Диссертация (1149434), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Ее удобно записать в блочном виде(0)V11 V12V0∆V11 ∆V12 = 11+.V = (0)V21 V220 V22∆V21 ∆V22(1.18)Блок V11 конечномерный и определяется на сформированном наборе g, а бесконечномерный блок V22 определяется на всех прочих волновых функциях,20не вошедших в g. Матрица V (0) диагональна и вещественна.
На диагоналяхее стоят суммы соответствующих дираковских энергий, что дает энергиюмногоэлектронной конфигурации без учета КЭД поправок. Матрица же ∆Vне диагональна и содержит матричные элементы различных КЭД поправок.В этой работе учитываются поправки на собственную энергию электрона (внизшем порядке), на поляризацию вакуума (в низшем порядке) и на одно- идвухфотонный обмен. Данные поправки в матрице ∆V учтены точно. Болеетого, их учет в рамках МКЛ приводит также к частичному учету и всехвысших поправок.
В Приложении A приводятся матричные элементы ∆V вявном виде.Далее матрица V диагонализуется и ищутся ее собственные вектора исобственные значения. Диагонализация происходит в два этапа. Сначалачисленно диагонализуется конечномерная матрица V11diagV11= B t V11 B ,B tB = I ,(1.19)где матрица B t осуществляет унитарное преобразование базисного набораg к такому набору, в котором матрица V11 диагональна.
Удобно составитьматрицу AA = B 00 I(1.20)где I обозначает единичную матрицу. Преобразуя матрицу V с помощьюматрицы A получаемV 0 = At V A = diagV11∆V21 BtB ∆V12V22.(1.21)Так как нас интересуют собственные вектора матрицы V , соответствующиесостояниям ngi и ngf , которые слабо смешиваются со состояниями не включенными в набор g, мы можем диагонализировать матрицу V 0 по теории21возмущений. Если матрица V 0diag = C t V 0 C, то матрицу C можно получатьпорядок за порядком:(0)0(1)Cij = Cij + Cij + . . .
= Iij + (∆V21 B)ijEj −Ei(B t ∆V12 )ijEj −Ei(V22 )ijEj −Ei + . . . . (1.22)Исходная матрица V при этом может быть диагонализированна с помощью матрицы ACV diag = (AC)t V (AC) ,(1.23)а соответствующие ей собственный вектор Φ тогда выражается какΦ = (AC)Ψ .(1.24)где Ψ это вектор-столбец составленный из полного набора волновых функций, не учитывающих КЭД поправки.
Состояния ngi и ngf тогда описываются с помощью Φngi и Φngf , которые, с учетом первых двух порядков подиагонализацию матрицы, записываются как:Φng =Xkg(0)Bkg ng Ψkg+X(∆V21 )klgk,lgBlg ngEng −(0)Ek(0)Ψk + . . . ,(1.25)(0)где Ek это сумма дираковских энергий соответствующая состоянию k, индексы суммирования kg и lg пробегают все состояния из набора g, а индекс kпробегает все состояния, не входящие в g. Eng = Re{Eng } − iΓ ng2обозначаетсобственное число матрицы V и в методе контура линии определяет энергиюсостояния ng (Re{Eng }) и его ширину (Γng ).Первый член в уравнении 1.25 описывает смешивание состояний из набора g, в то время как второй и последующие члены представляют собойпоправки от смешивание со состояниями вне набора g. Волновые функции(0)Ψn берутся в виде, представленном в уравнениях (1.9) и (1.13) для двух итрехэлектронных систем, соответственно.22В следующем разделе будет показано, как с помощью функций Φng врамках МКЛ можно получить выражение для сечения электронной рекомбинации.1.3Выражение для сечения рекомбинацииАмплитуду электронной рекомбинации с помощью функций Φng (см.
уравнение (1.25)) можно записать как матричный элемент оператора излученияфотона [23]:Uif = hΦf |Ξ|Φi i .(1.26)Вид оператора Ξ заранее не известен. Он выводится в рамках теории возмущений порядок за порядком [23]:Ξ = Ξ(0) + Ξ(1) + eO(α2 ) .(1.27)Матричные элементы Ξ(0) и Ξ(1) на волновых функциях, представленныхв уравнение (1.9), имеют вид(0)Ξf ij jX= 2Nf Nij jCJff1Mff2 (mf1 mf2 )CJii1Mii2 (mi1 mi2 )(1.28)mf1 mf2 mi1 mi22X×(k,λ)∗i δfa2 ib21 b1a1 a2 b1 b2 eAfa,a1 a2 ,b1 b2 =1(1)XΞf i = Nf Nij jj jCJff1Mff2 (mf1 mf2 )CJii1Mii2 (mi1 mi2 )(1.29)mf1 mf2 mi1 mi22X×a1 a2 ,b1 b2 =1+X 00ne3X0(k,λ)∗ ∂Infa2 ib1 ib2 (|x|)|x=εfb −εiba1 a2 b1 b2 [e3 Afa n122∂xn∂(k,λ)∗Ifa1 fa2 ib1 ib2 (|x|)|x=εif −εfa2 Anib ] ,12∂xгде e = |e| это абсолютное значение заряда электрона, индексы i и fобозначают двухэлектронные состояния23f = (f1 , f2 )Jf ,Mf = (ηf1 jf1 lf1 , ηf2 jf2 lf2 )Jf ,Mf ,i = (i1 , i2 )Ji ,Mi = (ηi1 ji1 li1 , ηi2 ji2 li2 )Ji ,Mi .Матрицы это антисимметричные матрицы Леви-Чивиты, содержащие знакперестановки индексов f1 f2 и i1 i2 .
В уравнении (1.29) один штрих у суммыобозначает, что индекс n пробегает такие значения, для которых εn + εfa2 =εib1 + εib2 , а два штриха, что n пробегает значения, для которых εn + εib2 =εfa1 + εfa2 . Далее, In1 n2 n3 n4 (Ω) обозначает матричный элемент однофотонногообмена:ZIn1 n2 n3 n4 (Ω) =d3 r1 d3 r2 ψ̄n1 (r1 )ψ̄n2 (r2 )(1.30)× γ µ1 γ µ2 Iµ1 µ2 (Ω, r12 )ψn3 (r1 )ψn4 (r2 ) ,где функция Iµ1 µ2 (Ω, r12 ) в кулоновской калибровке имеет видδµ1 0 δµ2 0δµ1 µ2 iΩr12∂∂ 1 − eiΩr12−e+ µ1 µ2(1.31)Iµ1 µ2 (Ω, r12 ) =r12r12∂x1 ∂x2 r12 Ω2× (1 − δµ1 0 )(1 − δµ2 0 ) .(k,λ)∗В уравнениях (1.28) и (1.29) матричные элементы An1 n2 выражаются какZ(k,λ)∗A n1 n2 =d3 r ψ n1 (r)γ ν A(k,λ)∗(r)ψn2 (r) ,(1.32)ν(k,λ)∗где 4-потенциал Aν(k,λ)∗= (A0, −A(k,λ)∗ ) описывает вылетающий фотонс частотой ω, волновым числом k (k = (ω, k)) и поляризацией λ.
В данной работе фиксируется калибровка, в которой скалярная часть потенциала(k,λ)A0= 0, а векторная частьrA(k,λ) (r) =2π ikr (λ)e e ,ω(1.33)где e(λ) обозначает вектор поляризации.Вклад матричных элементов оператора Ξ(1) в амплитуду пренебрежимомал по сравнению со вкладом Ξ(0) , поэтому в данной работе учитывается24только нулевой порядок в разложении оператора вылета фотона, что является для рассматриваемого процесса отличным приближением.В трехэлектронном случае мы ограничимся приведением в явном видетолько нулевого порядка оператор излучения Ξ(0)Ξf iX= 3Nf Ni(1.34)mf1 mf2 mf3 mi1 mi2 mi3jjjjj j1 f2× CJff12Mff3 (mf 12 mf3 )Cjff12mf 12 (mf1 mf2 )j ji3i1 i2× CJi12(mi12 mi3 )Cji12mi12 (mi1 mi2 )i Mi3X×(k,λ)∗i δfa2 ib2 δfa3 ib31 b1a1 a2 a3 b1 b2 b3 eAfa,a1 a2 a3 ,b1 b2 b3 =1где индексы i и f обозначают теперь трехэлектронные состоянияf = (f1 , f2 , f3 )Jf ,Mf ,jf 12 = (ηf1 jf1 lf1 , ηf2 jf2 lf2 , ηf3 jf3 lf3 )Jf ,Mf ,jf 12 ,i = (i1 , i2 , i3 )Ji ,Mi ,ji12 = (ηi1 ji1 li1 , ηi2 ji2 li2 , ηi3 ji3 li3 )Ji ,Mi ,ji12 .Для расчетов с векторным потенциалом (1.33) используется мультипольное разложение плоской волны [24]r2π X l0i gl0 (ωr)(e(λ) , Yj∗0 l0 m0 (k))Yj0 l0 m0 (r) ,A(k,λ) =ω(1.35)j0 l0 m0где gl0 (x) = 4πjl0 (x) и jl0 (x) это сферическая функция Бесселя.
Yj0 l0 m0 обозначает вектор сферических гармоник:Yj0 l0 m0 (r) =XCjl001m0 (ml ms )Yl0 ml (r)sms ,(1.36)ml msYl0 ml сферическая функция, sms собственный вектор оператора проекцииспина фотона отвечающий квантовому числу ms .В рамках данной работы рассматриваются как линейная поляризацияфотонаe1 =[p × k],|[p × k]|e2 =25[e1 × k],|[e1 × k]|(1.37)так и циркулярная1e− = √ (e1 − ie2 ) ,21e+ = √ (e1 + ie2 ) ,2(1.38)где p обозначает импульс налетающего электрона.Сечение электронной рекомбинации, дифференцированное по телесномууглу вылета фотона Ωk можно записать какdσ1 2=ω |Uif |2 ,2dΩk(2π) p(1.39)В следующем разделе будут приведены результаты расчетов сечения, в которых просуммировано по всем рассматриваемым конечным состояниям ионаи поляризациям вылетающего фотона, а также усреднено по поляризациямналетающего электрона µ и поляризациям иона в начальном состоянии Mi .dσ11 X 2=ω |Uif |2 ,(1.40)2dΩk(2π) 2(Ji + 1) pMi µ,λ,f1.4РезультатыХотя выбор конкретного МЗИ для описанного метода не принципиален, дляконкретных расчетов выбираются, в качестве примера, ионы урана.
Результатам расчетов диэлектронной рекомбинации с этими ионами посвященаоставшаяся часть данной главы.1.4.1Рекомбинации с одноэлектронными иономиВ этом разделе представлены результаты численных расчетов полного идифференциального сечений диэлектронной рекомбинации, протекающихв столкновениях электронов с одноэлектронным ионом урана (U91+ (1s)).Исследуется такие энергии налетающего электрона (ε), при которых существенный вклад в сечение дают следующие двухэлектронные автоионизационные состояния: (2s2 ), (2s2p) и (2p2p).
При этом удобно выделить26три резонансные области кинетической энергий налетающего электрона(ε−me c2 ), которые в системе покоя иона равны [62.5, 64.2]кэВ , [68.3, 68.7]кэВи [72.9, 73.2]кэВ. В качестве конечных состояний иона, по которым производится суммирование, берутся (1s2s) и (1s2p).Результаты численного расчета полного сечения диэлектронной рекомбинации с U91+ (1s) представлены на рис. 2.2. Они находятся в прекрасном согласии с предыдущими экспериментальными и теоретическими расчетами [14–16, 18]. На 2.2 отчетливо видна резонансная структура сечения,каждый резонанс соответствует вкладу в сечение от двухэлектронных автоионизационных состояний.
Вертикальные линии в левой колонке отображают точное положение резонансов, каждый из которых определяется какEres = Ea − E1s − me c2 , где Ea и E1s обозначают энергию автоионизационного состояния, соответствующего резонансу, и энергию 1s электрона. Следуетотметить, что положение резонансов Eres слегка сдвинуты по энергии от положений действительных максимумов сечения. Это происходит, очевидно,из-за интерференции, имеющей место быть как между разными резонансными вкладами, так и между резонансным и нерезонансным вкладами.Диэлектронная рекомбинация протекает за счет межэлектронного взаимодействия, что открывает удобную возможность изучить его разные модели. Сравнивая сечение, полученное в рамках строгого КЭД расчета с полнымучетом взаимодействия между электронами (левая колонка рисунка 2.2), стем, которое было получено без учета брейтовского взаимодействия (праваяколонка рисунка 2.2), можно сделать вывод о существенной, а для некоторых энергий налетающего электрона даже доминирующей, роли брейта впроцессе диэлектронной рекомбинации.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
