. . , −1 } является локально асимптотически устойчивой, если все собственные значения матричного произведения −1 . . . 1 0 лежатстрого внутри единичного круга, где – матрица Якоби отображения (), вычисленная в точке [58]. Таким образом, для системы (1.7) локальная устойчивость -цикла может быть установлена путем линеаризации отображения () в малых окрестностях точeк , = 0, . . .
, − 1.˜ 0 , 0 )Рассмотрим ( + 1)-мерную орбиту (множество упорядоченных пар) (={( , ), = 0, 1, . . . }. Ясно, что она не является периодической даже в случае, когда (0 )является -периодической орбитой системы (1.7). Поскольку +1 = + Φ( ), даже для асимптотически устойчивой , расширенная орбита ˜ не будет асимптотически устойчивой. Действительно, при малых возмущениях начального значения 0 разность между значениями для13возмущенного и невозмущенного решений будет малой при всех > 0, но не стремится к нулюс ростом .Таким образом, если решение дискретной системы Пуанкаре (1.7) (порядка ) может обладать асимптотической устойчивостью по Ляпунову, для решений дискретной системы порядка +1, состоящей из системы Пуанкаре (1.7) и уравнения +1 = +Φ( ), можно рассматриватьтолько устойчивость по Ляпунову, но не асимптотическую устойчивость по Ляпунову.Если же рассмотреть импульсную систему (1.3), (1.4) в непрерывном времени, то для еерешений отсутствует даже обычная (не асимптотическая) устойчивость по Ляпунову, понимаемая в традиционном для обыкновенных дифференциальных уравнений смысле.
Для импульсныхсистем понятие устойчивости требует существенной модификации (см., например, [59, 81]).Поясним сказанное с помощью графических иллюстраций. На рис. 1.1 видно, что начальныезначения и траектории двух решений (рассматриваемые как множества в фазовом пространстве)близки, но значения решений существенно отличаются на коротких промежутках времени междусоседними скачками двух решений.Рассмотрим две разрывные функции, которые описывают решения уравнений (1.3), (1.4) сблизкими начальными условиями.
Пусть решение (1 (), 1 ) является 1-циклом и отвечающееему преобразование Пуанкаре асимптотически устойчиво. Рассмотрим второе решение (2 (), 2 )с начальными данными, достаточно близкими к начальным данным первого решения: (10 , 10 ) ≈(20 , 20 ). Однако, даже при 10 = 20 из условия 10 ≈ 20 не следует выполнение соотношения1 () ≈ 2 (), в том числе при больших значениях (см. рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
