Диссертация (1149340)
Текст из файла
Санкт-Петербургское отделение Математического института имени В.А. Стеклова РАННа правах рукописиМацулевич Светлана ВикторовнаГарантированный апостериорный контроль точности решенийэволюционных уравнений01.01.07 — Вычислительная математикаДИССЕРТАЦИЯна соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорРепин С.И.Санкт-Петербург20152ОглавлениеВведение . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Глава 1. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакциидиффузии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.1. Мажоранта ошибки . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.2. Миноранта ошибки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.3. Глобальная минимизация мажоранты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.4. Численные примеры . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38Глава 2. Двусторонние оценки ошибок для параболической задачи реакцииконвекции-диффузии на сложной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.1. Двусторонние оценки ошибок, основанные на глобальных константах .
. . . .642.2. Двусторонние оценки ошибок, основанные на локальных константах . . . . .732.3. Эквивалентность мажорант и ошибок в энергетической и комбинированнойнормах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .812.4. Мажоранта, основанная на расширенном поле флаксов .
. . . . . . . . . . . .88Глава 3. Мажоранты констант в неравенстве Пуанкаре и ‘граничных’неравенствах Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.1. Верхние оценки CΓP , CΓTr и CTP для треугольных сиплексов . . . . . . . . . . . .933.2. Нижние оценки CΓP , CΓTr и CTP для треугольных областей . . .
. . . . . . . . .963.3. Двусторонние оценки константCΓPиCΓTrдля тетраэдров . . . . . . . . . . . . 106Глава 4. Адаптивный метод Пикара–Линделëфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.1. Метод Пикара–Линделёфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.2. Адаптивный метод Пикара–Линделёфа . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 114Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Список условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Список сокращений . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283ВведениеАктуальность темы исследования. В настоящее время математические моделидовольно широко используются для описания процессов и явлений в различных отрасляхестественных наук, медицины, инженерии и экономики. Эволюционные проблемы, в частности, являются ключевыми компонентами в моделировании реальных процессов, таких кактеплопроводность в термодинамике, моделирование вихревых индукционных токов в электромагнитных явлениях, глобальное прогнозирование климата, а также анализ рассадкилеса в экологии и других областях научной и практической деятельности человека.
Приведённые выше примеры свидетельствуют о том, что вопросы, возникающие в математическоммоделировании, мотивированы непосредственно явлениями, окружающими нас.Большинство моделей, упомянутых выше, регулируются зависимыми от времени уравнениями в частных производных (УЧП) или системами уравнений в частных производных,которые в сочетании с начальными (НУ) и граничными условиями (ГУ) порождают такназываемые начально-краевые задачи (Н-КЗ). Данная работа посвящена эволюционным задачам параболического типа, систематический математический анализ которых представленв монографиях Ладыженской [1], Ладыженской, Уральцевой и Солонникова [2], Wloka [3],Zeidler [4, 5]. Численный анализ и изучение практического применения уравнений приводятся в работах Thomee [6] и Lang [7] и частично в классических книгах по методам конечныхэлементов (МКЭ) (см., к примеру, Breass [8], Grossman, Roos и Stynes [9] и Johnson [10]).Мультигармонический анализ распределённой параболической задачи и задачи оптимального управления в установке с периодическим во времени краевым условием представлен вLanger и Wolfmayr [11].Пусть QT := Ω × (0, T ) обозначает пространственно-временной цилиндр, в которомΩ ⊂ Rd , d ∈ {1, 2, 3} является ограниченной областью с Липшицевой границей ∂Ω, и (0, T )задаёт временной интервал.
ST := ∂Ω × [0, T ] обозначает цилиндрическую боковую поверх-ность. Рассмотрим классическую формулировку линейной параболической задачи: найти решение u(x, t), удовлетворяющее системе∂t u + Lu = fв QT ,(1)u = uDна ST ,(2)u(x, 0) = u0на Ω.(3)Здесь u, как правило, описывает изменение температуры в теплопроводности или концентрации некоторого вещества в химической диффузии. Данные задачи включают источниктепла f , краевое условие Дирихле uD (можно также рассматривать условия Неймана, Робина, или смешанный тип краевых условий) и начальные условия u0 .
Эллиптический оператор4L имеет следующую общую форму:Lu := −div(A(x, t)∇u(x, t)) + λ(x, t) · ∇u(x, t) + a(x, t) u(x, t),(x, t) ∈ QT ,где A является симметричной матрицей, состоящей из характеристик материала, а λ и aобозначают конвекцию и реакцию соответственно. Если любая из вышеперечисленных формзависит от u (или ∇u), задача становится нелинейной.При λ(x) ≡ 0, a(x) ≡ 0 и A = νI получаем классическое уравнение теплопроводности,регулирующее различные диффузионные процессы.
Например, в приложениях, рассматривающих задачи переноса тепла, параметр ν =kcp ̺обозначает коэффициент тепловой диффузии,зависимый от температуропроводности k, удельной теплоемкости cp и плотности материала ̺(см. Fourier [12], Carslow и Jaeger [13], Widder [14], Cannon [15]). В электромагнетизме ν иллюстрирует сопротивление ν = σ1 , обратно пропорциональное электропроводности σ, которая,к примеру, является очень низкой в воздухе (так называемом отличном изоляторе), оченьвысокой в металлах, а в плазме рассматривается как бесконечная.
Кроме того, уравнениетеплопроводности используется в распространении потенциала действия в нервных клетках,финансовых процессах, к примеру, в модели ценообразования опционов Блэка–Шоулза (см.Black и Scholes [16]), вероятностных процессах (процесс Орштейна–Уленбека) и описаниислучайных блужданий (см.
Pearson [17]). Нелинейные аналоги уравнения теплопроводностибыли также использованы в обработке изображений и моделировании пористых сред (см.Vayquez [18]).Строго говоря, уравнение теплопроводности находится в противоречии со специальнойтеорией относительности, так как его решения включают мгновенное распространение возмущения.
Частью возмущения вне переднего светового конуса обычно можно пренебречь,но, если скорость передачи тепла значительная (динамически развивающиеся процессы),используются гиперболические дифференциальные уравнения. Данная работа сосредоточена исключительно на процессах, имеющих относительно медленную эволюцию (к примеру,биологические и экологические процессы) и, соответственно, описываемых уравнением параболического типа.В силу того, что изучение определённого эволюционного (к примеру, физического) процесса неразрывно связано с сопровождающим его математическим экспериментом, надёжность используемых методов анализа или численных методов является одним из принципиальных требований к стадиям математического моделирования. Использование исключительно эвристического воспроизведения характеристик той или иной системы может привести к необоснованным недостоверным результатам и, соответственно, ложным выводам орассматриваемой модели.
Отсюда вопрос о корректности модели (на самом начальном этапемоделирования), а также вопрос количественного апостериорного контроля ошибки данных,сгенерированных тем или иным методом, являются неоспоримо актуальными вопросами всовременном численном анализе.5Научная и практическая значимость.
Представленные в диссертации методы позволяют явно и гарантированно контролировать точность численных приближений эволюционных систем уравнений в частных производных, описывающих довольно широкий классявлений на практике. Такие системы в большинстве случаев могут быть дискредитированы одним из двух методов.
В первом, так называемом инкрементальном методе (методелиний, см. Сармин и Чюдов [19]), пространственные переменные, как правило дискретизированы соответствующим методом, к примеру, методом конечных элементов (МКЭ) (см., кпримеру, Courant [20], Zlamal [21], Ciarlet [22], Johnson [10]), методом конечных разностей(МКР) [23], Morton и Mayer [24], Crank [25], Самарский и Николаев [26], Гулин и Самарский [27]) или методом конечных объёмов (МКО) (см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
