Автореферат (1149328), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Получена сложная картина областей притяжения неподвижных точек и их эволюция с изменением параметров модели, таких как размерность пространства, степеньсжимаемости жидкости и число компонент параметра порядка. Показано существование явления кроссовера (потеря и обретение устойчивостикритическими режимами) при изменении этих параметров.
В частностипоказано, что при некоторых значениях параметров притягивающимимогут быть сразу две неподвижные точки, то есть при тех же условияхмогут реализоваться различные типы критического поведения. В этомсмысле критическое поведение не является универсальным.Апробация результатов и публикации. По теме диссертации опубликовано 4 научные работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus [1–4]. Основные результаты работы были представлены на международных научных конференциях:1. hep.phys.spbu.ru/conf Models in Quantum Field Theory II и III (CПб,2008, 2010)2.
theor.jinr.ru/~rg2008/ Renormalization Group and Related Topics inQuantum Field Theory (Дубна, 2008)3. www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html Scienceand Progress (СПб, 2010)74. http://www.saske.sk/Uef/Conferences/stm13/ Small Triangle Meetingon Theoretical Physics (Stara Lesna, 2013)Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором либо при его прямом участии в неразделимомсоавторстве.Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения,4-х глав, заключения и списка литературы из 40 наименований. Работа изложена на 98 страницах и содержит 11 рисунков и 8 таблиц.Содержание работыВо введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показанапрактическая значимость полученных результатов, представлены выносимыена защиту научные положения.В первой главе обсуждаются модели критического поведения: процессГрибова, модели A и Поттса.
Приводятся их стохастические дифференциальные уравнения для параметра порядка . Данные задачи можно переформулировать в виде теоретико-полевых моделей с заданными функционаламидействия:(︀)︀(, † ) = † − + 0 2 − 0 0 + 0 ( † )2 − 0 † 3 /3!(1)для модели A,(, † ) = † (− + 0 2 − 0 0 ) +}︀0 0 {︀ † 2( ) − † 22(2)для процесса Грибова,(︀)︀0 0 † ,(, † ) = † − + 0 2 − 0 0 + 0 † † −28(3)для модели Поттса. Здесь - неприводимый инвариант группы симметрии −мерного гипертетраэдра, тензор третьего ранга, который без ограничения общности можно считать симметричным, † = † (, x) - некотороевспомогательное “поле отклика”, 0 ∝ ( − ) - отклонение температурыили ее аналога от критического значения, 0 > 0, 0 > 0- константы связи,0 > 0- кинематический коэффициент.
В приведенных формулах подразумевается интегрирование по аргументам полей и суммирование по индексам.Далее в главе обсуждаются симметрии моделей, приводятся правила Фейнмана.Во второй главе для моделирования турбулентного перемешивания мыиспользовали известное уравнение Навье-Стокса со случайной силой, которая задается своим коррелятором в импульсно-временном представлении ∝′(− )4−− . В данной главе исследуется влияние турбулентного перемешивания на модели A и Грибова.
Обсуждается процесс добавления поля скоростив исходные модели, приводятся функционалы действия для полных задач.После процедуры ренормировки приводятся одно-петлевые ответы для констант ренормировки и РГ-функций. Представляются ответы для координатнеподвижных точек и обсуждаются области их устойчивости. Приводятсявыражения критических размерностей для всех режимов.Было показано, что в зависимости от соотношения между пространственной размерностью и показателем , обе модели демонстрируют различныекритические режимы, связанные с ИК притягивающими неподвижными точками уравнения РГ.
Для обеих моделей наиболее интересная неподвижнаяточка соответствует новому типу критического поведения, в котором важнакак нелинейность, так и турбулентное перемешивание, а критические размерности зависят от двух параметров и . Из анализа размерностей можнобыло предположить, что новый нетривиальный режим должен проявлятьсяпри положительных и = 4−, однако тщательный РГ-анализ показывает,что области ИК устойчивости фактически гораздо уже: для процесса Грибова мы получили сектор /4 < < 2/3, а для модели A - 0 < < 3/2.
Этотэффект приводит к интересным физическим предсказаниям: при наиболее9реалистичных значениях пространственной размерности = 2 или 3 и Колмогоровского показателя = 4 для развитой турбулентности мы попадаем вобласть устойчивости скейлингового режима, где имеет значение только турбулентный перенос. В случае процесса Грибова, например, это означает чтораспространение агента полностью определяется турбулентным переносом.Важно заметить, что эти результаты согласуются с теми, что были полученыранее, где для описания турбулентного переноса была использована модельОбухова-Крейчнана (несжимаемый случай).В третьей главе мы рассмотрели другой способ описывать влияниетурбулентного перемешивания на наши модели.
Была предложена уже упомянутая выше модель Казанцева - Крейчнана с Гауссовым полем скорости истепенным спектром ∝ −− , но с обобщением на случай сжимаемой жидкости. В данном случае поле скорости задается корреляционной функцией⟨ (, ) (′ , ′ )⟩ = ( − ′ ) (r), r = − ′(4)гдеZ (r) = 0k 1{ (k) + (k)}(kr).(2) +(5)>Здесь (k) = − / 2 , (k) = / 2 - поперечный и продольный проекторы, ≡ |k| - волновое число, 0 > 0 - множитель в амплитуде и > 0 - произвольный параметр.
Случай = 0 соответствует несжимаемойжидкости ( = 0). Показатель 0 < < 2 - произвольный параметр; “Колмогоровское” значение = 4/3. Интеграл (5) обрезан снизу при = , где ≡ 1/- величина, обратная масштабу турбулентности .В этой главе к уже известным нам процессу Грибова и модели A мыдобавляем в рассмотрение модель Поттса, которая имеет большое число разнообразных физических применений. Полные задачи формулируются в видетеоретико-полевых моделей, доказывается их мультипликативная ренорми10руемость, что позволяет нам пользоваться методом РГ для анализа их поведения.
Было показано, что в зависимости от соотношения между пространственной размерностью и показателем все наши модели демонстрируютчетыре различных вида критического поведения, связанных с четырьмя возможными неподвижными точками уравнения РГ.Три неподвижные точки соответствуют известным режимам: (I) Гауссовой неподвижной точке; (II) критическому поведению, типичному для чистоймодели без турбулентного переноса (то есть, модель A, Грибова или Поттса);(III) скалярному полю без самодействия (нелинейность параметра порядка висходных динамических уравнениях является несущественной).
Наиболее интересной четвертой точке соответствует новый тип критического поведения(IV), в котором важны как нелинейность, так и турбулентное перемешивание.Критические показатели зависят от , и параметра сжимаемости . Быливычислены критические индексы и области устойчивости для всех режимовв одно-петлевом приближении, что соответствует главным членам двойногоразложения по параметрам и .
Модель Поттса обладает более сложнойкартиной областей устойчивости неподвижных точек в сравнении с другимимоделями. Это связано с тем, что в модели ответы зависят еще от одногопараметра - числа компонент . Для наиболее интересного случая = 0(процесс протекания в движущихся средах) и при реалистичных значенияхдля несжимаемой жидкости = 4/3, = 3 мы попадаем в режим пассивногоскалярного перемешивания (III). С ростом граница устойчивости между(III) и (IV) областями начинает двигаться и, при достаточно большом , мыпопадаем в новый режим (IV). Таким образом, сжимаемость ведет к сменетипа критического поведения между двумя классами универсальности. Для = 2 (переход из нематического в изотропное состояние в жидких кристаллах) при маленьком и вышеупомянутыми и система попадает в (III) режим (турбулентный перенос).
Когда становится достаточно большим нашипараметры не попадают ни в один из допустимых режимов. Следовательно,в этом случае рост сжимаемости разрушает критическое поведение.Для случая процесса Грибова или модели A картина устойчивости режи11мов гораздо проще и похожа на картину из предыдущей главы. Было показано, что для обеих моделей, сжимаемость усиливает роль нелинейных членовв динамических уравнениях. В плоскости –, область устойчивости (IV) режима становится шире при возрастании степени сжимаемости.Проиллюстрируем эти общие утверждения на примере облака частиц всистеме реакция-диффузия, распространяющегося в близкой к критическойтурбулентной среде. Среднеквадратичный радиус () облака частиц, связанс функцией отклика в координатно-временном представлении следующим образом:Z2 () = x 2 (, x),(, x) = ⟨(, x) † (0, 0)⟩, = |x|.(6)Для функции (, x) скейлинговые соотношения дают следующие ИК-асимптотики:(, x) = −Δ −Δ†(︁)︁,,1/Δ Δ /Δ(7)Где - некоторая функция, а ∆ - критические размерности полей и параметров.
Подставляя (7) в (6) получаем скейлинговое выражение для радиуса:(︁ )︁(+2−Δ −Δ† )/Δ2 () = Δ /Δ ,(8) где скейлинговая функция связана с из (7)Z () = x 2−Δ −Δ† (, ).Непосредственно в критической точке (предполагается, что функции конечна при = 0) получаем из (8) степенной закон для радиуса:2 () ∝ Ω ,Ω ≡ ( + 2 − ∆ − ∆† )/∆ ;(9)Для Гауссовой неподвижной точки имеем обычный закон диффузии () ∝1/2 .
Для режима (IV) был получен результат () ∝ 1/(2−) . Для Колмогоровского значения = 4/3 , () ∝ 3/2 он находится в соответствии с“законом Ричардсона 4/3” 2 / ∝ 4/3 для турбулентности. Для двух других неподвижных точек показатели задаются бесконечными рядами по (для12точки III) и , (для точки IV).
В случае несжимаемой жидкости ( = 0),наиболее реалистичные значения = 2 или 3 и = 4/3 лежат в областирежима (III), так что распространение облака полностью определяется турбулентным переносом и описывается степенным законом (9) с точным показателем Ω(3) = 2/(2 − ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
