Диссертация (1149337), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Указанное сокращение относится как к пропагаторам, имеющим индексы ++ и дающимвклад, пропорциональный 1/ε2, так и к пропагаторам, имеющим индексы +⊥и дающим вклад, пропорциональный 1/ε. Пропагатор с индексами ⊥⊥ даётвклад порядка O(1). Аналогичная ситуация происходит и в других вершинахε-блока.57Следующее простое изменение конфигурации на рис. 3.1б имеет вид,изображённый на рис. 3.2а, который отличается от рис. 3.1б добавлением одной внешней линии.
В такой диаграмме имеются две Π-линии, через которыеРис. 3.2. Усложнения простейшей конфигурации.проходит импульс k ε-линий. Поэтому, используя оценки, соответствующиеформулам (3.11) и (3.12), получаем, что конфигурация стремится к нулюпри ε → 0. Аналогичная ситуация получается при дальнейшем увеличениичисла Π-линий, через которые проходит импульс k ε-линий, например, из-заувеличения числа внешних линий.Рассмотрим ещё один случай изменения конфигурации на рис. 3.1б,когда добавляется одна ε-линия, соединяющая Π- и ε-линии исходной конфигурации (рис. 3.2б).
В этом случае Π- и ε-линии исходной конфигурацииразделяются на две части, где импульсы k1 и k2 пропагаторов разделённой εлинии можно выбрать в качестве петлевых переменных интегрирования так,что они будут проходить через один из пропагаторов разделённой Π-линии(см. рис. 3.2б). Тогда оценки, соответствующие формулам (3.11) и (3.12), и58учёт вклада новой вершины, присоединённой к исходной ε-линии, приведутк тому, что конфигурация стремится к нулю при ε → 0.Таким образом, наиболее общий вид ненулевой конфигурации можетбыть изображён по аналогии с диаграммой (рис. 3.1б), в которой перечёркнутая линия заменяется на произвольный ε-блок.В итоге приходим к заключению, что в данной теории имеются ненулевые конфигурации, причём все они конечны в пределе ε → 0.Покажем, что добавление ещё одного вспомогательного поля позволяет сделать нулевыми рассмотренные выше ненулевые конфигурации.
В этомслучае лагранжиан имеет вид:3 Xm µνα a m2l + 2∂+ ∂−rl aµν m2l + 2∂+∂−aaL=− flfl,µν + rl ε Al,µ∂ν Al,α +4Ml22Ml2l=1+gf abcAaµ Abν ∂ µ Acν ,(3.13)где Aa1,µ − исходное поле, а Aa2,µ и Aa3,µ − дополнительные поля, Aal,− = 0,Aaµ = Aa1,µ + Aa2,µ + Aa3,µ , параметры m, m1 = Λ, m2 = µ аналогичны параметрам в лагранжиане (3.4), rl = ±1 (в дальнейшем для каждого индекса lбудет выбран определённый знак rl ). Параметр m3 − новый параметр, связанный с введением дополнительного поля Aa3,µ.
Величины Ml2 выражаютсячерез параметры ml и m так, чтобы индекс УФ расходимости суммарногопропагатора уменьшился бы ещё на две единицы. Суммарный пропагаторесть сумма пропагаторов каждого поля:−iδ abkµ nν + nµ kν + i m εµνα nαab∆µν = 2gµν −2k+ ×(k − m2 + i0)2k+k− + i0593X×l=1rl Ml2m2l − 2k+k− − i0!. (3.14)Если привести сумму, входящую в формулу (3.14), к общему знаменателю ипотребовать исчезновения членов четвёртой и нулевой степени по k в числителе этой суммы, то получим следующие условия:3Xrl Ml2= 0,l=13Xrl M 2l=1l2ml= 0.(3.15)Далее потребуем, чтобы полученное выражение для суммарного пропагаторапереходило в выражение для пропагатора нерегуляризованной теории приm22 = µ2 → 0, m21 = Λ2 → ∞, m23 → ∞, то есть2k+ k−r1 M12 (m22 + m23 ) + r2 M22 (m21 + m23 ) + r3M32 (m21 + m22 )→Q32 + i0)(2kk−m+ −l=1l2 222r1 M1 m3 + r2 M2 (m1 + m23 ) + r3M32 m21=→m21 m23M1211M322= r1 2 + r2+M+r→ 1.
(3.16)32m1m21 m23m23Если учесть второе из условий формулы (3.15), то условию формулы (3.16)можно удовлетворить, полагая, например,r2 M22m22= −1. При этом, согласноформуле (3.15), получаем:r1M12r3M32m21 (m23 − m22 )=,m23 − m21m23 (m21 − m22 )=−.m23 − m21(3.17)Кроме того, потребуем, чтобы в пределе снятия регуляризации m22 → 0,m21 → ∞, m23 → ∞ оставалось только поле A1. Для этого потребуем дополнительноm23m21→ ∞. Из этих фактов видно, что r1 = 1, r2 = −1, r3 = −1.60С целью оценки зависимости от ε различных конфигураций, перепишемсуммарный пропагатор в следующем виде:∆abµν (Q)гдеiδ ab (2Q+Q− gµν − 2Q+(Qµ nν + Qν nµ + i m εµνα nα ))=R,Q32 + i0)(2QQ−m+−l=0lm20 = m2 + Q2⊥,(3.18)а R = r1M12 (m22 + m23 ) + r2M22 (m21 + m23 ) + r3 M32 (m21 + m22 ).При этом соответствующие формуле (3.11) оценки для пропагатора(3.18) сохраняют свой вид, а оценки, соответствующие формуле (3.12) принимают следующий вид:∆0 (p, k 0) ∼ O(ε4 ),∆0++(p, k 0) ∼ O(ε2 ),∆0+⊥(p, k 0) ∼ O(ε3 ),∆0⊥⊥(p, k 0) ∼ O(ε3),(3.19)т.е.
степень ε увеличивается по сравнению с формулами (3.12). Это приводит к исчезновению в пределе ε → 0 всех рассмотренных выше ненулевыхконфигураций. Таким образом, в теории с лагранжианом (3.13) получаетсясовпадение значений диаграмм при квантовании на поверхности постоянноговремени в лоренцевых координатах и при квантовании на СФ.3.3.УФ перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-МиллсаПоскольку рассматриваемая теория суперперенормируема в (2+1)-мерном пространстве, то для её УФ перенормировки требуется проанализиро-61вать конечное число УФ расходящихся диаграмм, изображённых на рис.
3.3.aРис. 3.3. Диаграммы, расходящиеся в пределе снятия УФ регуляризации.Рассмотрим диаграмму, изображенную на рис. 3.3а. Такая диаграммаимеет индекс УФ расходимости, равный единице. Разложим выражение дляэтой диаграммы в ряд Тейлора по внешнему импульсу pµ в окрестности точки pµ = 0. Посредством размерного анализа УФ расходящихся частей можнонайти, что только первый член ряда Тейлора может расходиться линейно,второй − логарифмически, а остальные уже не могут расходиться.
Во введённой регуляризации эта диаграмма содержит интегралы, которые обращаютсяв ноль при внешних верхних индексах ++, +⊥ и ⊥+ по причине нечётностиподынтегральных функций по одной из компонент импульса или возможности разбить подынтегральное выражение на разность двух частей, которыесокращают друг друга в силу симметрии относительно взаимной замены продольных компонент импульса интегрирования (ампутированные диаграммы,имеющие верхний индекс −, можно не рассматривать, т.
к. в калибровкеA− = 0 эти вклады исчезают при свертке с пропагатором в функциях Гри-62на). Для случая ⊥⊥ получается следующий интеграл (при pµ = 0):Z ∞Z ∞Z ∞(k 2 − k 2 − k 2)dk⊥dk0dk1 ⊥ 2 0 2 2 1 R(k0, k1, m1, m3 ),(k + m )−∞−∞−∞m41 m43R(k0, k1, m1, m3 ) =22 . (3.20)(k02 + k12 + m21 ) (k02 + k12 + m23 )В этом интеграле нет параметра m2 = µ, т.
к. он не содержит ИК расходимостей, и можно положить µ = 0. В цилиндрических координаpтах (ϕ, r = k02 + k12 , k⊥ ) интегрирование по углу даёт множитель 2π, и рассматриваемый интеграл принимает следующий вид:Z ∞ Z ∞2(k⊥− ρ)R(ρ, m1, m3)πdρdk⊥=2(ρ + k⊥+ m2 )20−∞Z1ρπ2 ∞=dρR(ρ, m1 , m3) =1 −32 0(ρ + m2 ) 2(ρ + m2 ) 2Zπ 2 m2 ∞ R(ρ, m1 , m3 )=dρ,32(ρ + m2 ) 20(3.21)здесь ρ = r2 . Теперь можно снять регуляризацию (m1 → ∞, m3 → ∞,соответственно R → 1) и вычислить этот интеграл:ZZπ 2 m2 ∞dρπ 2 m2 ∞ dρ23 =3 = π m.22(ρ + m2 ) 20m2 ρ 2(3.22)Таким образом, линейная УФ расходимость фактически отсутствует в рассматриваемой регуляризации. При рассмотрении этого интеграла в размерной регуляризации можно совершить те же шаги, предполагая, что размернаярегуляризация относится к радиусу цилиндрической системы координат. Приэтом получается такой же ответ.
Вычисление второго члена в разложении вряд Тейлора с помощью аналитической компьютерной программы показывает, что этот член равен нулю при всех рассматриваемых внешних индексах63у диаграммы (++, +⊥, ⊥+ и ⊥⊥). Таким образом, диаграмма на рис. 3.3ане требует перенормировки. Аналогично, с помощью аналитической компьютерной программы можно показать, что расходящаяся (в пределе снятия УФрегуляризации) часть диаграммы, изображённой на рис. 3.3г, равна нулю врассматриваемой и в размерной регуляризациях при всех внешних индексах(+++, ++⊥, . .
. ). Расходящиеся (в пределе снятия УФ регуляризации) части диаграмм 3.3б, 3.3в при внешних индексах ++, +⊥, ⊥+ также равнынулю в рассматриваемой и в размерной регуляризации (это можно показатьс помощью компьютерной программы). В настоящее время нет аналитического ответа для логарифмически расходящихся в пределе m1 → ∞, m3 → ∞частей диаграмм 3.3б, 3.3в при внешних индексах ⊥⊥, но эти расходящиеся части могут быть вычислены численно (этого достаточно для возможныхнепертурбативных вычислений с гамильтонианом на СФ).
Как было сказано во введении к данной главе, определение контрчленов, компенсирующихлогарифмически расходящиеся части указанных выше диаграмм 3.3б, 3.3в,необходимо согласовать с восстановлением калибровочной инвариантности впределе снятия регуляризации. Для этого достаточно их выбрать таким образом, чтобы перенормированные диаграммы совпадали с перенормированными диаграммами в размерной регуляризации.С этой целью перенормировочные контрчлены определяются путём вычисления разности выражений для этих диаграмм в рассматриваемой регуляризации и в размерной регуляризации (при этом диаграмма в размерной регуляризации должна быть перенормирована по схеме минимальных64вычитаний).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
