Автореферат (1149336), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В данной регуляризации импульс становится дискретным,p− = pn = πn/L, n ∈ Z, при этом нулевая мода (n = 0) чётко отделена отостальных (ненулевых) мод. Таким образом окрестность p− = 0 моделируетсянулевой модой. В рамках такой регуляризации нулевая мода на СФ не является независимой динамической переменной. В принципе, она может бытьвыражена через ненулевые моды путём решения сложных (нелинейных пополям) связям. Однако в квантовой теории эти связи определяются неоднозначно, и их решение представляет очень сложную проблему. В данной главепредлагается другой подход, основанный на предельном переходе к СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных плоскостях, приближающихся кСФ. С этой целью вводятся координаты y µ = (y 0 , y 1 , y 2 , y 3 ), аппроксимирующие координаты СФ:η2 − 3y = x + x , y = x− , y ⊥ = x⊥ .20+(12)12Предельный переход к теории на СФ соответствует пределу η → 0 параметра η.
В этих координатах рассматриваются гамильтонианы на пространственно-подобных плоскостях y 0 = 0. По аналогии с регуляризацией |x− | 6 Lвводится регуляризация |y 3 | 6 L. Теперь дискретными оказываются нулевыемоды по координате y 3 , нулевая мода не зависит от этой координаты и является независимой динамической переменной. Чтобы при переходе к СФсохранить информацию, связанную с динамикой этой нулевой моды, предлагается при конечных значениях параметра L "заморозить" предельныйпереход для нулевых мод, полагая η = η0 в тех членах гамильтониана, которые зависят только от нулевых мод. В результате получается эффективноевыражение для гамильтониана на СФ, зависящее от параметров L и η0 , вкотором присутствуют динамические нулевые моды.
В пределе снятия регуляризации L → ∞ предполагается η0 L = const, т.е. η0 → 0. Такое предположение позволяет сформулировать полуфеноменологическую модель взаимодействия кварков и глюонов, однако формулировка данной модели выходитза рамки данной диссертации.В рассматриваемом подходе вводится калибровочно-инвариантная регуляризация УФ расходимостей с помощью решётки по поперечным координатам.
При этом предлагается новая параметризация глюонных полей на этойрешётке: компоненты глюонного поля A+ , A− и кварковые поля относятся кузлам решетки, а для поперечных компонент глюонного поля вводятся специальные переменные в виде комплексных N × N матриц следующего вида(для модели с калибровочной группой SU(N)):³´Mα (x) = I + igaα Ãα (x) Uα (x) , α = 1, 2, a1 = a 2 = a ,(13)где Uα (x) − унитарные N × N матрицы, отнесенные к ребрам решетки(x − aα eα , x), eα − единичные векторы вдоль осей xα , а Ãα (x) − эрмитовыN × N матрицы, отнесенные к соответствующим узлам решетки.Для этих переменных определяется закон калибровочных преобразований следующим образом:Ãα (x) → Ω(x)Ãα (x) Ω+ (x) ,Uα (x) → Ω(x)Uα (x) Ω+ (x − aα eα ) ,(14)где Ω(x) − матрица калибровочного преобразования.
Для матриц Mα (x) преобразование имеет следующий вид:Mα (x) → Ω(x)Mα (x) Ω+ (x − aα eα ).При этом для переменных A+ , A− и ψ сохраняется обычный закон преобразования:iA± (x) → Ω(x)A± (x) Ω+ (x) + Ω(x)∂± Ω+ (x), ψ(x) → Ω(x)ψ(x).g13Определим оператор D− следующими равенствами:hiD− Ãα (x) = ∂− Ãα (x) − ig A− (x), Ãα (x) ,D− Uα (x) = ∂− Uα (x) − igA− (x)Uα (x) + igUα (x)A− (x − aα eα ),D− Mα (x) = ∂− Mα (x) − igA− (x)Mα (x) + igMα (x)A− (x − aα eα ),³´D− ψ(x) = ∂− − igA− (x) ψ(x).Эти равенства обеспечивают перестановочность операции D− с калибровочными преобразованиями.Теперь доопределим матрицы Uα (x) следующим калибровочно-инвариантным условием:D− Uα (x) = 0,(15)а для матриц Ãα (x) потребуем отсутствия в них части, удовлетворяющейусловию D− Ãα (x) = 0.
В калибровке A− = 0 эти условия просто означаютразделение нулевых и ненулевых мод Фурье по x− матриц Mα (x), где Uα (x)и igaα Ãα (x)Uα (x) описывают нулевые и ненулевые моды соответственно.В пределе непрерывного пространства (a → 0) потребуем, чтобы в калибровке A− = 0 для Uα (x) выполнялось следующее:³´Uα (x) → exp igaα Aα0 (x) → I + igaα Aα 0 (x) ,где Aα0 (x) − нулевая мода поля Aα (x) в непрерывном пространстве, а дляполя Ãα (x) потребуем, чтобы оно стремилось к части поля Aα (x), отвечающей ненулевым модам. Тогда при всех A− для матриц Mα (x) получаетсяследующее соотношение:³´2Mα (x) → I + igaα Aα (x) + O (aα g) .(16)Это позволяет определить решеточный аналог полей Fµν (x) теории в непрерывном пространстве следующим образом:G+− (x) = iF+− (x),1G12 (x) = − 2gaµG−α (x) =1D− Mα (x),gaα¶M1 (x)M2 (x − ae1 ) − M2 (x)M1 (x − ae2 ) ,При a → 0 получаем Gµν (x) → iFµν (x).При калибровочных преобразованиях имеемG±α (x) → Ω(x) G±α (x) Ω+ (x − aα eα ),14Gαβ (x) → Ω(x) Gαβ (x) Ω+ (x − aα eα − aβ eβ ).Далее можно ввести калибровочно-инвариантный аналог ультрафиолетовогообрезания по p− , используя обрезание по собственным значениям q− оператора D− : | q− | 6 Λ.
Это условие позволяет придать регуляризации теорииполностью калибровочно-инвариантный вид. При рассмотрении гамильтонианов в η-координатах применяется аналогичная решёточная регуляризация.Выражение для гамильтониана на такой решётке удаётся получить, используя метод построения "трансфер-матрицы", описанный в работе M. Creutz[21].В заключении диссертации представлены основные результаты, благодарности и список использованной литературы.ЗаключениеВ диссертации приведено построение квантового перенормированногогамильтониана на СФ, порождающего теорию возмущений, эквивалентнуюобычной теории возмущений в лоренцевых координатах. Такой гамильтонианпостроен для (2+1)-мерной теории λϕ4 скалярного поля, регуляризованной спомощью метода Паули-Вилларса для случаев с ненарушенной симметриейи со спонтанным нарушением симметрии.
При этом получены ограниченияна параметры масс и константы связи для этих гамильтонианов. Также описана перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса при квантовании наСФ. Кроме того, представлено построение гамильтониана КХД на СФ в рамках решёточной регуляризации и предложен способ учёта нулевой моды. Этирезультаты могут быть применены для численных расчётов спектров масс.Список публикаций по теме диссертации из перечняВАК1.
М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов. Калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на световом фронте в пространстве с поперечной решёткой // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 4. − 2010. −Вып. 2. − С. 2−7. − http://arxiv.org/abs/1311.4650.2. М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов. Квантовая хромодинамикана световом фронте с нулевыми модами, моделирующими вакуум // ТМФ. −2011. −Т. 169, N 2.
−С. 272−284. −http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v169/i2/p272.153. M.Yu. Malyshev, S.A. Paston, E.V. Prokhvatilov, R.A. Zubov. RenormalizedLight Front Hamiltonian in the Pauli-Villars Regularization // InternationalJournal of Theoretical Physics, 2015, Vol. 54, Issue 1, pp. 169−184,http://arxiv.org/abs/1311.4381.4. М.Ю. Малышев, С.А. Пастон, Е.В. Прохватилов, Р.А. Зубов, В.А. Франке. Регуляризация Паули-Вилларса и гамильтониан на световом фронтев (2+1)-мерной теории Янга-Миллса // ТМФ.
− 2015. − Т. 184, N 3. −С. 503−514, − http://arxiv.org/abs/1505.00272.5. Р. А. Зубов, Е. В. Прохватилов, М. Ю. Малышев. Предельный переходна световой фронт для квантовой хромодинамики и кварк-антикварковое приближение // ТМФ. − 2015. − Т. 184, N 3. − С. 472−480, −http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v184/i3/p456.6. M.Yu. Malyshev, S.A. Paston, E.V. Prokhvatilov, R.A. Zubov, V.A. Franke.Pauli-Villars regularization in nonperturbative Hamiltonian approach onthe light front // AIP Conf.
Proc. − Vol. 1701, − 100012 (2016), −http://arxiv.org/abs/1504.07951.Цитируемая литература7. Bakker, B. L. G. Light-Front Quantum Chromodynamics: A frameworkfor the analysis of hadron physics / B. L. G. Bakker,at al. //Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.). − 2014. − Vol. 251−252. − Pp. 165−174. −arXiv:1309.6333 [hep-ph].8. Dirac, P. A. M. Forms of relativistic dynamics / P. A.
M. Dirac //Rev. Mod. Phys. − 1949. − Vol. 21, no. 3. − Pp. 392−398.9. Пастон, С. А. Гамильтонов формализм на световом фронтедлядвумернойквантовойэлектродинамики,эквивалентныйлоренц-ковариантному подходу / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов,В.
А. Франке // ТМФ. − 2002. − Т. 131, N 1. − С. 84−97. −arXiv:hep-th/0302016.10. Пастон, С. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах световогофронта. / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. − 2005. −Т. 68. − С. 292−303. − arXiv:hep-th/0501186.11. Paston, S. A. On the construction of corrected light-front Hamiltonian for16QED2 / S.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
