Автореферат (1149368), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ïóíêòèðîì óêàçàíû "âåðòèêàëüíûå" ëó÷è (ãåîäåçè÷åñêèåìåòðèêè (4), èñõîäÿùèå èç òî÷åê σ âíóòðü Ω ïî íîðìàëè ê Γ). Ñàìà øàïî÷êà çàòåíåíà. Øàïî÷êè èíñòðóìåíò ðåøåíèÿ ðÿäà îáðàòíûõ çàäà÷:Ðèñ. 1:Øàïî÷êàñì. [4, 5, 6, 7]. Èõ ñâîéñòâà è ïîâåäåíèå (ñ ðîñòîì T ) îïèñàíû â [4].Äàëåå îïðåäåëÿåòñÿ îáëàñòü âëèÿíèÿ. Ôèêñèðóåì T > 0 è îáîçíà÷èì÷åðåçQT := Ω × (0, T ) ,ΣT := Γ × [0, T ]ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé öèëèíäð è åãî áîêîâóþ ïîâåðõíîñòü; îáîçíà÷èì òàêæå ΣTσ := σ × [0, T ] . Äëÿ òî÷êè (x0 , t0 ) ∈ QT = Ω × [0, T ] îïðåäåëèì êîíóñû âëèÿíèÿ}{TTKα [(x0 , t0 )] := (x, t) ∈ Q | τα (x, x0 ) 6 t − t0 .7Äëÿ B ⊂ QT ïîäîáëàñòüKαT [B]:=∪KαT [(x0 , t0 )](x0 ,t0 )∈Bíàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ âëèÿíèÿ ìíîæåñòâà B .
Îïðåäåëèì ïîäìíîæåñòâàΞTα [σ] := ΣT ∩ KαT [ΣTσ ]áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà. Íà ðèñóíêå 2 ìíîæåñòâó σ ñîîòâåòñòâóåò îòðåçîê {7, 8}; ÷àñòè ΣTσ áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ΣT ñîîòâåòñòâóåò ÷åòûðåõóãîëüíèê {7, 8, 3, 2}; îêðåñòíîñòü ΩTα [σ] îãðàíè÷åíà êîíòóðîì{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1}; êîíòóð {1, 7, 8, 4, 3, 2, 1} îãðàíè÷èâàåò ìíîæåñòâî ΞTα [σ]íà ΣT . Ñ ñèñòåìîé Ëàìå áóäåò ñâÿçàíà ïàðà ìåòðèê âèäà (4), îïðåäåëÿ-Ðèñ. 2:Îáëàñòè âëèÿíèÿåìûõ ñêîðîñòÿìè âîëíîâûõ ìîä cp è cs , ïðè÷åì cp > cs âñþäó â Ω. Íàðèñóíêå 3 (3a) ïîêàçàíû îêðåñòíîñòè â ðåãóëÿðíîé çîíå. Øàïî÷êè ωpT, ε [σ]è ωsT, ε [σ] çàòåíåíû.
Ïàðà ìåòðèê îïðåäåëÿåò ïîäîáëàñòü â Ω âèäà{}ΛTps [σ] := x ∈ Ω (x, T ) ∈ KsT [ΞTp [σ]] ⊃ ΩTs [σ](6)(íà ðèñóíêå 3 (3a) îãðàíè÷åíà êîíòóðîì {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1}). ż÷àñòü ΛTps [σ]\ΩTs [σ] â äèíàìèêå ñîîòâåòñòâóåò çîíå, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò òàê íàçûâàåìûå áîêîâûå âîëíû (óêàçàíà øòðèõîâêîé). Ïðè äîñòàòî÷íî ìàëîì ε ýòà ÷àñòü îòäåëåíà îò øàïî÷êè ωsT, ε [σ] ïîëîæèòåëüíûìðàññòîÿíèåì. Ðèñóíîê 3 (3b) èëëþñòðèðóåò ãåîìåòðèþ îáëàñòåé âëèÿíèÿ äëÿ ïàðû ìåòðèê. Îáëàñòè ΞTp [σ] è ΞTs [σ] îãðàíè÷åíû êîíòóðàìè{1, 7, 8, 6, 5, 4, 3, 2, 1} è {2, 7, 8, 5, 4, 3, 2} ñîîòâåòñòâåííî. ðàçäåëå 1.2 ââîäèòñÿ âíóòðåííåå ïðîñòðàíñòâî H := L2 (Ω; R3 ), âí¼ì âûäåëåíû ïîäïðîñòðàíñòâa:8aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaÐèñ.
3:1.aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaÏàðà ìåòðèêñîëåíîèäàëüíûõ ïîëåéJ := {y ∈ H | div y = 0 â Ω, yν = 0 íà Γ}(îïåðàöèÿ div ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ðàñïðåäåëåíèé);2.ïîòåíöèàëüíûx ïîëåéG := {h ∈ H | h = ∇φ, φ ∈ W21 (Ω)} .Ïîäïðîñòðàíñòâà J è G , ñîñòîÿùèå èç ïîëåé, ëîêàëèçîâàííûõ â A ⊂Ω, îáîçíà÷àåì, ñîîòâåòñòâåííî, J [A] è G[A].
Îïðåäåëèì âíåøíåå ïðîTñòðàíñòâî F:= L2 (ΣT ; R3 ) è ïëîòíûé â í¼ì êëàññ ãëàäêèõ ïîëåé{}MT := f ∈ C ∞ (ΣT ; R3 ) | supp f ⊂ Γ × (0, T ] .9ïîñâÿùåíà ñèñòåìå òèïà Ëàìå.  ðàçäåëå 2.1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðÿìàÿ íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ ïîëíîãî óðàâíåíèÿ Ëàìå,îïðåäåëåíû âíóòðåííåå, âíåøíåå ïðîñòðàíñòâà è äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû Ëàìå. Îáñóæäàåòñÿ ñâîéñòâî ïðèáëèæ¼ííîéãðàíè÷íîé óïðàâëÿåìîñòè.  ðàçäåëå 2.2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà òèïàËàìå αT .
Ââîäèòñÿ îïåðàòîð ðåàêöèè RT . Ïîñòàâëåíà îáðàòíàÿ çàäà÷àâîññòàíîâëåíèÿ áûñòðîé è ìåäëåííîé ñêîðîñòåé â ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåãóëÿðíûõ çîíàõ ïî îïåðàòîðó ðåàêöèè R2T . Îïèñûâàþòñÿ àêóñòè÷åñêàÿè ìàêñâåëëîâñêàÿ ïîäñèñòåìû αpT è αsT ; îáñóæäàþòñÿ èõ ñâîéñòâà.  ðàçäåëå 2.3 ðàññìàòðèâàþòñÿ äîñòèæèìûå ìíîæåñòâà ñèñòåìû αT (1)(3):{}U T := U[ΣT ] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΣT ] ,{}T −εfTTU:= U[Γ × [ε, T ]] = u ( · , T ) f ∈ M [Σ ], f Γ×[0,ε] = 0 ,{}U[ΞT [σ]] = uf ( · , T ) f ∈ MT [ΞT [σ]]Âòîðàÿ ãëàâàppè äîêàçûâàåòñÿ òåîðåìà î ðàçäåëåíèè øàïî÷åê.regÒåîðåìà 1 [A1].
Ôèêñèðóåì ïîëîæèòåëüíîå T < T; ïóñòü σ ⊂ Γåñòü çàìêíóòîå îäíîñâÿçíîå ìíîæåñòâî ñ ãëàäêîé ãðàíèöåé. Íàïîìíèì,÷òî øàïî÷êè îïðåäåëåíû â (5). Ïîëîæèòåëüíîå ε âûáèðàåòñÿ ìàëûì íàñòîëüêî, ÷òîáû (ΛTps [σ]\ΩTs [σ]) ∩ ωsT, ε [σ] = ∅ (ñì. (6)). Ïðè ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåT(U ⊖ UT −ε) ∩ U[ΞTp [σ]] = G[ωpT, ε [σ]] ⊕ J [ωsT, ε [σ]] . òðåòüåé ãëàâå ïðèâåäåíî ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è äëÿ ñèñòåìû òèïà Ëàìå αT .
Ðàññìàòðèâàþòñÿ îáúåêòû, îòíîñÿùèåñÿ òîëüêî êáûñòðîé ìåòðèêå. Óïðîùàÿ îáîçíà÷åíèÿ, ìû âñþäó îïóñêàåì íèæíèéèíäåêñ "p" .  ðàçäåëå 3.1 îïðåäåëÿþòñÿ ïîëóãåîäåçè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ áàçîé íà ãðàíèöå è âûêðîéêà ΘT ìíîãîîáðàçèÿ. ÔèêñèðóåìT : 0 < T < T reg . Êàæäîé òî÷êå x ðåãóëÿðíîé çîíû ΩT := ΩTp îòâå÷àåòåäèíñòâåííàÿ áëèæàéøàÿ ê íåé òî÷êà ãðàíèöû γ(x): τ (x, γ(x)) = τ (x).Ïàðó (γ(x), τ (x)) =: i(x) íàçûâàþò ïîëóãåîäåçè÷åñêèìè êîîðäèíàòàìè(ï.ã.ê.) òî÷êè x ñ áàçîé Γ, à ìíîæåñòâî ΘT := i(ΩT ) âûêðîéêîé ïîäîáëàñòè ΩT .
Âîçüì¼ì x ∈ ΩT è âûáåðåì ëîêàëüíûå êîîðäèíàòû γ 1 , γ 2 âîêðåñòíîñòè σ ⊂ Γ òî÷êè γ(x). Ýëåìåíò äëèíû áûñòðîé ìåòðèêè â ï.ã.ê.èìååò èçâåñòíûé âèä: ds2 = hαβ dγ α dγ β + dτ 2 .Îïèñûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ â áûñòðîé ìåòðèêå è îïåðàòîðΠT , ïåðåâîäÿùèé ïðîäîëüíûå ïîëÿ â îáëàñòè â ïîëÿ íà âûêðîéêå, íîð10ìàëüíûå ê ãðàíèöå.  ðàçäåëå 3.2 ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîåêòèðîâàíèå âïðîñòðàíñòâå ïîòåíöèàëüíûõ ïîëåé è ââîäèòñÿ N T -ïðåîáðàçîâàíèå, ïåðåâîäÿùåå ñîëåíîèäàëüíûå ïîëÿ â ïðîäîëüíûå.
Îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðèçîáðàæåíèÿ I T := ΠT N T ; îáðàç h̃ = I T h íàçûâàåòñÿ èçîáðàæåíèåìïîëÿ h; èçîáðàæåíèå åñòü ïîëå íà âûêðîéêå ΘT , íîðìàëüíîå ê Γ. Ïóñòü3N := {g ∈ L2 (Γ, R ) | g × ν = 0} åñòü ïðîñòðàíñòâî íîðìàëüíûõ ïîëåéíà Γ (ν íîðìàëü ê Γ). Îïðåäåëèì FνT êàê ïðîñòðàíñòâî N-çíà÷íûõôóíêöèé ïåðåìåííîé τ ∈ [0, T ]:FνT = L2 ([0, T ]; N) .(7)ÓñòàíàâëèâàåòñÿñòðóêòóðàäåéñòâóþùåãîâFνTîïåðàòîðàL̃T := I T (∇κ div)(I T )∗ . Îïåðàòîð H : FνT → FνT íàçûâàåòñÿ ïîñëîéíûì, åñëè îí îïðåäåëÿåòñÿ ñåìåéñòâîì îïåðàòîðîâ H(τ ) : N → N(0 6 τ 6 T ) è äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó: (Hf )(τ ) = H(τ )f (τ ), τ ∈ [0, T ] 3 .Òåîðåìà 2 [A2].
Ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå∂2L̃ = 2 + H ,∂τâ êîòîðîì H åñòü ïîñëîéíûé îïåðàòîð òàêîé, ÷òî êàæäûé H(τ ) : N → N,0 < τ 6 T , Dom H(τ ) = N ∩ C ∞ (Γ, R3 ) åñòü ïñåâäîäèôôåðåíöèàëüíûéîïåðàòîð âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàòðè÷íûì ãëàâíûì ñèìâîëîìTSymbH(τ ) (γ, k1 , k2 ) = −|k |2h Idγ ,)1/2(; k1 , k2 ïåðåìåííûå, äâîéñòâåííûå êãäå |k|h := hαβ (γ 1 , γ 2 , τ )kα kβγ 1 ; γ 2 ; Idγ òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð íà êîêàñàòåëüíîì ïðîñòðàíñòâåTγ∗ Γ; γ = (γ 1 , γ 2 ) ∈ Γ.Ðàçäåë 3.3 ïîñâÿù¼í äèíàìèêå.
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå T > 0 , îáîçíà÷èì L := ∇κ div è ðàññìîòðèì íà÷àëüíî-êðàåâóþ çàäà÷óhtt − Lh = 0â QT ,(8)h|t=0 = ht |t=0 = 0â Ω,(9)hν = fíà ΣT ;(10)ãäå ν íîðìàëü ê Γ, hν = (h · ν)ν , f ∈ FνT ⊂ F T óïðàâëåíèå; ðåøåíèåh = hf (x, t) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê çàâèñÿùàÿ îò âðåìåíè ôóíêöèÿ ñî çíà÷åíèÿìè â G T := G[ΩT ].  ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷å äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå3 çäåñü,îòâ ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäñòàâëåíèåì (7),τ11fïîíèìàåòñÿ êàê N-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿαTp îòîáðàæåíèå "âõîä ñîñòîÿíèå" ðåàëèçóåòñÿ îïåðàòîðîì óïðàâëåíèÿW T : FνT → G T , Dom W T = FνT ∩ MTW Tf = hf (· , T ) .Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî îí äîïóñêàåò çàìûêàíèå. Çàìåòèì òàêæå, ÷òîïðè âðåìåíàõ T < T ∗ 4 îïåðàòîð óïðàâëåíèÿ èíúåêòèâåí: Ker W T = {0}. ýòîì æå ðàçäåëå ðàññìîòðåíû ðàçðûâû ðåøåíèé â ñèñòåìå αTp ñðàçðûâíûì óïðàâëåíèåì.
Îòìåòèì, ÷òî îïèñàíèå ðàçðûâîâ, êîòîðûå ðàññ÷èòûâàþòñÿ ëó÷åâûì ìåòîäîì [9], ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ ïðè ïåðåõîäå ê èçîáðàæåíèÿì. Äàëåå ââîäèòñÿ îïåðàòîð ðåàêöèè RT ñèñòåìû αTp èóñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî îí îïðåäåëÿåòñÿ îïåðàòîðîì ðåàêöèè RT ñèñòåìûαT . Ìíîæåñòâî GT := Ran W T ⊂ G T íàçûâàåòñÿ äîñòèæèìûì ê ìîìåíòó âðåìåíè T . Ìû ïîêàçûâàåì, ÷òî ïðè âðåìåíàõ T < T reg ñïðàâåäëèâîñîîòíîøåíèåGT = G T(çàìûêàíèå â ìåòðèêå H). Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå ïîòåíöèàëüíîå ïîëåâ ïîäîáëàñòè ΩT ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü âîëíàìè hf (· , T ) â L2 -íîðìå. òåîðèè óïðàâëåíèÿ îá ýòîì ñâîéñòâå ãîâîðÿò, êàê î ïðèáëèæåííîéTóïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû αp (8)(10).Âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå FνT ðàññìîòðèì ñåìåéñòâî ïîäïðîñòðàíñòâFνT,ξ := {f ∈ FνT f (·, t) = 0, 0 6 t < T − ξ}, 0 6 ξ 6 T,îáðàçîâàííûõ çàïàçäûâàþùèìè óïðàâëåíèÿìè (FνT,0 = {0}, FνT,T = FνT ).Ââåä¼ìðàñøèðÿþùååñÿñåìåéñòâîäîñòèæèìûõìíîæåñòâξT T,ξξξTξG := W Fν ⊂ G .
Ïðîåêòîðû P â G íà G íàçûâàþòñÿ âîëíîâûìè; äîïîëíèòåëüíûå ïðîåêòîðû ñóòüP⊥ξ := IGT − P ξ .(11)Ñèñòåìàwtt − Lw = 0â QT ,(12)w|t=T = 0, wt |t=T = yâ Ω,(13)wν = 0íà ΣT(14)íàçûâàåòñÿ äâîéñòâåííîé ê ñèñòåìå (8)(10); ÷åðåç w = wy (x, t) îáîçíà÷èì å¼ ðåøåíèå. Ñ ýòîé ñèñòåìîé àññîöèèðîâàí îïåðàòîð íàáëþäåíèÿ4T∗åñòü âðåìÿ çàïîëíåíèÿ îáëàñòèΩâîëíàìè, èäóùèìè îò ãðàíèöû12OT : G T → FνT , Dom OT = G T ∩ C ∞ (ΩT ; R3 ):OT y := [κ div wy ] νíà ΣT .Äàëåå âûâîäèòñÿ ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå ðàçðûâû âîëí â äâîéñòâåííîé ñèñòåìå ñ èçîáðàæåíèåì íà âûêðîéêå.
Âîçüì¼ì ïðîèçâîëüíîå ãëàäêîå ïîëå y ∈ G T ∩C ∞ (ΩT ; R3 ), âûáåðåì ξ : 0 < ξ < T < T reg è ðàññìîòðèìñèñòåìó âèäà (12)(14):wtt − Lw = 0â QT ,w|t=T = 0, wt |t=T = P⊥ξ yâ Ω,wν = 0íà ΣT .ξ(ïðîåêòîð P⊥ îïðåäåëåí ôîðìóëîé (11)). Äåéñòâèå ïðîåêòîðà ïðèâîäèòê ïîÿâëåíèþ ðàçðûâà äàííûõ Êîøè íà ýêâèäèñòàíòå Γξ ; ðàçðûâíûå äàíξíûå èíèöèèðóþò ðàçðûâíóþ âîëíó wP⊥ y .
Ðàçðûâ âîëíû ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ (â îáðàòíîì âðåìåíè) âäîëü ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ëó÷åé, ñîñòàâëÿþùèõ õàðàêòåðèñòèêó, è ïðè t = T − ξ âçàèìîäåéñòâóåò ñ ãðàíèöåé.  ðåçóëüòàòå íàáëþäàåìûé íà Γ ñëåäP⊥ξ y[κ div w ] ν T = OT P⊥ξ yΣîêàçûâàåòñÿ ðàçðûâíûì ïðè t = T − ξ .T∞3Ëåììà 1 [A2]. Ïóñòü y ∈ G ∩ C (ΩT ; R ) è a ∈òîãäà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî1limδ→+0 δT −ξ∫((OT P⊥ξ y)(t), aT −ξ−δ)NN∩ C ∞ (Γ, R3 );dt = (κ0 ỹ(ξ), a)N ,(15)ãäå 0 < ξ < T , ỹ = I T y åñòü èçîáðàæåíèå ïîëÿ y .Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê îïèñàíèå ðàçξðûâà ôóíêöèè (OT P⊥ y)(t) ïðè t = T − ξ . Ðàâåíñòâî (15) çàïèñûâàåì ñëåξäóþùèì îáðàçîì: (OT P⊥ y)(T − ξ − 0) = (κ0 I T y)(ξ), 0 < ξ < T , â êîòîðîì ïðåäåë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå, îïðåäåëåííîì ëåììîé.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
