Автореферат (1149273), страница 2
Текст из файла (страница 2)
После комплексного преобразования Фурье F→ ,где = − ( ∈ R, = const > 0), задача (1) переходит в семейство задач− (△ + 2)(,,) = (,), ∈ Ω(); (,,) = 0, ∈ Ω(),(2)зависящих от параметра ; здесь = F→ и = F→ . Асимптотика функции(·,,) при → 0 находится методом составных разложений, главный членасимптотики имеет вид0(,,) = 0(,) + ()0(−1,),(3)∞где ∈ (Ω), = 1 вблизи нуля, 0(·,) - решение первой предельной задачи−(△ + 2)0(,) = (,), ∈ Ω; 0(,) = 0, ∈ Ω,(4)а → 0(,) - решение второй предельной задачи− △ 0(,) = 0, ∈ R3∖; 0(,) = −0(0,), ∈ ,убывающее при || → ∞.
Функция ()0(−1,) компенсирует главный член0(0,) невязки, вносимой решением 0(·,) в граничное условие на (). Заменяя(·,,) на (·,,) − 0(·,,) и повторяя процедуру, мы строим второй членасимптотики и т.д. В результате получается асимптотическое разложение (·,,)6при → 0 в форме∞∑︁(︀)︀ (,) + (−1,) .(5)=0Это разложение является двухмасштабным: оно составлено из функций, которые зависят либо от "медленной" переменной , либо от "быстрой" переменной = −1.Функции (·,) являются решениями первых предельных, а функции (·,) вторых предельных задач.Формально асимптотика решения (·, · ,) задачи (1) получается обратнымпреобразованием Фурье из формул (3), (5).
Однако для обоснования асимптотикинеобходимы равномерные по оценки остатка в асимптотике решения (·,,) задачи (2). Для этого требуется, чтобы асимптотики решений → (,), → (,)предельных задач при || → 0 и → ∞ были равномерными по . Оператор второйпредельной задачи не зависит от и является эллиптическим. В отличие от второйпредельной задачи, оператор первой предельной задачи существенно зависит от :он не является эллиптическим с учетом параметра (в смысле Аграновича-Вишика,см. [14]). Другими словами, не существует глобальной оценки ее решений вместе спервыми производными,равномерной по параметру , то есть оценки вида∑︁2(2−||)||‖ 0(·,) ‖22(Ω)≤ () ‖ (·,) ‖22(Ω) .||≤2Метод, пригодный для описания асимптотики решения 0(·,) первой предельнойзадачи, развит в работах [8–11] при исследовании гиперболических задач в областяхс ребрами.
В этом методе оценка решения 0(·,) и его вторых производныхполучается только в окрестности начала координат, имеющей диаметр порядка ||−1.Эта окрестность называется эллиптической зоной. В оставшейся части области Ωиспользуется глобальная оценка решения и его первых производных. При достаточно большом = |Im| ≥ 0 эти две оценки склеиваются в промежуточной зонеи приводят к глобальной "комбинированной" оценке, равномерной по параметру .
Для ее описания потребуются специальные функциональные пространства.Определим нормы ‖ · ‖(Ω) и ‖ · ‖(Ω,) формулами⎞1/2⎛‖ ‖ (Ω)= ⎝∑︁ ∫︁(||+||− |()|)2⎠⎛⎞1/2∑︁, ‖ ‖ (Ω,)= ⎝||2(−) ‖ ‖2 (Ω)⎠ .||≤ Ω≤Обозначим через () пополнение ∞(Ω∖{0}) по норме(︁)︁1/2222,(6)‖ ‖ ()= ‖ ‖ 2(Ω,) + ‖ ‖ 1(Ω,)где () = (||). Если носитель функции ∈ () лежит во внутренностиsupp , то норма (6) эквивалентна ‖ ‖2(Ω). Однако если носитель лежит вΩ∖supp , то норма (6) эквивалентна ‖ ‖ 1(Ω). В этом смысле () представляет собой пространство функций переменной гладкости.
Введем еще пространство7ℛ () с нормой(︁−2‖2 0(Ω)2(1−)‖22(Ω))︁1/2‖ ‖ℛ ()= ‖ + ||‖.(7)В пространстве ℛ () рассматривается замкнутый оператор ℒ (), ассоциированный с задачей (4). Область определения этого оператора является подмножеством (). Комбинированные оценки доказаны при всех ≤ 1, ≠ 1/2 − ( = 0,1,2, . . . ) и имеют вид‖ ‖ ()≤ ‖ ℒ () ‖ℛ () .Постоянная в этих оценках не зависит ни от , ни от . При ∈ (1/2,1] операторℒ () является изоморфизмом. С помощью комбинированных оценок выводитсяасимптотика решения 0(·,) при || → 0.∑︁()(+1)̂︀0(,) = ()0 (,)||+ ˜0 (,),(8)=0()0 (·,)̂︀ = ||−1, коэффициентыгде ∈ ∞( 2) однозначно определяются правой(+1)частью (·,). Остаток ˜0 (·,) удовлетворяет оценке(+1)‖ ˜0 (·,) ‖ ()≤ () ‖ (·,) ‖ℛ () −1||(9)в которой ∈ (−1/2−,1/2−), постоянная () не зависит от и . Коэффициент(0)̂︀ не зависит от ̂︀, поэтому для него удобно сохранить обозначение 0(0,).0 (,)Вернемся к описанию асимптотики решения (·,,) задачи (1) при → 0.Из формул (8), (9) следует, что асимптотика функции 0(·,) строится только в эллиптической зоне диаметра (||−1).
При || ≤ 0 (где 0 > 0 достаточно малое число,такое что 0 | ≡ 1) асимптотика решения (·,,) находится методом составныхразложений; формула (8) применяется для описания асимптотики невязки (,,)−0(,) на границе () малой полости при → 0. При || ≥ const эллиптическаязона находится внутри малой полости () и описать поведение невязки на ()невозможно. Это означает, что при || ≥ const (иначе говоря, для описания поведения волн, длина которых меньше, чем диаметр малой полости) метод составныхразложений неприменим. Поэтому на правую часть волнового уравнения накладывается дополнительное условие гладкости по времени, благодаря которому вкладкоротких волн оказывается пренебрежимо малым при → 0.
При сделанных предположениях удается получить равномерную по оценку остатка в асимптотике решения (·,,). Обратное преобразование Фурье доставляет асимптотику решения исходной нестационарной задачи. Опишем главный член асимптотики. Введем норму⎛⎞1/2+∞ ∫︁∫︁⎜ ∑︁⎟‖ ‖V(,)= ⎝−2(||−2|(,)|2 + |∇(,)(,)|2)⎠ .||≤−∞ ∈Ω()8Теорема 1. Решение задачи (1) с правой частью, подчиненной условию∫︁+∞ ∫︁||6|F→ (,)|2 < ∞=−∞ ∈Ωдопускает асимптотическое разложение˜1(,,)(10)(,,) = 0(,) + ()0(−1) + 1−˜1(,,), таким что ‖ ˜1(·,·,) ‖V(,)= ( ) при любых ∈ (0,1/2].с остатком Функции 0, 0 в (10) определяются, как обратные преобразования Фурье F−1→ отфункций 0, 0.Далее в первой главе выводятся полные асимптотические разложениярешений задачи (1) с оценками остатков.Теорема 2.
Решение задачи (1) с правой частью, удовлетворяющей условию∫︁+∞ ∫︁||(2+1)+9(||2(1−) + ||2 )|F→ (,)|2 < ∞,=−∞ ∈Ωдопускает разложение−1∑︁ (︀)︀˜ (,,)(,,) = (,) + ()(−1,) + =0˜ (,,), таким, что ‖ ˜ (·,·,) ‖V(,)= (− ) при всех ∈ (0,1/2].с остатком Функции ( ∈ N) и ( ≥ 0) определяются, как обратные преобразования∞∞3Фурье F−1→ от функций → (·,) ∈ (Ω∖{0}), → (·,) ∈ (R ∖),допускающих разложения в асимптотические ряды∞∞∑︀∑︀()()−̂︀̂︀(,) ≃ (,)||, || → 0, (,) ≃ (,)||, || → ∞=0=1−1()2()̂︀ = || ∈ коэффициентами (·,) и (·,).с гладкими по переменной Функция (·,) является решением задачи∑︀()̂︀−(△ + 2)(,) = [△,] ||−−(,)+=1∑︀()̂︀+ 2()||− − (,), ∈ Ω,=1,2(,) = 0, ∈ Ω.Функция (·,) является решением задачи−△ (,) = 2(3)˜ −2(,),3∈ R ∖, (,) = −∑︁()̂︀||−(,), ∈ .=0Полученные для задачи (1) результаты обобщены (на уровне главного членаасимптотики) на случай ограниченной области Ξ() ⊂ R3 с гладкой границей,вырождающейся при → 0 в область Ξ с конической точкой на границе.
Болееточно, в окрестности начала координат область Ξ совпадает с открытым конусомK, вне вершины конуса граница Ξ гладкая. Область Ξ() задается формулой9Ξ() = Ξ∖(K∖Λ()), где Λ() = { ∈ R3 : −1 ∈ Λ}, область Λ ⊂ K имеетгладкую границу и совпадает с K в окрестности бесконечности.Во второй главе рассматривается стационарная система Максвелла в Ω(){︃rot2(,,) + 1(,,) = 1(), −div1(,,) = 1(),(11)−rot1(,,) + 2(,,) = 2(), −div2(,,) = 2().Параметр = − фиксирован, ∈ R и > 0. Трехкомпонентные векторфункции 1,2 подчинены краевому условию() × 1(,,) = ⃗0, ⟨(),2(,,)⟩ = 0, ∈ Ω(),(12)отвечающему идеально проводящей границе; – единичный вектор внешнейнормали, ⟨,⟩ обозначает скалярное произведение векторов , ∈ C. Система(11) переопределенная (восемь уравнений для шести скалярных функций); дляразрешимости задачи (11), (12) необходимы условия совместностиdiv () − () = 0, ∈ Ω(), = 1,2; ⟨ 2(),()⟩ = 0, ∈ Ω().
(13)Добавлением двух неизвестных скалярных функций 1 и 2 задача (11), (12)расширяется до эллиптической задачи(() + )u(,,) = f(), ∈ Ω(); Γu(,,) = 0, ∈ Ω(),(14)1 2 1 2 1 2 1 2 (см., например, [12]). Здесь u = ( , , , ) , f = ( , , , ) - вектор-столбцы,и()(1,2,1,2) = (rot2 − ∇1, −rot1 − ∇2, −div1, −div2) ;Γ(1,2,1,2) = (−⟨1,2⟩,⟨1,1⟩, ⟨2,⟩, 1) ,(15)(1,2 – это касательные векторы, такие что 1,2, образуют правую тройку ортонормированных векторов). Асимптотика решения u(·,,) описывается методом составных разложений. Особенностью применения метода является то, что операторвторой предельной задачи имеет нетривиальные ядро и коядро. Сформулируем основной результат для задачи (14).Теорема 3.
При f ∈ ∞(Ω) решение задачи (14) при всяком = 0,1,2,... допускаетасимптотическое разложение∑︁(︀)︀−1−1u(,,) = ()()( ) + vn(,) + ()wn(−1,) +=0++1vN+1(,) + ũN+1(,,)(16)с остатком, подчиненным оценке ‖ ũN+1(·,,) ‖11(Ω())= (+3/2− ) при всех > 0. Здесь vn = (1 ,2 ,1,2) , wn = (1 ,2 ,1,2) , где (·,) ∈ ∞(Ω∖{0}), (·,) ∈ ∞(R3∖) - трехкомпонентные вектор-функции, а (·,) ∈ ∞(Ω∖{0}),(·,) ∈ ∞(R3∖) - скалярные функции, = 1,2. Для vn(·,), wn(·,) справедливыасимптотики∞∞∑︁∑︁()−̂︀̂︀vn(,) =vn (,)||, || → 0; wn(,) =wn()(,)||, || → ∞,=0=110(),1(),2 (),1 (),2(),1(),2(),1(),2где vn()(·,) = ( , , , ) и wn()(·,) = ( , , , ) это̂︀ = ||−1 = ||−1 ∈ 2.
Функция являетсягладкие функции переменной решением однородной задачи( ) = 0 в R3∖; Γ = 0 на и имеет вид (∇ 0,⃗0,0,0) , где ⃗0 = (0,0,0) , а 0 ∈ ∞(R3∖) - гармоническая вR3∖ функция, такая что 0 ≡ 1 на , 0() = (||−1) при || → ∞. При этом∞∑︁̂︀ − , || → ∞, ()()||() ≃=2где ∈ ( ). Функция v0(·,) ∈ ∞(Ω) является решением первой предельнойзадачи(() + )v0(,) = f(), ∈ Ω; Γv0(,) = 0, ∈ Ω,(17)а функция w0(·,) - второй предельной задачи( )w0(,) = −()(), ∈ R3∖; Γw0(,) = −Γv0(0,), ∈ . (18)Из условия разрешимости последней задачи находится () = ()−110(0,).Функции vn(·,) ( ≥ 1) являются решениями первых предельных задач−1̂︀(() + )vn(,) = −()wn−1(1)(,)||−(︀ ∑︀)︀−̂︀̂︀ −(+1) , ∈ Ω∖{0};−[(),]wn−k()(,)||+ () (+1)()||()∞2=1Γvn(,) = 0, ∈ Ω.Функции wn(·,)( ≥ 1) являются решениями вторых предельных задач(2)( )wn(,) = − w̃n−1(,), ∈ R3∖;∑︀̂︀Γwn(,) = −Γvn−k()(,)||, ∈ .=0Условия разрешимости этих задач(2),1(˜−1 (·,),∇ 0)R3∖=∫︁ ∑︁(),1̂︀− (,)|| 0 =0однозначно фиксируют функции wn(·,) при = 0,1,...На последнем шаге из теоремы 3 извлекается информация об асимптотикерешения исходной нерасширенной системы Максвелла.Теорема 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
