Диссертация (1149277), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Вывод формулы для волны БулдыреваВыведем формулу для Δ. Обозначим ′ – точку, где = Δ (см. рис.3.1), тогда в первом приближении⃒ ⃒⃒Δ = (Δ) − 0 = (Δ) − (0) =Δ. ⃒=0(3.9)Закон Снеллиуса в точке ′ даёт:cos(0 + Δ)=cos 0(︂ )︂⃒1 ⃒⃒.2 ⃒=Δ(3.10)Учитывая, что Δ и 0 малы (см. (3.4)), имеем:(︂ )︂⃒(︂)︂⃒(︂)︂cos(0 + Δ) 1 ⃒⃒201 ⃒⃒≈+Δ ≈ 1 +(cos 0 − sin 0 Δ).22 ⃒=0 2 ⃒=021 − 20(3.11)(︁ )︁⃒⃒Учитывая, что в точке = 0 имеет место закон Снеллиуса cos 0 = 12 ⃒ ,=0получаем с точностью до главных членов:(︂)︂⃒ 1 ⃒⃒20Δ + sin 0 Δ = cos 0 .
2 ⃒=02(3.12)На равенства (3.9) и (3.12) можно смотреть как на систему уравнений длянахождения Δ и Δ, откудаΔ =202 cos (︁0 )︁⃒.1 ⃒sin 0 + 2 ⃒=0(3.13)59Если учесть, что 0 и 0 зависят только от и значений 1 , 2 , κ1 , κ2 ,1ив точке = 0, получим, что коэффициент возбуждения в силу формулы (3.8)пропорционален10 √︂sin 0 +.(︁ )︁⃒1 ⃒ 2 ⃒(3.14)=0Интересно отметить, что подкоренное выражение в (3.14) отличается от левойчасти неравенства (3.2) только множителем −1.Рис. 3.4. К асимптотической формуле для волны Булдырева.Предположения сделанные в параграфе 3.2 являются необоснованными гипотезами, поэтому рассуждения, которыми мы пользовались для нахождениякоэффициента возбуждения волны носят эвристический характер. Пользуясь результатами полученными в настоящей главе сконструируем функцию (областью определения которой является Ω2 ) описывающую главный членасимптотики волны Булдырева при → ∞ исходя из следующих соображений:найдем функцию, которая в случае предельного перехода рассматриваемой задачи к эталонной ( → ∞, 2 ≡ , κ1 = κ2 = 1) в главном приближении̃︀ (см.
глава 2, формула (2.53)). В итоге приходим к слетождественно равна дующей формуле: (, ) ∼√︃R− ()0 ()√︁(−)sin 0 +⃒ 1 ⃒ 2 ⃒ ()=0() () (), (3.15)( )60Z [︂ () =1 ()2 ()]︂,()2 ()(3.16)=(︁ )︁ 31 Z2,(3.17)| |+,2 ()1(3.18)1/32 () 2/3 ()Z (, ) =Z=−0˜κ1 1,κ2 2 (˜) sin (˜) (˜)(3.19)κ1 1,κ2 2 ()(3.20) () =где () – геометрическое расхождение в точке (см. [5]), () – дифракционный коэффициент в точке , – приведенная длина дуги (см.
рис. 3.4). Мыпредполагаем, что выражение (3.15) представляет собой искомую асимптотикуволны Булдырева в рассматриваемой в диссертации задаче.3.4. Применимость формулы В. С. Булдырева для 0 вслучае преломляющей границыВ разделе 3.1 было дано определение 0 – условной границы значений предельного луча (см. формулу (3.4)).
Выражение (3.4) получено В. С. Булдыревым при рассмотрении не преломляющей, а отражающей границы и точечного источника излучения волн расположенного на ней. В диссертации границапреломляющая, но формула В. С. Булдырева для 0 сохраняется. Целью этого параграфа является доказательство применимости формулы (3.4) в случаерассматриваемой нами задачи. Для достижения поставленной цели вычислимразность фаз двух лучей падающей волны преломившихся в область Ω2 и врезультате многократных переотражений от границы раздела сред пришедшихв точку наблюдения . Обозначим эти два луча и +1 .
Предположим, что61Рис. 3.5. К задаче о поиске разности фаз двух лучей и +1 испытывающих и + 1переотражений от границы раздела . Пунктирными линиями, ортогональными лучам волнраспространяющихся в области Ω1 изображены волновые фронты соответствующих волн.луч совершает переотражений от границы в области Ω2 , луч +1 – + 1переотражений, ≫ 1.Пусть = – значение натурального параметра кривой в точке, в кото()рой луч пересекает границу раздела сред (см.
рис. 3.5), – длина участканачало которого совпадает с точкой пересечения с волновым фронтом изображенном на рис. 3.5 и заканчивающегося в точке его пересечения с кривой ,()которую мы обозначим , – угол скольжения (угол который образует()падающий на границу раздела луч с касательной к в точке ) и – угол,который образует преломленная часть рассматриваемого луча с касательной(+1)к в точке .
Параметры луча +1 – (+1), (+1)и определяютсяаналогично (см. рис. 3.5). Пусть значение натурального параметра в точкепересечения вторым лучом границы есть = + Δ . Пользуясь рассуждениями аналогичными сделанным в параграфе (3.3) (см. формулы (3.9)-(3.13))имеем:Δ =(︂(︁())︁2(︁(+1)− )︁2 )︂⃒⃒⃒cos 0(︁ )︁ ⃒⃒1 ⃒sin 0 + 2.(3.21)=Аналогичная формула имеет место при рассмотрении лучей преломляющихся62из среды Ω2 в среду Ω1 :Δ =(︂(︁())︁2(︁(+1)− ⃒⃒⃒cos 0(︁ )︁ ⃒⃒1 ⃒sin 0 + )︁2 )︂2.(3.22)=В формулах (3.21)-(3.22) и – функции переменной однозначно определяющиеся функцией описывающей волновое поле падающей волны , ()– значение угла скольжения луча падающей волны испытывающего отражениеи преломление в точке кривой , () – значение угла преломления в точке луча волны распространяющейся в области Ω1 , порожденной волной шепчущейгалереи распространяющейся в области Ω2 .Обобщая формулу (2.2) главы 11 монографии [5] на случай неоднороднойобласти Ω2 (2 = 2 (, )) получаем зависимость между Δ и Δ :√︃2 ( ) ( )Δ ≃ 3Δ ,2 ( ) ( )(3.23)где () – эффективный радиус кривизны кривой в точке .
Кроме того,пользуясь формулой параграфа 2 главы 11 монографии [5] (стр. 333, равенствоследующее за формулой (2.18)) имеем:()13 =1 2 ( ) 12 13 ( ) + 11 23 ( ) 1=2 13 ( ) + 213,13(3.24)2 () () −ΔZ 1(+1)Z13 +Δ13,(3.25)2 () ()следовательно()(+1)( + 1) − ( + 2)13=⎡ZZ +Δ1 2 ( ) ⎣2 13 ( )13232 () ()+()(+1)13 −ΔПользуясь малостью Δ , Δ а также тождеством( + 1) − ( + 2)⎤()≡ ( + 2)Δ − 23⎦.2 () ()(3.26)63перепишем (3.26) в виде:()13[︃]︃12 ( )ΔΔ+.(3.27)111 + 2 2( + 2) 3 ( ) 3 () 23 () 3 ( ) 23 ( )22 (︀ )︀()(+1)Из формулы (3.27) следует, что , − , = 1 , следовательно формулыΔ =+(3.21) и (3.22) в главном приближении при → ∞ имеют вид:⃒⃒()⃒ cos 0(︁ )︁ ⃒⃒Δ =Δ ,1 ⃒sin 0 + 2(3.28)=⃒⃒()⃒ cos 0(︁ )︁ ⃒⃒Δ =1 ⃒sin 0 + 2Δ .(3.29)=Четыре равенства, (3.23), (3.27), (3.28) и (3.29) однозначно определяютнеизвестные величины Δ , Δ , Δ и Δ .
Пусть Φ и Φ+1 – фазы рассматриваемых лучей испытавших соответственно и + 1 переотражений отграницы и пришедших в точку наблюдения . Зная величины Δ , Δ ,Δ и Δ и пользуясь формулой для времени хода луча в случае неоднородной среды (см. формулу (2.16) в [5]) определяем разность фаз соответствующихлучей:Φ(+1)()−Φ=(+1)ΦΩ1−()Φ Ω1+1(+1)+(︁(+1)ΦΩ2−()ΦΩ2)︁,(3.30)где(︃(+1)ΦΩ1()− ΦΩ1 = (+1)Z()ΦΩ2 = )︃(︃−()+1())︃,1 3 ( , )−,2 () 12 ( + 1)2(3.31)(3.32) −ΔZ (+1)ΦΩ2=1 3 ( + Δ , − Δ )−,2 () 12( + 2)2(3.33) +Δфункция (1 , 2 ) (1 , 2 ∈ ) определяется формулой:(1 , 2 ) =(︁ )︁ 31 Z2132122 () 3 ().(3.34)64Из формул (3.23)-(3.29) следует, что Δ, = (︀ 1 )︀и Δ, = (︀ 1 )︀.
Следо(︀ )︀вательно пользуясь формулой Снеллиуса с точностью до членов порядка 1323имеем:− =(+1)− ()1Δ ,2 ( )1=Δ .2 ( )(+1)()(3.35)(3.36)Из последних формул следует:(+1)ΦΩ1()(︂− ΦΩ1 = ΔΔ+2 ( ) 2 ( ))︂(︂1+3)︂.Пользуясь (3.32) и (3.33) пренебрегая слагаемыми порядка малости (+1)шем разность ΦΩ2(+1)ΦΩ2(︂()−ΦΩ2 = −(3.37)(︀ 1 )︀3запи()− ΦΩ2 в виде:)︂ΔΔ 3 ( , ) 3 ( + Δ , − Δ )++−.2 ( ) 2 ( )12( + 1)212( + 2)2(3.38)Суммируя (3.37) и (3.38) имеемΦ(+1)()−Φ(︂ )︂ 3 ( , ) 3 ( + Δ , − Δ )1=−+.12( + 1)212( + 2)23(3.39)В силу малости Δ и Δ ( + Δ , − Δ ) = ( , ) + (︀ )︀следовательно с точностью до членов порядка малости 13 :Φ(+1) − Φ() = 3 ( , ).63(︀ 1 )︀3,(3.40)По аналогии с работой В.С.
Булдырева (см. параграф 2, глава 11 монографии[5]) найдя разность фаз Φ(+1) − Φ() определим значение , как максимальное целое число, при котором имеет место неравенство:(︂)︂3()Φ(+1) − Φ() > 2.22 ( )(3.41)В формуле (3.41) ∼ 1, – малое фиксированное число. Пользуясь формулой(3.40) перепишем неравенство (3.41) в виде:(︂)︂− ( )< √,2 Δ 22 ( )(3.42)65где Δ =)︀ 23. Волны, будут наблюдаться отдельно друг от друга, если число2(︀ 3отражений < а волны с числом отражений ≥ интерферируютдруг с другом, в результате чего возникает сложное волновое поле волны Булдырева. Формула (3.42) совпадает с формулой (2.18) (см.
параграф 2, глава 11монография [5]) полученной в работе В.С. Булдырева, следовательно формула (3.4) определяющая условную предельную границу 0 заимствованная из [5](см. параграф 2, глава 11) применима в случае рассматриваемой в диссертациизадачи с преломляющей границей.66ЗаключениеОсновные результаты диссертационной работы:1. Сформулирована эталонная точно решаемая задача дифракции волн точечного источника на границе двух полуплоскостей.
Построено точное решениезадачи и доказана его единственность. Из точного решения эталонной задачивыделена часть, соответствующая полю головной волны интерференционноготипа (волны Булдырева). Найден главный член высокочастотной асимптотикиволны Булдырева.2. Исследована структура волновых фронтов волн шепчущей галереи иволны Булдырева.3. С использованием энергетических соображений найдена асимптотикаволны Булдырева для падающей волны, заданной своим геометро-оптическимразложением. Доказано отсутствие противоречия между формулами, полученными В.С. Булдыревым в работе [9], и принципом локальности.67Литература1. А. С. Алексеев, И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
