Автореферат (1149339)
Текст из файла
На правах рукописиМацулевич Светлана ВикторовнаГарантированный апостериорный контрольточности решений эволюционных уравненийСпециальность 01.01.07 − вычислительная математикаАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург2016Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математическогоинститута имени В.
А. Стеклова Российской академии наук.Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор РЕПИН Сергей Игоревич.Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук, профессор КОБЕЛЬКОВ ГеоргийМихайлович(МосковскийгосударственныйуниверситетимениМ. В. Ломоносова), заведующий кафедрой вычислительной математики;кандидат физико-математических наук, доцент ФРОЛОВА Елена Вениаминовна (Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ”ЛЭТИ” имени В. И. Ульянова (Ленина)), доцент кафедры высшейматематики N 1.Ведущая организация: Институт прикладнойМ.
В. Келдыша Российской академии наук.математикиимениЗащита состоится " 30 " марта 2016 г. вчас.мин. на заседании диссертационного совета Д 212.232.49 на базе Санкт-Петербургскогогосударственного университета по адресу: 199004, Санкт-Петербург,10-я линия, д. 33, ауд. 74.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке имениМ. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу:199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9 и на сайтеhttp : //spbu.ru/disser2/disser/matsulevich disser.pdf.Автореферат разослан ""Ученый секретарьдиссертационного совета Д 212.232.49,доктор физико-математических наук2016 г.Ю.
В. Чурин3Общая характеристика работыАктуальность темы. В настоящее время математические модели широкоиспользуются для описания процессов и явлений в различных отраслях естественных наук, медицины, инженерии и экономики. Эволюционные задачи, в частности,являются ключевыми компонентами в моделировании реальных процессов термодинамики, электромагнетизма, экологии и в других областях научной и практической деятельности человека. Данная работа посвящена непосредственно начальнокраевым задачам параболического типа, систематический математический анализкоторых представлен в монографиях О.
Ладыженской, Н. Уральцевой, В. Солонникова, J. Wloka, E. Zeidler и A. Friedman, а численные и практические аспектыприменения изучаются в работах V. Thomsen, J. Lang, D. Breasts, C. Glassman,H.-G. Roos, M. Styles и C. Johnson.В силу того, что изучение определённого эволюционного, например, физического процесса, неразрывно связано с сопровождающим его математическим экспериментом, надёжность используемых методов анализа или численного восстановления приближённого решения является одним из принципиальных требованийк стадиям математического моделирования. Исключительно эвристическое воспроизведение характеристик системы может привести к недостоверным результатам и, соответственно, ложным выводам о рассматриваемой модели.
Отсюдавопрос корректности модели на самом начальном этапе моделирования, а такжевопрос количественного апостериорного контроля ошибки данных, сгенерированных тем или иным методом, становятся неоспоримо актуальными проблемами современного численного анализа.Научная и практическая значимость. Представленные в диссертацииметоды позволяют явно и гарантированно контролировать точность численныхприближений эволюционных уравнений в частных производных, регулирующихширокий класс явлений на практике. Независимо от используемого метода дискретизации и восстановления приближённого решения результат содержит погрешность.
Именно поэтому для моделирования корректного численного метода неоспоримо важно иметь математический аппарат, который помогает произвести эффективный количественный анализ полученных результатов. Именно такойанализ предоставляет надёжную информацию об ошибке, содержащейся в аппроксимации, и позволяет уменьшить риск построения некорректных выводов на основе неточного или недостоверного численного результата.Степень разработанности тематики. Существуют два основных подходадля оценки погрешности аппроксимации.
Априорный подход используется для качественной проверки теоретических свойств численного метода. Однако даннаяоценка справедлива только для Галёркинских аппроксимаций, а также переоценивает настоящую ошибку. Более того, она накладывает условие повышенной регулярности на решение, что является сложно удовлетворимым на практике условием.4Во втором, так называемом апостериорном подходе, ошибка измеряется послевычисления аппроксимации.
В отличие от априорного анализа ошибок, альтернативный подход использует только известные данные, а именно, характеристикиобласти Ω, исходные данные задачи и непосредственно само приближение. Верхняя оценка расстояния в терминах соответствующей энергетической нормы междуприближённым решением и точным называется мажорантой погрешности (нижняя оценка, соответственно, минорантой погрешности). Величина, которая воспроизводит количественное распределение истинных локальных ошибок по всейобласти, называется индикатором ошибки.Существующие индикаторы ошибок можно разделить на три основные группы, классифицируя их по методу получения.
Первый, так называемый методневязок, основанный на оценке резидуального функционала в H −1 -норме, был изначально предложен в работах I. Babuška и W. Rheinboldt. Однако оценка, предлагаемая этим методом, применима только для Галёркинских аппроксимаций, атакже основана на трудно вычисляемых локальных константах Клемана, напрямую зависящих от сетки дискретизации.
Второе направление основано на приближении вышеупомянутого функционала или его так называемой пост-обработке.Полученный впервые O. Zienkiewicz и J. Zhu метод усреднения градиента, к примеру, служит довольно эффективным на практике индикатором ошибки, но неявляется гарантированным. И, наконец, третий метод зависит от решения вспомогательной задачи. К этой группе относятся иерархические индикаторы, а такжеметоды оценки ошибок, измеренных в терминах линейных целевых функционалов. Однако ни один из вышеперечисленных методов не удовлетворяет критериямадекватной оценки ошибки, включающим универсальность, т. е. их применимостьдля любой аппроксимации, построенной произвольным численным методом, надёжность, гарантированность, явную вычисляемость и реалистичность.Истоками гарантированных методов апостериорного контроля можно считать полученную в разное время Прагером–Сингом и Михлиным функциональную оценку ошибки приближённого решения, главным недостатком которой является минимизация оценки на множестве функций потока (флакса) y, удовлетворяющей уравнению баланса, следующего из постановки рассматриваемой задачи.Однако жёсткое ограничение на переменную y оказалось излишним.
Гарантированные функциональные оценки погрешности приближённого решения, опирающиеся на более слабое ограничение y ∈ H (Ω, div), были предложены С. Репиным.В первых работах, посвящённых функциональным мажорантам, были использованы вариационные аргументы для их получения. Позднее аналогичные оценкибыли выведены при помощи интегральных преобразований обобщённой постановки задачи. Они являются явно вычисляемыми, т. е. не содержащими локальныхконстант интерполяции, зависимых от сетки (в отличие от метода невязок).
Более того, мажоранта и миноранта универсальны, а именно, применимы к любымфункциям из допустимого энергетического класса приближений (без ограничений на Галёркинские аппроксимации). Условие, наложенное на вспомогательную5функцию y ∈ H (Ω, div), возможно удовлетворить локально, используя H (div)согласованные конечные элементы. В дополнение к гарантированной оценке мажоранта генерирует эффективный индикатор ошибок, который может быть использован в адаптивных алгоритмах в качестве надёжного критерия. В рамкахапостериорных оценок погрешностей, исследованных в данной работе, важно отметить работу С. Репина (2002), в которой метод получения функциональныхоценок ошибок для эволюционных уравнений был предложен впервые на примерезадачи теплопроводности.
Первые результаты численного анализа мажорант былиприведены А. Гаевской и С. Репиным в 2005 г.Методология и методы исследования. Гарантированные оценки погрешности в решениях эволюционных задач, рассмотренных в данной работе, основаны на двух различных математических подходах. Один из них следует из теориисжимающих отображений и теоремы Банаха о неподвижной точке. Второй подходрасширяет функциональные апостериорные оценки на задачи, зависящие от времени, используя при этом основные методы математического и функциональногоанализа.Изучение практических аспектов применения гарантированных оценок ошибокбыло произведено на основе коллекции численных тестов различной сложности.При этом были использованы коды, реализованные при помощи программногопакета MATLAB, а также библиотеки The FEniCS Project.Цели и задачи.
Главной целью исследования является разработка надёжного инструмента количественного контроля ошибки в приближённых решениях длякласса эволюционных задач. Численные методы, применимые для этого классазадач, реконструируют приближённые решения, имеющие свойство накапливатьошибку по ходу моделирования. В случае отсутствия математического инструмента, контролирующего рост ошибки, решение может потерять стабильность внекоторый момент времени, и затраченные на его восстановление вычислительныересурсы будут напрасными.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
