Диссертация (1149340), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Второй симплекс T с вершинами A = (0, 0),C = h2 , h2 , B = (h, 0) и с Γ := x2 = 0, x1 ∈ [0, h] характеризуется значениями CΓP := 2ζh0 и1/CΓTr := h2 2 .Наконец классическое неравенство о следах выглядит следующим образом∀u ∈ C 1 (Ω).kukL2 (Γ) ≤ CTrΓ k u kH 1 (Ω) ,(21)Пространства Соболева на пространственно-временном цилиндре.
Пространство L2 (QT ) содержит суммируемые с квадратом функции на QT и оснащено нормой1/k · kL2 (QT ) := (·, ·)L22(QT ) .Обобщим обозначения при помощи введения пространстваnoH s,k (QT ) := u ∈ L2 (QT ) | Dα u ∈ L2 (QT ), |α| ≤ s, ∂tβ u ∈ L2 (QT ), 1 ≤ β ≤ k ,(22)11в котором введена нормаkuk2H s,k (QT ):=Z XQT|α|≤sα2|D u(x, t)| +X1≤β≤k|∂tβ u(x, t)|2dxdt.Наиболее широко используемыми пространствами являются H 1,0 (QT ) и H 1,1 (QT ), гдеH1,0 2d2(QT ) := u ∈ L (QT ) | ∇u ∈ L (QT )оснащено нормойkukH 1,0 (QT ) :=ZQTаHнормой1,1|u(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 dxdt, 2d22(QT ) := u ∈ L (QT ) | ∇u ∈ L (QT ) , ∂t u ∈ L (QT )kukH 1,1 (QT ) :=ZQT|u(x, t)|2 + |∇u(x, t)|2 + |∂t u(x, t)|2 dxdt.Пространства Соболева с границей Дирихле SD ⊂ ST (с заданным на ней условием uD )обозначаются какnHus,k(Q):=u ∈ H s,k (QT ) | u = uDTDoна SD .(23)Пространства Бохнера.
Рассмотрим пространства Бохнера в качестве альтернативного инструмента для анализа начально-краевых задач. Пусть {H, (·, ·)H } и {V, (·, ·)V } – Гильбертовы пространства. Пространство Lp (a, b; V ), p ∈ [1, +∞) является наиболее часто исполь-зуемым пространством и состоит из измеримых функций u : (a, b) → V , норма в которомопределяется какkukLp (a,b;V ) := Zbku(·, t)kpV dta1/p< +∞.Для p = ∞, получаем пространство Бохнера, оснащённое нормойkukL∞ (a,b;V ) := ess sup ku(·, t)kV < +∞.t∈(a,b)Кроме того, C([a, b]; H) представляет пространство функций u : [a, b] → H, непрерывных какфункция времени t ∈ [a, b] с нормойkukC([a,b];H) := max ku(·, t)kH .t∈[a,b]12Для изучения параболической начально-краевой задачи рассмотрим L2 (0, T ; V ) сV = H 1 (Ω) (или V = H01 (Ω)), которое состоит из функций, принадлежащих V по отношениюк пространственной переменной, V -норма которых является L2 -функцией по отношению кt ∈ (0, T ).
Так как V является Гильбертовым пространством, L2 (0, T ; V ) – также Гильбер-тово. Обобщённая производная функции u ∈ L2 (0, T ; V ) относительно времени обозначаетсякак ∂t u ∈ L2 (0, T ; V ∗ ) и удовлетворяет тождествуZTu(t)∂t ϕ(t) dt = −ZT∂t u(t)ϕ(t) dt,∀ϕ ∈ C0∞ ([0, T ]).00Так как сепарабельные V и H удовлетворяют ‘эволюционной’ триаде (триаде Гельфанда) V ֒→ H ֒→ V ∗ , V ∗ – также Гильбертово. Наиболее часто используемые триады:H 1 (Ω) ֒→ L2 (Ω) ֒→ (H 1 (Ω))∗ и H01 (Ω) ֒→ L2 (Ω) ֒→ H −1 (Ω).Для изучения разрешимостипараболической начально-краевойo задачи введём проnстранство Бохнера W (0, T ) := u(t) ∈ L2 (0, T ; V ) | ∂t u(t) ∈ L2 (0, T ; V ∗ ) , оснащённое нормойkukW (0,T ) := ZT ku(·, t)k2V0+k∂t u(·, t)k2V ∗dt1/2< ∞.Из триады Гельфанда следует, что W (0, T ) – Гильбертово пространство.
Более того, вложение W (0, T ) ֒→ C(0, T ; H) является непрерывным (см., к примеру, Wloka [3] и Zeidler [4]).Формула интегрирования по частям имеет следующую форму:ZTZTh∂t u(t), ϕ(t)iV ∗ ,V dt = − h∂t ϕ(t), u(t)iV ∗ ,V dt + (u(T ), ϕ(T )) − (u(0), ϕ(0)),00где ∂t u(t) ∈ L2 (0, T ; V ∗ ), ϕ(t) ∈ L2 (0, T ; V ), и ∂t ϕ(t) ∈ L2 (0, T ; V ∗ ).Пространство Бохнера W (0, T ) с V = H 1 (Ω) (V = H01 (Ω)) очевидно шире, чем H 1,1 (QT )(H01,1 (QT )), что следует из триады Гельфанда. Наконец вводим пространства V s,k (QT ) иV0s,k (QT ), такие чтоV s,k (QT ) := H s,k (QT ) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)),V0s,k (QT ) := H0s,k (QT ) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)),где s ≥ 0, k ≥ 0, оснащены нормойkukV s,k (QT ) := max ku(t)kL2 (Ω) + kukH s,k (QT ) < +∞.t∈[0,T ](24)Функции пространства V s,k (QT ) имеют след, непрерывно меняющийся по отношению кt ∈ [0, T ].
В нашем случае ошибка в эволюционном уравнении измеряется следующим ком-13плексом[u]2 :=||| u |||2H s,k (Q0T)+ k u(·, T ) k2Ω ,u ∈ H0s,k (QT ),(25)который совмещает в себе энергетическую норму u, а также значение этой функции в последний момент времени t = T .Параболическое начально-краевое уравнение. Рассмотрим QT с боковой поверхностью ST . Допустим, что ∂Ω состоит из измеримых непересекающихся частей ΓDи ΓR , соответствующих смешанному краевому условию Дирихле–Робина. Следовательно,ST := ∂Ω × [0, T ] = ΓD ∪ ΓR × [0, T ] = SD ∪ SR .
Рассмотрим общую параболическуюначально-краевую задачуut − divp + a · ∇u + λ2 u = f,(x, t) ∈ QT ,(26)p = A∇u, (x, t) ∈ QT ,(27)x ∈ Ω,(28)(x, t) ∈ SD ,(29)(x, t) ∈ SR ,(30)u(x, 0) = u0 ,u = 0,σ 2 (x)u + p · n = 0,где n задаёт вектор единичной нормали, направленной вне к границе ∂Ω,f ∈ L2 (QT ),и u0 ∈ H01 (Ω).(31)Допустим, что для п. в. x ∈ Ω и t ∈ (0, T ) оператор A = {Aij }d1 (Aij ∈ L∞ (Ω)) симметричен,удовлетворяет условиюν A |ξ|2 ≤ A(x) ξ · ξ ≤ ν A |ξ|2 ,ξ ∈ Rd , 0 < ν A ≤ ν A < ∞,(32)и порождает нормыkτk2A:=ZAτ · τ dx и k τk2A−1:=ZA−1 τ · τ dx.ΩΩФункции a и λ, представляющие соответственно конвекцию и реакцию, а также σ, заданнаяна части поверхности Робина, удовлетворяют следующим условиям при п.
в. t ∈ (0, T )a ∈ L∞ (Ω, Rd ),div a ∈ L∞ (Ω),λ ∈ L∞ (Ω),σ ∈ L∞ (Ω),|a| ≤ a,(33)|λ| ≤ λ,(34)|σ| ≤ σ.(35)Обозначим ST− ⊂ SD за границу входа потока a, а именно для п. в. t ∈ (0, T )ST− := { x ∈ ∂Ω | κ(x) < 0, κ(x) = n · a }.(36)14После умножения (26) на тестовую функцию η ∈ H01,1 (QT ), получаем обобщённую постановку(26)–(30): найти решение u(x, t) ∈ H01,1 (QT ), удовлетворяющее интегральному тождествуZ 2A∇u · ∇η + a · ∇uη + λ uη − uηt dxdt +QT+ZZσ 2 uη dsdtSR(uη)(x, T ) − (uη)(x, 0) dx =ΩZf η dxdt,∀η ∈ H01,1 (QT ).
(37)QTОбобщённая задача (37) разрешима единственным образом при условии, что справедливы(31), (32) и (33)–(35). В задачах, где условия Робина определены на всей границе, для достижения единственности решения необходимо выполнение дополнительных требований накоэффициенты в уравнении (37), а именноe|∂t Aij | ≤ A,|∂t a| ≤ ea,e|∂t λ| ≤ λ,|∂t σ| ≤ σe.Разрешимость задачи (37) может быть сформулирована в пространствах Бохнера. Рассмотрим простейший случай, в котором A = I, a(x) ≡ 0, λ(x) ≡ 0 и ST = SD . В соответствиис Wloka [3] или Zeidler [4], если H и V – Гильбертовы пространства, удовлетворяющие эволюционной триаде V ֒→ H ֒→ V ∗ , f ∈ L2 (0, T, V ∗ ) и u0 ∈ H, тогда обобщённая задачаZT0hut (t), viV ∗ ,V dt +ZT∇u(t) · ∇v dt =0ZThf (t), viV ∗ ,V dt,v ∈ V,0которая справедлива для п.
в. t ∈ (0, T ), имеет единственное решение в W (0, T ), непрерывнозависящее от f и u0 . В рамках данной работы условия регулярности начального условия u0 ,правой части f и коэффициентов уравнения всегда выбраны таким образом, чтобы уравне-ние было разрешимо в H01,1 (QT ).
Задачи с гетерогенными граничными условиями, к примеру,g в (29) и F в (30), рассматриваются аналогично с наложением определённых условий регулярности на g и F (см. Wloka [3, Теорема 27.4, 27.6]).Итерационные методы с неподвижной точкой. Рассмотрим следующую общуюзадачу: найти решение u в Гильбертовом пространстве V , удовлетворяющее уравнениюu = Lu + b,(38)где L : V → V - ограниченный оператор и b ∈ V . Одним из способов решения (38) являетсяприменение итерационной процедурыuk = Luk−1 + b,u0 ∈ V,k = 1, . . . ,15которая генерирует бесконечную последовательность {uk }∞k=1 . Оператор L : V → V являетсяЛипшицевым оператором, если существует q > 0 и справедливо условиеkLw − LvkV ≤ q kw − vkV .(39)Если q ∈ (0, 1) и (39) справедливо для ∀w, v ∈ S, где S – непустое замкнутое множествоS ⊂ V , то L – q-сжимающий оператор. В этом случае, используя (39) с q ∈ (0, 1), несложнопоказать, что {uk }∞k=1 сходится к решению u, так называемой неподвижной точке уравнения(38) (см., к примеру, Banach [63], Collatz [64], Колмогоров и Фомин [65], Istratescu [66], Zeidler[67]).Степень разработанности тематики.
Существуют два основных подхода для оценки погрешности аппроксимации. Априорный подход используется для качественной проверки теоретических свойств численного метода, к примеру, скорости сходимости численногорешения к точному в зависимости от параметра сетки, определяемого как максимум по размеру всех элементов (см., например, Brenner, Scott [68], Ciarlet [22], Strang, Fix [69], а такжессылки, включенные в монографии). Ключевая оценка априорного подхода формулируетсяследующим образом:||| u − uh |||≤ C hk ,где ||| u − uh ||| является ошибкой, измеренной в энергетической норме, C – константа, завися-щая от нормы функции u, которая включает её повышенные производные, и h представляетсобой количественную характеристику сетки, дискретизирующей область Ω.
В дополнение ктому, что данная оценка справедлива только для Галёркинских аппроксимаций, она такжесильно переоценивает настоящую ошибку в левой части. Более того, наличие в константеCнормы u накладывает жёсткие условия на повышенную регулярность решения, что являетсядовольно нереалистичным условием в практических задачах.Во втором, так называемом апостериорном подходе, ошибка измеряется после вычисления аппроксимации. В отличие от априорного анализа ошибок, альтернативный подходиспользует только известные данные, а именно, характеристики области Ω, исходные данныезадачи и непосредственно само приближение.
Верхняя граница разницы между приблизительным и точным решением, измеряемая в терминах соответствующей энергетической нормы, называется оценкой погрешности или мажорантой. Величина, которая воспроизводитколичественное распределение истинной ошибки по всей области, называется индикаторомошибки. Она получила серьёзный толчок в развитии после первых работ, посвящённых адаптивным алгоритмам вычисления приближённых решений (см. Babuška и Rheinboldt [70, 71]и Zienkiewicz и Zhu [72]).Существующие индикаторы ошибок можно разделить на три основные группы, классифицируя их по методу получения. Первый, так называемый метод невязок, основанныйна оценке резидуального функционала в H −1 -норме, получил широкое распространение винженерных пакетах в силу легкости своей реализации.
Этот индикатор был изначаль-16но предложен в работе Babuška и Rheinboldt [70, 71] и в дальнейшем исследовался многими авторами в оригинальной постановке, а также с различными модификациями (см.,например, Eriksson и Johnson [73], Johnson и Hansbo [74], Ainsworth, Oden [75], Ainsworthи Oden [76], Verfürth [77], Dörfler и Rumpf [78], Carstensen [79], Carstensen и Verfürth [80],Ainsworth, Oden [81], Carstensen и Funken [82], Babuška и Strouboulis [83], Babuška, Whitemanи Strouboulis [84]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
