Диссертация (1149340), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Оценка, предлагаемая методом невязок, применима только для Галёркинских аппроксимаций, что ограничивает её применимость для приближений, построенныхдругими методами. Более того, она основана на локальных константах Клемана, точное вычисление которых является довольно трудоёмкой задачей. При их грубой оценке сверху,результирующая мажоранта сильно завышена. Эти константы напрямую зависят от сетки итребуют перестроения на каждом шаге её адаптации, что существенно утяжеляет алгоритмна практике.Второе направление основано на приближении вышеупомянутого функционала или еготак называемой пост-обработке. Наиболее ярким примером, относящимся к этой группе,является метод усреднения градиента, первый раз предложенный в Zienkiewicz и Zhu [72,85]и расширенный в работах Ainsworth и Oden [75], Babushka и Rodriguez [86], Verfurth [77],Zienkiewicz et.

all. [87], Wang [88], Babushka и Strouboulis [83], Bartels и Carstensen [89], Wangи Ye [90], Heimsund et. all. [91], Zhang и Naga [92]. Данный метод предлагает довольно эффективный на практике индикатор ошибки и помогает определить элементы сетки с существенными скачками погрешности.

Математическое обоснование метода опирается на свойство суперсходимости, которое изначально было введено в Magnesian и Ruhovec [93], [94]и в дальнейшем подробно изучено в Křı́žek и Neittaanmäki [95, 96], Křížek, Neittaanmäki иStenberg [97] и Wahlbin [98]. Это свойство, однако, наблюдается только для задач, обладающих решениями с повышенной регулярностью, рассматриваемых на регулярных сетках.Другие методы пост-обработки основаны на частичном уравновешивании невязки, соответствующей уравнению баланса (см. Ainsworth и Oden [81], Braess [8], Ladeveze и Leguillon [99]),её глобальном усреднении (см.

Carstensen и Funken [82], Bartels и Carstensen [89], Heimsund,Tai и Wang [91]), и решении локальных подзадач (см., к примеру, Ainsworth [100], Ainsworthи Oden [81], Ainsworth и Rankin [101]).И, наконец, третий метод зависит от решения вспомогательной задачи. Иерархическиеиндикаторы ошибки, к примеру, рассмотренные в работах Deuflhard, Leinen и Yserentant [102],Agouzal [103], Duran, Muschietti, Rodriguez [104], Dorfler и Nochetto [105], генерируют довольно эффективный индикатор, однако не являются гарантированными. Альтернативнымметодом, основанным на решении сопряжённой задачи, является метод индикации ошибок,измеренных в терминах линейных целевых функционалов. Изначально этот метод был предложен в работах Becker и Rannacher [106] и в дальнейшем исследован в ряде работ Stein иOhnimus [107], Peraire и Patera [108], Houston, Rannacher, Süli [109], Rannacher [110], Oden иPrudhomme [111], Stein, Rüter и Ohnimus [112], Meidner, Rannacher и Vihharev [113], Rannacherи Vexler [114], Besier и Rannacher [115].

Апостериорный подход оценок погрешностей сов-17местно с адаптивными алгоритмами создают полноценное исследовательское направление вразделе численного анализа уравнений в частных производных.Истоками гарантированных методов апостериорного контроля можно считать полученную в разное время Прагером и Сингом [116,117] и Михлиным [118] функциональную оценкуошибки. Для модельной задачи Дирихле для уравнения Пуассона: найти u ∈ V0 = H01 (Ω),удовлетворяющую уравнениюdiv(∇u) + f = 0 в Ω,u = 0 на Ω,(40)где Ω – ограниченная область в R2 c Липшицевой границей ∂Ω, а f ∈ L2 (Ω), вышеупомянутаяоценка может быть представлена в формеk∇(u − v)k = inf k∇v − yk,(41)y∈Qfгде v ∈ V0 – некоторая аппроксимация и Qf :=ny ∈ H (Ω, div) |RΩy · ∇w dx =RΩof w dx .Главным недостатком (41) является минимизация оценки на множестве функций с ограниченной свободой, что с практической точки зрения является нетривиальной задачей, эк-вивалентной двойственной. Если вместо (40) рассмотреть более сложную векторную илинелинейную задачу, точное удовлетворение условия y ∈ Qf – просто невозможно.Жёсткое ограничение на переменную потока (флакса) y, тем не менее, оказалось излиш-ним.

Гарантированные функциональные оценки точности приближённого решения v ∈ V0 ,опирающиеся на более слабое ограничение y ∈ H(Ω, div), были предложены С. И. Репиным вработах [119–123]. Первые работы, посвящённые функциональным мажорантам, использу-ют вариационные аргументы для их получения. Позднее аналогичные оценки были полученыинтегральными преобразованиями обобщённой постановки задачи. Из правой и левой частитождестваZΩследующего из (40), вычитаем∇u · ∇w =RΩZf w dx,∀w ∈ V0 ,(42)Ω∇v · ∇w dx, w ∈ V0 .

После подстановки w = u − v получаем∇(u − v) · ∇(u − v) =ΩZZ(f (u − v) − ∇v · ∇(u − v)) dx.(43)ΩЗа счёт введения свободной вектор-функции ∀y∈H (Ω, div)R(divy (u − v) + y · ∇(u − v)) dx = 0 в правую часть (43) получаемидобавленияΩku −vk2Ω=ZΩ((f + divy)(u − v) + (y − ∇v) · ∇(u − v)) dx.(44)18Наконец, используя неравенство (7), получаем оценкуk∇(u − v)k =infy∈H (Ω,div)(k∇v − yk + CFΩ kf + divyk),(45)где CFΩ – константа Фридрихса в (9).Полученная оценка является явно вычисляемой, т. е., не содержащей локальных констант интерполяции, зависимых от сетки (в отличие от метода невязок). Более того, (45)универсальна, а именно, справедлива для любых функций из допустимого энергетическогокласса приближений (без ограничений на Галёркинские аппроксимации).

Более того, условиеy ∈ H (Ω, div) возможно удовлетворить локально, используя H (div)-согласованные конечныеэлементы (к примеру, элементы Равьяра–Тома [124] and Брецци–Дуглас–Марини [125–127]).В дополнение, мажоранта генерирует эффективный индикатор ошибок, который может бытьиспользован в качестве надёжного критерия в адаптивных алгоритмах. Подробное сравнениевышеописанных подходов может быть найдено в Mali, Neittaanmäki, Repin [128].Методология и методы исследования. Гарантированные оценки погрешностей врешениях эволюционных задач, рассмотренных в данной работе, основаны на двух различных математических подходах.

Один из них следует из теории сжимающих отображений итеоремы Банаха о неподвижной точке. Второй подход расширяет направление функциональных апостериорных оценок на задачи, зависящие от времени.Основная часть диссертации посвящена оценкам функционального типа, так называемым мажорантам, минорантам и следующим из них индикаторам ошибок, которые наданный момент являются хорошо изученными для широкого спектра задач (см., например,Neittaanmäki, Repin [129], Repin [130], Mali, Neittaanmäki, Repin [128] и литературу в нихвключённую).Главной целью работы является разработка надёжного инструмента количественного контроля ошибки в приближённых решениях для класса эволюционных задач.

Методы,применимые для этого класса задач, реконструируют приближённые решения, которые имеют свойство накапливать ошибку по ходу численного моделирования. В случае отсутствияматематического инструмента, контролирующего рост ошибки, решение может потерять стабильность в некоторый момент времени. Т. е., гарантированные оценки погрешности решенийимеют важное значение для фиксирования или прогнозирования момента резкого роста погрешности. Если ошибки в полученном приближении оценены достоверно, более того, еслиучастки области с чрезмерно высокими локальными погрешностями определены точно, возможно построить существенно более точное приближение на сетке, учитывающей не толькокачественные, но и количественные скачки ошибки.В рамках апостериорных оценок погрешностей, исследованных в данной работе, важно отметить работу Repin [131], в которой метод получения функциональных оценок ошибок для параболических уравнений был предложен впервые.

Первая попытка их численногоанализа была сделана в Gaevskaya и Repin [132]. Работа Repin и Tomar [133] рассматривает19расширение мажорант ошибок для эволюционных уравнений конвекции-диффузии, где допускается разрыв приближений относительно временной переменной. Анализ апостериорнойоценки ошибок для параболических периодических во времени задач (с полигармоническойконечно-элементной дискретизацией) представлен в Langer, Repin и Wolfmayr [134].Аналогично эллиптическому случаю, описанному выше, на основе классической задачитеплопроводности (следующей из (26)–(30) с учётом A = I, a ≡ 0, λ ≡ 0 и условием Дирихле,определённым на всей боковой поверхности) представим основную идею вывода мажоран-ты для задач параболического типа. Итак, требуется найти функцию u, заданную на QT иудовлетворяющую системеut − div(∇u) = f,(x, t) ∈ QT ,(46)u(x, 0) = ϕ,x ∈ Ω,(47)u = 0,(x, t) ∈ ST ,(48)гдеf ∈ L2 (QT ) и ϕ ∈ H01 (Ω).Обобщённое решение задачи (46)–(48) определяется функцией u ∈ H01,1 (QT ), удовлетворяю-щей интегральному тождествуZZ Zu(x, T )η(x, T ) − u(x, 0)η(x, 0) dx − uηt dxdt + ∇u · ∇η dxdtQTΩQT=Zf η dxdt,∀η ∈ H01,1 (QT ).

(49)QTДопустим, что v ∈ H01,1 (QT ) – приближение решения u, найденное любым численнымметодом. Мы нацелены описать окрестность точного решения в терминах некоторой локальной топологии, эквивалентной энергетической норме[u − v]2(ν,ζ) := ν k ∇(u − v)k2QT + ζ k (u − v)(·, T ) k2Ω ,(50)где ν и ζ – некоторые положительные весовые параметры, за счёт варьирования которыхмогут быть получены различные представления ошибок.Пусть e := u − v обозначает расстояние от v ∈ H01,1 (QT ) до точного решения u. Из (49)следует, чтоZΩe(x, T )η(x, T ) − e(x, 0)η(x, 0) dx −ZQTeηt dxdt +ZQT=∇e · ∇η dxdtZQT(f − vt ) η dxdt −ZQT∇v · ∇η dxdt.20Далее полагаем, что η = e ∈ H01,1 (QT ) и, используя тождествоZ22e (x, T ) − e (x, 0) dx −ΩZet dxdt =12QTk e(x, T ) k2Ω − k e(x, 0) k2Ω ,получаем1k e(x, T ) k2Ω2+k ∇ek2QT=Z(f − vt ) e dxdt −Z∇v · ∇e dxdt + 12 k e(x, 0) k2Ω .(51)QTQTПоследнее выражение является не чем иным, как энергетическим тождеством в терминах eи играет существенную роль в последующем анализе.

Важно отметить, что эволюционныеначально-краевые задачи не обладают вариационной формулировкой в отличие от эллиптических задач, поэтому функциональные оценки могут быть получены только из обобщённогоинтегрального тождества (49).Следующим шагом является введение вспомогательной вектор-функцииn o divy ∈ L2 QT .y ∈ Ydiv (QT ) := y ∈ L2 0, T ; L2 Ω, Rd(52)Перегруппируем правую часть уравнения (51) при помощи выраженияZdivy e dxdt +QTZy · ∇e dxdt = 0,(53)QTоткуда следует1k e(x, T ) k2Ω2+k ∇e k2QT=Zrf (v, y) e dxdt +Zrd (v, y) · ∇e dxdt + 21 k e(x, 0) k2Ω ,(54)QTQTгде невязки rf и rd определены какrf (v, y) = f − vt + divy,rA (v, y) = y − ∇v.(55)При помощи неравенства Гёльдера получаем оценку для второго слагаемого в правой части(54):Zrd (v, y) · ∇e dxdt ≤QTZTk rd (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt.(56)0Рассмотрим первый интеграл правой части (54), который п. в.

на t ∈ (0, T ) может трактоваться как линейный функционал Ft : H01 (Ω) → R. Для фиксированного момента времениFt (e; v, y) :=ZΩrf (v, y) e dx,где норма |]Ft (e; v, y)|] :=supe ∈ H01 (Ω)\{0}Rrf (v,y) e dxΩk∇ekΩ.21Таким образом,Zrf (v, y) e dxdt ≤ZT|]Ft (e; v, y)|]kekΩ dt ≤0QTZTCFΩ k rf (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt.(57)0Комбинирование (56) и (57) даёт1k e(x, T ) k2Ω2+ k∇ek2QT≤1k e(x, 0) k2Ω2+ZT 0CFΩ k rf (v, y) kΩ k ∇e kΩ + k rd (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt. (58)Все слагаемые в правой части (58) могут быть оценены при помощи неравенства Юнга–Фенхеля (см. (6) и (8)), а именноZTCFΩ k rf (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt ≤ZT α1 (t) 2CFΩ2k rf (v, y) k2Ω +1k ∇e k2Ω2α1 (t)00dt,(59)иZTk rd (v, y) kΩ k ∇e kΩ dt ≤ZT α2 (t)2k rd (v, y) k2Ω00+1k ∇e k2Ω2α2 (t)dt,(60)где α1 (t) и α2 (t) – положительные скалярные функции, удовлетворяющие соотношению1α1 (t)+1α2 (t)= δ.

Характеристики

Список файлов диссертации