Диссертация (1149280), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Далее, при каждом n ≥ 0Fn+1G′ (Fn ),= PrO Fn − ′′G (Fn )где PrO — проекция на замыкание окрестности O.Требуется вычислить первую и вторую производные функции G. Первая производная:G′ = 2 Re(Θ∗ Y ′ ) − Θ∗ R′ Θ,так как (R−1 )′ = −R−1 R′ R−1 .Вторая производная:G′′ = 2 Re(Θ∗ Y ′′ ) + 2(Y ′ )∗ R−1 Y ′ − 4 Re(Θ∗ R′ R−1 Y ′ ) + 2Θ∗ R′ R−1 R′ Θ − Θ∗ R′′ Θ.Введём вспомогательные вектор–функции Z n (F ) = (Zkn (F ))Mk=−M равенствомZkn (F ) nN/2−12πi1 X 2t=e− N kF t,w t stNNt=−N/2−M ≤ k ≤ M,n = 0,1, . .
.Очевидно, что(Zkn )′ (F ) = −2πikZkn+1 (F ),−M ≤ k ≤ M,n = 0,1, . . .83По определению, вектор Y состоит из векторов Y A и Y B с компонентамиYkAN/2−1N/2−11 X1 X 2 − 2πi kF t=w t st e NSn P̄n (kF ) == Zk0 (F ),N2Nt=−N/2n=−N/2YkBN/2−1N/2−11 X 2 t − 2πi kF t1 Xw t st e NSn Q̄n (kF ) == Zk1 (F ).=N2NNt=−N/2n=−N/2Отсюда производные по F от векторов Y A и Y B вычисляются следующим образом:(YkA )′ (F ) = (Zk0 )′ (F ) = (−2πik)Zk1 (F ),(YkB )′ (F ) = (Zk1 )′ (F ) = (−2πik)Zk2 (F ),(YkA )′′ (F ) = (Zk0 )′′ (F ) = (−4π 2 k 2 )Zk2 (F ),(YkB )′′ (F ) = (Zk1 )′′ (F ) = (−4π 2 k 2 )Zk3 (F ).Матрица R = R(F ) состоит из блоковR(F ) =RP (F )RP Q (F )!RP Q (F )RQ (F ).Матрицы RP (F ), RP Q (F ) и RQ (F ), а также из первые и вторые производные по F —тёплицевы и самосопряжённые.Введём обозначенияXnN (f ) nN/2−12πi1 X 2 t=e− N f t ,wtNNn = 0,1, .
. .t=−N/2Производные вычисляются по правилуN(XnN )′ (f ) = −2πiXn+1(f ),n = 0,1, . . .Элементы матриц RP (F ), RP Q (F ) и RQ (F ) можно выразить следующим образом:PRkm(F ) = X0N ((k − m)F ),PQRkm(F ) = X1N ((k − m)F ),QRkm(F ) = X2N ((k − m)F ).Первые производные:P ′(Rkm) (F ) = −2πi(k−m) X1N ((k−m)F ),PQ ′(Rkm) (F ) = −2πi(k−m) X2N ((k − m)F ),Q ′(Rkm) (F ) = −2πi(k−m) X3N ((k − m)F ).84Аналогично, вторые производные:P ′′(Rkm) (F ) = −4π 2 (k−m)2 X2N ((k−m)F ),P Q ′′(Rkm) (F ) = −4π 2 (k−m)2 X3N ((k − m)F ),Q ′′(Rkm) (F ) = −4π 2 (k−m)2 X4N ((k − m)F ).При N → ∞ функции XnN имеют пределlimN →∞XnN (f )1=(2π)n+1Zπ−πw 2 (x) xn e−ixf dx = Xn∞ (f ),где w(x) = (1 + cos x)/2.Остаётся найти способ вычисления функций Xn∞ (f ) при n = 0, 1, 2, 3, 4.
При n = 0, 1, 2эти функции уже были вычислены, так как они равны, соответственно, rP (f ), rP Q (f ) и rQ (f ).В частности,X0∞ (f ) = rP (f ) =При n ≥ 1:Xn∞ (f )=i2πn(X0∞ )(n) (f )3=231sinc(f ) 2.2(f − 1)(f 2 − 4)i2πn XnCnk(k)sinc (f )k=01(f 2 − 1)(f 2 − 4)(n−k).Введём, как и ранее, функцию sc(x) = sin(x)/x. Её проще дифференцировать, чемsinc(x) и, в то же время, при всех k ≥ 0sinc(k) (x) = π k sc(k) (πx).Легко проверить, чтоcos(x) − sc(x),sc′ (0) = 0,x sc(x) − 11′′2 xsc (x) = − sc(x) + sc+2,sc′′ (0) = − ,22x3 x cos x − sc x sc(x)−cos(x)cos(x)−3sc(x)+222sc′′′ (x) =+ sc+2,sc′′′ (0) = 0,3x2x/2x x sc x − 11x3xxsc(x)−12+ scsc2+ sc− sc2sc′′′′ (x) = sc(x) − 2x2222242(x/2)2 !2xxcos−sc12 2 x 2122+ sc(x) − 1 ,+ 2 − sc(x) + 2 sin+2x/2xx2sc′ (x) =1sc′′′′ (0) = .585Для дифференцирования второго сомножителя функции X0∞ (f ) разложим его на простейшие:Отсюда11=(x2 − 1)(x2 − 4)612(x − 1)(x2 − 4)′==1(x2 − 1)(x2 − 4)′′==12(x − 1)(x2 − 4)′′′===12(x − 1)(x2 − 4)′′′′===11−x+1 x−11+1211.−x−2 x+2111111−+−6 (x − 1)2 (x + 1)212 (x + 2)2 (x − 2)22xx(−4x2 + 10)2x11−=,3 (x2 − 1)23 (x2 − 4)2(x2 − 1)2 (x2 − 4)2111111+−−3 (x + 1)3 (x − 1)36 (x − 2)3 (x + 2)32 3x2 + 420x6 − 90x4 + 102x2 + 402 3x2 + 1+=,−3 (x2 − 1)3 3 (x2 − 4)3(x2 − 1)3 (x2 − 4)311111−+−(x − 1)4 (x + 1)42 (x + 2)4 (x − 2)48x(x2 + 1) 8x(x2 + 4)−(x2 − 1)4(x2 − 4)48−15x +90x6 −180x4 +15x2 +2528x,(x2 − 1)4 (x2 − 4)411114−+2−(x + 1)5 (x − 1)5(x − 2)5 (x + 2)55x4 + 40x2 + 165x4 + 10x2 + 1+8−8(x2 − 1)5(x2 − 4)535 x12 −245 x10 +630 x8 −125 x6−2335 x4+3000 x2 +33624.(x2 − 1)5 (x2 − 4)5Значения в особых точках f = 0, ± 1, ± 2 вычисляются отдельно.
В точке f = 0:X1∞ (0) = 0, X3∞ (0) = 0 и3X0∞ (0) = ,8X2∞ (0) =2π 2 − 15,64π 2X4∞ (0) =3(2π 4 − 50π 2 + 315).1280π 4В точке f = 1:−5i6π 2 − 551X1∞ (1) =,X2∞ (1) =,X0∞ (1) = ,448π288π 2−i(30π 2 − 245)54π 4 − 1650π 2 + 10955∞X3∞ (1) =,X(1)=.41152π 317280π 4В точке f = 2:−25i24π 2 − 4151,X1∞ (2) =,X2∞ (2) =,16384π4608π 2864π 4 − 49800π 2 + 3805555845 − 600π 2∞i,X(2)=.X3∞ (2) =436864π 31105920π 4X0∞ (2) =86X∞00.40.20−3−2−10123123123123123Im(X∞)10.050−0.05−3−2−10X∞20.010−0.01−3−2−120Im(X∞)3−3x 100−2−3−2−150X∞4−4x 100−5−3−2−10fРисунок 2.15 — Функции Xn∞ .Графики функций X0 , X1 , X2 , X3 , X4 приведены на рис. 2.15.87Глава 3. Алгоритм быстрого оценивания ЧОТРассмотрим процесс построения стационарной полигармонической модели голосовогосигнала.
Параметрами такой модели являются амплитуды и фазы всех входящих в неё гармоник, а так же частота основного тона. Задача построения такой модели сводится к поискуоптимальных параметров в смысле наилучшего приближения к исходному сигналу.В главе 2 описан эффективный метод на основе МНК для оценки амплитуд и фаз длястационарной модели. Подход, применяемый для оценки частоты основного тона (теорема5), обладает сложностью порядка N 2 .Текущая глава посвящена модификации алгоритма оценивания частоты основного тона, которая позволит уменьшить сложность вычислений.3.1Постановка задачиN/2−1Пусть s = (st )t=−N/2 — некоторый голосовой сигнал. Поставим задачу построения стационарной модели следующего вида для этого сигнала:st =bMX2πiak e NF kt,k=−M−N/2 ≤ t ≤ N/2 − 1,где F = N/P — частота основного тона (выраженная в количестве периодов в интервалеанализа или,что то же самое, в отсчётах спектра), P — период основного тона, выраженныйв количестве отсчётов, M — количество гармоник, a = (ak ) — комплексные амплитуды иak = a−k .Число гармоник M может быть различным, но максимальная частота гармоники, равная F M, не должна превосходить частоту Найквиста, равную N/2.
Возьмём в качестве Mцелую часть от P/2.3.1.1Минимизируемая функцияКак было продемонстрировано в главе 2, задача идентификации параметров в классеполигармонических моделей с белым шумом сводится к минимизации функции (раздел 2.2.4)одной переменной F :σ 2 (F ) =s8 Jmin(F ).h3 1 − s∞ (F )F88где hs∞ (F ) - известная функция (раздел 2.2.4), аsJmin(F ) =1 NN/2−1Xt=−N/2P −12X1|ym | ,wt2s2t −F m=0 Cmt)),где wt — окно Ханнинга, wt = 12 (1 + cos( 2πN[ N/2−1−m]−Pym (P ) =X]+n=[ −N/2−mP8Cm (P ) =3Fsm+nP ,e0 ≤ m ≤ P − 1,[ N/2−1−m]−PX2wm+nP,]+n=[ −N/2−mP0 ≤ m ≤ P − 1,st = wt2 st , [·]+ означает округление вверх, а [·]− — вниз (теорема 5).eПроцесс поиска оптимального P разбивается на два этапа.
На первом этапе находятсяцелочисленные кандидаты на период основного тона, которые являются точками локальныхминимумов показателя качества σb2 (F ). Для каждой из этих точек рассчитывается ближайший локальный минимум σb2 (F ) уже по всем непрерывным значениям F (раздел 2.4.2).sЗадача поиска значений Jminдля целых периодов основного тона P сводится к расчётузначенийP−1X|ym (P )|2φ(P ) =Cm (P )m=0по всем целым значениям P в промежутке допустимых значений P ∈ [Pmin ,Pmax ] где Pmin небольшое число, определяемое частотой дискретизации, а Pmax ≈ 5/8N.Числа Cm (P ) можно считать затабулированными.
Для вычисления значения φ(P ) поего определению требуется для каждого m = 0, . . . ,P − 1 сложить N/P чисел, что требует порядка N операций. К ним добавляется P возведений в квадрат, делений и сложений.Сложность расчёта пропорциональна N. Количество различных значений P , для которыхтребуется вычислить φ(P ), также пропорционально N. Поэтому сложность расчёта пропорциональна N 2 . Это чересчур затратно во многих приложениях.В данной главе представлены методы приближённого расчёта функционала φ в целыхточках, имеющие сложность порядка N log N.893.1.2Частный случайВ частном случае [12], когда P ≤ N/3, можно считать, что Cm ≈ 1. Тогда необходимонайти значенияφ(P ) =P−1Xm=0|ym (P )|2для всех P .
Покажем, что это можно сделать за время, пропорциональное N log N.Доопределим нулями последовательность set = 0 при t < −N/2 иt > N/2. Тогдаφ(P ) =2∞Xsem+nP P−1 Xm=0 n=−∞=P−1X∞Xm=0 n=−∞=∞Xm=−∞se2mse2m+nP + 2+2P−1Xm=0 n=−∞ k=0∞X∞X∞∞ XXm=−∞ k=0sem+nP sem+(n+k)Psem esm+kP = r0 + 2[N/P ]XrkP ,k=0где rk — корреляционная функция последовательности set :N/2−1−krk =Xt=−N/2set est+k ,k ≥ 0.Корреляционная функция rk рассчитывается через преобразование Фурье за времяN log N. Количество вычислений для расчёта φ0 (P ) при всех P оценивается какNXNP =1P∼ N log N.Таким образом, сложность алгоритма пропорциональна N log N.
Попытаемся распространить такой подход на общий случай.3.2Свойства функции «колокольчик»Этот раздел содержит вспомогательные утверждения, относящиеся к свойствам функции, равной нормированному ДПФ от произведения гармоники частоты f на окно Ханнинга90wt = (1 + cos(2πt/N))/2:N/2−12πi2 XBN (f ) =wt e− 2N f t ,Nf ∈ R,t=−N/2называемого далее «колокольчиком».Представлены следующие утверждения: явные формулы для BN (f ) и для предельнойфункции B∞ (f ), погрешность аппроксимации |BN (f )−B∞ (f )|, коэффициенты Тейлора функ-ции B∞ (f ) в целых точках.3.2.1Расчёт предельного колокольчикаФункция BN (f ) принимает вещественные значения, чётная, периодическая с периодом2N.
Поэтому она полностью определяется своими значениями на отрезке 0 ≤ f ≤ N.Лемма 8.πsin π2 f cos 2Nf sin2ππfsin(f−2)sin2N2N1BN (f ) = −N sinс доопределением в особых точках:BN (0) = 1,πNπ(f+2)2N1BN (±2) = .2Предельное по N значение функции BN естьB∞ (f ) = lim BN (f ) = −N →∞8 sin πf2.πf (f 2 − 4)Доказательство. Посколькуwt =то1 1 2πi t 1 − 2πi t+ eN + e N ,2 44 πiπiπiπiπiπi1 e− 2 f − e 2 f1 e− 2 (f −2) − e 2 (f −2) 1 e− 2 (f +2) − e 2 (f +2)BN (f ) =++.2πi2πifN e− 2πi222N−1e− 2N (f −2) − 1e− 2N (f +2) − 1Числители трёх дробей в скобках равны, соответственно, −2i sin(πf /2), 2i sin(πf /2) и2i sin(πf /2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
