Диссертация (1149516), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В случае наблюдателя с пропорциональной обратной связью в дискретной части построитьточечное преобразование (оператор сдвига по траектории системы), описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получить условияасимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодического решения импульсной системы.2.
В случае наблюдателя с интегральной обратной связью и комбинированной частотноймодуляцией в дискретной части наблюдателя построить точечное преобразование, описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получить условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодическогорешения импульсной системы.3. Для импульсной системы с запаздыванием и наблюдателя без запаздывания и с разрывнойобратной связью построить точечное преобразование, описывающее эволюцию состояний5наблюдателя от импульса к импульсу; с его помощью получить условия асимптотическойустойчивости в малом режима наблюдения периодического решения.4.
Для импульсной системы с запаздыванием и наблюдателя с запаздыванием построить точечное преобразование, описывающее эволюцию состояний наблюдателя от импульса кимпульсу; с его помощью получить условия асимптотической устойчивости в малом режима наблюдения периодического решения.5. Применить полученные результаты к исследованию математической модели гормональнойрегуляции тестостерона в мужском организме.Помимо описанной выше практической значимости, поставленные задачи имеют теоретический интерес: построение дискретного точечного преобразования (в теории гибридныхсистем оно носит название отображения Пуанкаре [48]), описывающего эволюцию состояниянаблюдателя от импульса к импульсу, и его исследование само по себе является нетривиальнойматематической задачей.В первой главе диссертационной работы приводятся вспомогательные сведения, необходимые для формулировки и доказательства основных результатов.Во второй главе рассматриваются наблюдатели состояния импульсной системы с обратнойсвязью в дискретной части наблюдателя.
Предлагается новая схема наблюдателя с пропорциональной обратной связью в дискретной части. Выводится формула дискретного преобразования,описывающего эволюцию состояния наблюдателя от импульса к импульсу, приводятся его свойства. Неподвижные точки этого отображения и его итераций отвечают периодическим решениямуравнения наблюдателя. Путем линеаризации этого дискретного отображения в малых окрестностях периодических режимов, выводятся условия локальной асимптотической устойчивостирежима наблюдения (синхронного режима).
Затем рассматривается наблюдатель с интегральнойобратной связью в дискретной части и с комбинированной частотной модуляцией. Выводятсяусловия устойчивости в малом синхронного режима для такого наблюдателя.В третьей главе рассматриваются наблюдатели состояния импульсной системы с запаздыванием. Поскольку при определенных предположениях исходная система с запаздыванием можетбыть аппроксимирована системой без запаздывания, предлагается рассмотреть наблюдатель беззапаздывания с кусочно-постоянной матрицей коэффициентов усиления, который осуществляетнаблюдение аппроксимирующей модели.
Для такого наблюдателя выводится формула дискретного преобразования, описывающего эволюцию состояния наблюдателя от импульса к импульсу.Приводятся условия гладкости данного отображения и, путем его линеаризации в малых окрестностях периодических режимов, выводятся условия локальной асимптотической устойчивости6синхронного режима. Установлено, что такой наблюдатель предъявляет довольно жесткие требования к наблюдаемости системы. С целью ослабления этих требований, рассматривается другаясхема наблюдателя — наблюдатель с запаздыванием, копирующий структуру исходной системы.Выводится формула отображения Пуанкаре, с его помощью находятся условия асимптотическойустойчивости в малом синхронного режима.В четвертой главе полученные результаты применяются к исследованию математической модели гормональной регуляции тестостерона в мужском организме.
Предлагается алгоритм выбора коэффициентов усиления наблюдателя с пропорциональной обратной связью в дискретнойчасти для практически важного случая 1-периодического решения системы (1-цикла), обеспечивающий локальную устойчивость синхронного режима, а также высокую скорость сходимости.Для всех типов рассмотренных наблюдателей приводятся результаты компьютерного моделирования, подтверждающие их работоспособность.В заключении перечислены основные результаты работы.Достоверность изложенных в работе теоретических результатов обеспечивается их строгимматематическим доказательством.Все основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором самостоятельно.По теме диссертации опубликовано восемь работ [12, 102–108], в том числе семь — в изданиях из перечня научных журналов, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией дляпубликации основных научных результатов диссертаций, из которых шесть работ в изданияхиз базы цитирования Scopus.Основные научные результаты работы представлены на девяти российских и международныхконференциях.7Глава 1Предварительные сведения1.1Системы с импульсамиДинамические системы, математические модели которых содержат как непрерывную, так и дискретную части, называются гибридными.
Такие модели служат для описания различных динамических процессов, возникающих в большинстве сетевых систем управления [16, 50, 65, 68, 75,99,109,111], в мультиагентных системах [71,72,94,100], непрерывных системах с переключениями [19,62], непрерывных системах с импульсной обратной связью [47,64,74,101] и др.
Из-за особенностей взаимодействия между собой динамик различной природы, исследование гибридныхсистем, как правило, является более сложным, чем чисто дискретных или чисто непрерывныхмоделей.Отдельно выделим особый класс гибридных систем — системы с импульсным воздействием, т. e. системы со скачками вектора состояния в некоторые моменты времени [4, 7, 9, 10, 17,59, 88–90]. Они описывают случай, когда длительность импульса мала по сравнению со временем переходных процессов в системе, тогда ею можно пренебречь и рассматривать импульсынулевой длительности (мгновенные импульсы, скачки).
Cистемы c импульсным воздействием(для них часто используют термины системы со скачками, импульсные системы, по-английски —impulsive systems) имеют достаточно широкое применение в цифровых системах, радиоэлектронике, механике, системах регулирования температуры, частотных датчиках, фильтрах, а также вбиологии и медицине. Так, в технике используются импульсные модуляторы, которые работаютпо принципу замыкания/размыкания ключевого устройства, а в биологии взаимодействие нейронов осуществляется путем распространения нервных импульсов.
При этом импульсный характерпроцессов может быть обусловлен как принципом действия самой системы, так и внешним импульсным управлением.8В импульсных системах (системах с импульсным воздействием) непрерывная динамика задается с помощью дифференциальных или интегральных уравнений, описывающих поведениединамической системы в промежутках между скачками (см. [1, 2, 5, 6, 8, 11, 33, 42, 57]). Дискретная динамика описывается функциональными уравнениями, которые определяют мгновенное изменение состояния и моменты возникновения импульсов. Таким образом, с точки зренияматематическом классификации, импульсные системы можно отнести к более общим классамфункционально-дифференциальных или функционально-интегральных уравнений.Рассматривают два основных вида импульсных систем.
В первом, моменты возникновенияимпульсов фиксированы и не зависят от решения системы. Во втором, который и будет рассматриваться в этой работе, расстояние между импульсами определяется из некоторых функциональных соотношений.В случае, который мы будем рассматривать, положение каждого следующего импульса вычисляется в зависимости от значения некоторого сигнала (называемого модулирующим) в момент возникновения предыдущего импульса. Такой принцип формирования моментов импульсации иногда называют импульсной модуляцией первого рода (type 1 modulation) или self-triggeredcontrol. В более сложном случае величина определяется неявно, как корень некоторого функционального уравнения, зависящего от модулирующего сигнала. В зависимости от вида этогофункционала различают разные виды формирования импульсов — импульсная модуляция второго рода (type 2 modulation), интегральная модуляция, event-triggered control, integrate-and-fire идр.Мы будем рассматривать следующую модель формирования импульсов.
Пусть () — векторсостояний системы в момент времени (кусочно-постоянная функция), { }∞=0 — возрастающаяпоследовательность моментов импульсации, () — модулирующий сигнал (непрерывная функция). Тогда скачки состояния описываются с помощью соотношений−(+ ) = ( ) + , = (( )).(1.1)Здесь (+ ), (− ) — правосторонний и левосторонний пределы функции (·) в точке , — заданный постоянный вектор, (·) — заданная непрерывная функция. Число называют амплитудой или весом -го импульса, а функцию (·) — амплитудной импульсной характеристикой.Моменты импульсации определяются рекуррентным соотношением+1 = + , = Φ(( )),(1.2)где Φ(·) — заданная непрерывная функция, называемая частотной импульсной характеристикой.Величина называется длиной импульсного интервала, в современной англоязычной лите9ратуре иногда используется термин dwell-time.
Обратная величина 1/ характеризует частотуследования импульсов.Таким образом, уравнения (1.1), (1.2) описывают правило, при котором параметры скачков , являются функционалами от модулирующего сигнала (·). Такие параметры называютсямодулированными, причем говорят, что формула (1.1) описывает амплитудно-импульсную модуляцию, а формула (1.2) — частотно-импульсную модуляцию [3, 11, 42].Многочисленные исследования в области математической биологии показали, что математические модели биологических систем часто характеризуются отсутствием состояния равновесияи обладают сложной динамикой, включающей хаотическое поведение [35, 52, 61, 70, 82, 91, 110],что является следствием присутствия колебаний в живых организмах — от простейших бактерийдо более сложных форм жизни. Помимо колебаний, вызванных внешним периодическим воздействием (например, периодической сменой дня и ночи), в биологических системах с обратнойсвязью могут возникать также автоколебания (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
