Диссертация (1149340), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Toro [28], Eymard, Gallout и Herbin [29],LeVeque [30]). Т. е., (3) заменяется системой обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ) относительно переменной времени, которое разбивается на шаги (инкременты) согласно некоторой схеме дискретизации ОДУ (см.,к примеру, Zafarullah [31], Verwer и SanzSerna [32], Schiesser [33]). В результате задачи, зависящие только от пространственных переменных, решаются на последовательности временных интервалов (детальное изучение этогометода можно найти в монографиях Thomee [6], Braess [8], Johnson [10]).
Во втором методе время трактуется как дополнительная пространственная переменная (см. Hackbusch [34],Womble [35], Vandewalle и Piessens [36], Horton и Vandewalle [37]). Его, как правило, называютметодом пространственно-временной дискретизации.Независимо от используемого метода, полученное приближение содержит погрешность.Именно поэтому для построения корректного численного метода неоспоримо важно иметьматематический аппарат, позволяющий осуществить эффективный количественный анализполученных результатов. Именно такой анализ предоставляет надежную информацию обошибке, содержащейся в аппроксимации, и позволяет избежать риска построения некорректных выводов на основе неточного результата.
В силу своей эффективности и универсальности, полученные в данной работе гарантированные оценки и индикаторы являютсяпотенциальными кандидатами на внедрение в крупные программные продукты, включающие процедуры адаптации, а также стадии анализа качества получаемых приближений.Прежде чем перейти к обсуждению степени разработанности тематики, а также представлению используемой методологии, рассмотрим некоторые общепризнанные обозначения,определения и постановку параболической задачи, а также сделаем детальный обзор фундаментальных сведений, необходимых для обоснования представленных в последующих главахрезультатов.Определения и основные обозначения. Допустим, что Ω ⊂ Rd , d = {1, 2, 3}, яв-ляется ограниченной областью (открытым и связным множеством) с Липшицевой границей∂Ω, где Ω обозначает замыкание Ω.
Γ – часть границы ∂Ω, для которой measd−1 Γ > 0 илив частном случае совпадает с ней. Пусть {X, k · kX } обозначает Банахово пространство,оснащённое нормой k · kX , такое что X полно по отношению к ней. Пусть {V, k · kV } – Гиль-61/бертово пространство, где норма порождена скалярным произведением, т. е., k·kV := (·, ·)V 2 ,(·, ·)V : V × V → R.Пространство V ∗ является двойственным к V , состоящим из линейных непрерывныхфункционалов на V , и снабжено нормойkf kV ∗ := supv∈V, v6=0f (v)kvkV.Соответствующее двойственное произведение h·, ·iV ∗ ×V : V ∗ × V → R определено какhf, viV ∗ ×V := f (v),∀v ∈ V.Банахово пространство функций, измеримых в смысле Лебега с нормойkukLp (Ω) :=Z|u(x)|p dxΩ1/p,обозначается как Lp (Ω), p ∈ [1, +∞). Для пространств ограниченных почти всюду (п.
в.)функций (при p = +∞) норма определена при помощиkukL∞ (Ω) := ess sup |u(x)|.x∈ΩВ дальнейшем чаще всего используется Гильбертово пространство функций, интегрируемых1/со степенью p = 2, оснащённое нормой k · kL2 (Ω) := (·, ·)L22(Ω) , где(u, v)L2 (Ω) = (u, v) :=Z∀u, v ∈ L2 (Ω).u v dx,ΩДалее в работе для упрощения обозначений в случае обсуждения L2 -нормы на области ωиспользуется обозначение k · kω .Пусть αDα u :=∂ |α|∂xαu==∂ α1∂xα11, . .
. , d - мульти-индекс, тогдаdPαi . Функцияu, где xα – одночлен x1 α1 . . . xd αd со степенью |α| =(α1 , . . . ,αd ), αi...∂ αd∂xαd∈N ∪ 0, i=i=1из множества C l (Ω) обладает непрерывными и ограниченными производными Dα до степениl включительно. Пространство C l (Ω) оснащено нормойkukC l (Ω) := max sup |Dα u(x)|.0≤|α|≤l x∈ΩНорма для непрерывных функций (при l = 0) обозначается как k · kC(Ω) . Множество C ∞ (Ω)состоит из бесконечно дифференцируемых (гладких) функций, и элементы C0∞ (Ω) ⊂ C ∞ (Ω)определены на компактном носителе Ω.
Гладкие функции, обращающиеся в нуль на Γ, обо-7значены как∞C0,Γ(Ω) :=noϕ ∈ C ∞ (Ω) | dist(suppϕ, Γ) > 0 .(4)Обобщённая (слабая) производная порядка α для функций u ∈ L2 (Ω) обозначается припомощи w = Dα u ∈ L2 (Ω), для которой справедливоZw v dx = (−1)|α|Zu Dα v dx,∀v ∈ C0∞ (Ω).ΩΩСепарабельное Банахово пространство W l,p (Ω), где p ∈ [1, +∞) и l ∈ N, обозначает пространство СоболеваnoW l,p (Ω) := u ∈ Lp (Ω) | Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ l ,оснащённое нормойkukW l,p :=X|α|≤lkDα ukpLp1/p(5).Если граница Ω является достаточно гладкой, последнее пространство совпадает сW := C l (Ω)k·kW l,p(замыканием C l (Ω) по норме (5)).
В общем случае, W ⊂ W l,p .Гильбертово пространство с p = 2 традиционно обозначается как H l (Ω) = W l, 2 (Ω).Далее в работе используются пространства1n22dH (Ω) := u ∈ L (Ω) | ∇u ∈ L (Ω, R )on2d2и H (Ω, div) := u ∈ L (Ω, R ) | divu ∈ L (Ω)oс соответствующими нормами k · kH 1 (Ω) и k · kH (Ω,div) , порождёнными(u, v)H 1 (Ω) := (u, v) + (∇u, ∇v) и (u, v)H (Ω,div) := (u, v) + (divu, divv).Пространства с гомогенными краевыми условиями на Γ ⊂ ∂Ω определяются как замыканиямножества (4) по соответствующим нормам:1∞H0,Γ(Ω) := C0,Γ(Ω)H 1 (Ω)∞и H0,Γ (Ω, div) := C0,Γ(Ω)H (Ω,div).1Если Γ ≡ ∂Ω, тогда H0,∂Ω(Ω) = H01 (Ω).
Наконец, γΓ u ∈ C(Γ) определяет оператор суженияu ∈ C(Ω) на Γ, а именно γΓ u(x) := u(x), ∀x ∈ Γ. Последний называется оператором следов1γΓ : H s (Ω) → H s− /2 (Γ), s ∈ ( 12 , 23 ).Для неотрицательных чисел ξi , i = 1, . . . , n справедливо так называемое неравенствоЮнгаnYi=1ξi ≤nXpξ iipii=1,гдеnXi=11pi= 1.(6)8Неравенство Гёльдера для интегрируемых функций формулируется какnnZ Y Ykui kLpi (Ω) ,ui dx ≤ΩnXгдеi=1i=11pi= 1.(7)i=1Для любого функционала F и его выпуклого сопряжённого F ∗ справедливо неравенствоФенхеляhv ∗ , viV ∗ ×V ≤ F ∗ (v ∗ ) + F(v),и ∀v ∗ ∈ V ∗ .∀v ∈ V(8)Комбинацию (6) и (8) часто называют неравенством Юнга–Фенхеля.Далее приведём главные неравенства теории вложений. Прежде всего, в работе используется неравенство∀u ∈ H01 (Ω),kukL2 ≤ CFΩ k∇ukL2 ,(9)которое часто называется неравенством Фридрихса (см.
Friedrichs [38, 39]), но которое впервые было получено Стекловым [40] для трёхмерной ограниченной области Ω. Фридрихс, всвою очередь, доказал более общую форму (9):ZΩu dx ≤ CF (Ω)Z2|∇u| dx +ΩZu ds ,2∂Ω∀u ∈ H 1 (Ω).(10)Неравенство (10) справедливо для любых ограниченных областей в Rn , для которых выполняется теорема Гаусса–Остроградского (см., к примеру, книгу Mazya [41]).Неравенство Пуанкаре (см. Poincaré [42, 43]) формулируется какe 1 (Ω),∀u ∈ HkukΩ ≤ CPΩ k∇ukΩ ,e 1 (Ω) :=где Hu ∈ H 1 (Ω) {|u|}Ω = 0 с {|u|}Ω :=1|Ω|R(11)w dx. Выше введённые константыΩ0 < CFΩ := √1 D < +∞ и 0 < CP := √1 N < +∞, где λD1 является первым собственнымλ1λ2значением задачи Дирихле–Лапласа, а λN2 – второе собственное значение Неймана–Лапласа.DУчитывая неравенство 0 < λNn+1 < λn для ∀n ∈ N (см.
Филонов [44]), справедливо соотноше-ние CFΩ < CPΩ .Одной из самых первых работ, посвящённых получению точных констант в (9) и (11),были работы Стеклова [45, 46], в которых неравенствоZl02u dx ≤l 2πZl(ux )2 dx(12)0было доказано для непрерывно дифференцируемых функций на [0, l], имеющих нулевое среднее, а также для функций, принимающих нулевое значение на концах интервала. Согласномонографии Mikhlin [47], для простых ограниченных областей в Rd , вписанных в прямо-9угольник (или в прямоугольный параллелепипед) со сторонами li , i = 1, . .
. , d, справедливоP−1/2dl −2неравенство C ≤ 1. Константа C в неравенстве Пуанкаре может быть оцеFΩπi=1PΩiнена при помощи неравенстваdiamΩπCPΩ ≤(13)для выпуклых областей Ω (см., Payne и Weinberger [48]). Для симплексов в R2 эта оценка былаулучшена в работе Laugesen и Siudeja [49], которая показывает, что для всех невырожденныхтреугольников справедливоdiamΩ,j1,1CPΩ ≤а для равносторонних треугольниковLSCPΩ ≤ C T1α ∈ (0, π3 ], j1,1 no−1/2:= diamΩ · min j 1 , j 1 2(π − α) tan(α/2)α ∈ ( π3 , π2 ],1,10,1−1/2 12(π − α) tan(α/2)α ∈ ( π2 , π].j0,1(14)Здесь j0,1 ≈ 2.4048 и j1,1 ≈ 3.8317 являются минимальными корнями соответствующих функ-ций Бесселя J0 и J1 .Нижняя оценка CΩP для выпуклых областей была представлена в работе Cheng [50]:CΩP ≥diam Ω.2 j0,1(15)Она служит дополнением к верхней границе Payne и Weinberger (13).
Кроме того, в Laugesenи Siudeja [51] для треугольников T выводится нижняя граница в терминах их периметра PCTP ≥P,4π(16)которая оптимизирует оценку (15) для некоторых случаев.Точное значение константы в (11) на равностороннем треугольнике с единичной стороPной получено в работе Pinsky [52], а именно CT,b π/ =ного равнобедренного треугольника с катетом√3223.4πКонстанта Пуанкаре для прямоуголь-Pравна CT,b π/ =4√1 ,2πа для аналогичного тре-1Pугольника с катетом 1 равна CT,b π/ = π . Здесь нижний индекс константы обозначает значение2угла между двумя сторонами треугольника.
Последние результаты могут быть найдены вHoshikawа и Urakawa [53] и Nakao и Yamamoto [54]. Точные значения констант в неравенствахПуанкаре для трёхмерных симплексов получены в Bérard [55] и Hoshikawa и Urakawa [53].Re 1 (Ω, Γ) := u ∈ H 1 (Ω) {|u|} = 0 , где {|u|} := 1 w ds,Для функций w ∈ HΓΓ|Γ|справедливы ‘граничные’ неравенства ПуанкареkukL2 (Ω) ≤ CΓp k∇ukL2 (Ω) ,kukL2 (Γ) ≤ CΓTr k∇ukL2 (Ω) .Γ(17)(18)10Неравенство (17) содержит константу CΓP , соответствующую минимальному положительномусобственному значению задачи− ∆u = λu в T,∂n u = λ {|u|}Γна Γ,∂n u = 0 на ∂T\Γ(19)e 1 (Ω, Γ).
Точная константа во втором нерас соответствующей собственной функцией u ∈ Hвенстве (18) соответствует минимальному ненулевому собственному значению задачи− ∆u = 0 в T,∂n u = λu в Γ,∂n u = 0 в ∂T\Γ,(20)e 1 (Ω, Γ). Здесь (20) является специальным случаем задачи Стеклова со спектральгде u ∈ Hным параметром, возникающим в граничном условии (см. Steklov [56]). Эта так называемая‘задача разбрызгивания’ описывает колебания жидкости в сосуде или контейнере, интенсивное изучение свойств собственных чисел и собственных функций которой может быть найдено в ряде работ Fox и Kuttler [57], Kozlov и Kuznetsov [58], Kozlov, Kuznetsov и Motygin [59],Kuznetsov et all [60], Girouard и Polterovich [61] и публикациях, цитируемых в них.Точные значения CΓp и CΓTr на прямоугольных треугольниках, прямоугольниках и прямоугольных параллелепипедах были получены в работе Nazarov и Repin [62]. Далее в ра-боте используются два опорных симплекса в R2 . Первый симплекс T задан на вершинахA = (0, 0), C = (0, h), B = (h, 0), c Γ := x2 = 0, x1 ∈ [0, h] , и константы для него опреде1/2h, где ζ0 и ζ̂0 – корни соответствующих уравненийлены как CΓP := ζh0 , и CΓTr := ζ̂ tanh(ζ̂ )00z cot(z) + 1 = 0 и tan(z) + tanh(z) = 0 на (0, π).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
