Автореферат (1149273), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пусть функция f ∈ ∞(Ω) при всех ∈ (0,0) (0 > 0 ) удовлетворяетусловиям (13). Тогда компоненты 1, 2 функции u(·,,), компоненты 1(·,), 2(·,)функций vn(·,) и компоненты 1(·,), 2(·,) функций wn(·,) аннулируются вΩ(), Ω∖{0} и R3∖, соответственно. Кроме того, аннулируются (), w0(1)(·,)и v1(·,).Теорема 4 означает, что при выполнении условий совместности (13) компоненты 1(·,,), 2(·,,) функции u(·,,) являются решением нерасширеннойсистемы Максвелла (11) в области Ω(), а предельные задачи для vn(·,), wn(·,)в асимптотике u(·,,) переформулируются в терминах нерасширенной системы11Максвелла для компонент (·,), (·,), = 1,2.
Хотя в работе |Im| = > 0,полученные результаты справедливы и для вещественных , если − не являетсясобственным значением оператора {(),Γ} в области Ω и окрестность − привсех ∈ (0,0) (0 > 0) свободна от спектра оператора {(),Γ} в области Ω().В третьей главе в цилиндре Q() = {(,) ∈ Ω() × R} рассматриваетсянестационарнаясистема уравнений Максвелла{︃1 (,,) − rot 2(,,) = ℱ 1(,), div 1(,,) = 1(,),(19) 2(,,) + rot 1(,,) = ℱ 2(,), div 2(,,) = 2(,),с краевым условием() × 1(,,) = ⃗0, ⟨(), 2(,,)⟩ = 0, (,) ∈ Q().(20)Здесь (·, · ,) и ℱ - трехкомпонентные вектор-функции, - скалярныефункции, = 1,2. Правая часть ℱ = (ℱ 1,ℱ 2, 1, 2) определена в цилиндре{(,) : ∈ Ω, ∈ R}.
Добавлением двух неизвестных функций 1 и 2 задача(19),(20) расширяется до гиперболической задачи( + ())(,,) = ℱ(,), (,) ∈ Q(); Γ(,,) = 0, (,) ∈ Q(), (21)где = ( 1, 2,1,2) и () = (). После комплексного преобразованияФурье u = F→ , f = −F→ ℱ, = − ( ∈ R, = const > 0)задача (21) переходит в семейство задач (14) зависящих от параметра . Формальноасимптотика решения (·, · ,) при → 0 получается обратным преобразованиемФурье из разложения (16).
Схема обоснования асимптотики та же, что и длязадачи Дирихле для волнового уравнения в области Ω(), однако ее реализацияусложняется. Оператор второй предельной задачи (18) не зависит от параметра и является эллиптическим; новым обстоятельством является то, что этот операторимеет нетривиальные ядро и коядро. Оператор первой предельной задачи (17) существенно зависит от : он не является эллиптическим с учетом параметра .
Поэтомуне существует равномерной по глобальной оценки решения v0(·,) и его первыхпроизводных в Ω. Теперь такая оценка получается только в окрестности началакоординат ("эллиптической зоне"), имеющей диаметр порядка ||−1. В оставшейсячасти Ω используется глобальная оценка решения по 2−норме. Эти две оценкисклеиваются в промежуточной зоне при достаточно большом ≥ 0. В результатеполучается комбинированная оценка, которая позволяет вывести равномерную по асимптотику решения первой предельной задачи в окрестности точки = 0.
Такаяасимптотика, по существу, получена в работе [10] и имеет вид−1∑︁()̂︀v0(,) = ()v0()(,)||+ ṽ0 (,),(22)()=0∞ 2где коэффициенты v0 (·,) ∈ ( ) однозначно определяются правой частью()̂︀̂︀. Остаток ṽ0 (·,) при всяком ∈ (0,1)f(·,), причем v0(0)(,)не зависит от удовлетворяет неравенству()‖ ṽ0 (·,) ‖−−1/2+ ()≤ ‖ f(·,) ‖ℛ−−1/2+ () −1||.12Здесь норма ‖ · ‖ℛ () дана формулой (7), однако пространство () функцийпеременной гладкости теперь представляет собой замыкание ∞(Ω∖{0}) не понорме (6), а по норме)︁1/2(︁222.‖ ‖ ()= ‖ ‖ 1(Ω,) + ‖ ‖ 0(Ω)При || ≥ const эллиптическая зона находится внутри () и в разложении (22)нельзя перейти к следу на ().
Поэтому при больших становится невозможнымописать поведение невязки от решения первой предельной задачи в граничномусловии на () и метод составных разложений неприменим. Как и в случаеволнового уравнения в области Ω(), на правую часть ℱ накладывается дополнительное условие гладкости по , которое позволяет пренебречь вкладом короткихволн и обосновывать асимптотику решения (·, · ,) при → 0.Теорема 5.
Пусть > 0, ∈ (0,1), и правая часть ℱ удовлетворяет условию∫︁+∞ ∫︁(︀)︀|| ||−2−3+2 + || |F→ ℱ(,)|2 < ∞,(23)=−∞ ∈Ωв котором = 2( + 3) + 10 + 2, = 2 + 5 − 2. Тогда решение (·, · ,)задачи (21) допускает асимптотическое разложение(︁)︁∑︁−1−1−1(,,) = ()A()( ) + (,) + () ( ,) +=0+1˜ +1(,,)+ +1(,) + ˜ +1(·, · ,), подчиненным оценкес остатком ∫︁+∞ ∫︁˜ +1(,,)|2 = (2+3−2 ).−2|(24)(25)=−∞ ∈Ω()Слагаемые A, , в разложении (24) задаются равенствами−1−1A() = F−1→, = F→vi, = F→wi,где функции → (), (,) → vi(,), (,) → wi(,) - такие же, как вразложении (16).Последний шаг - возвращение к исходной нерасширенной задаче (19),(20).При ℱ ∈ ∞(Ω()× R) для существования гладкого решения ( 1, 2) необходимыусловия совместностиdivℱ − = 0 в Ω() × R ( = 1,2), ⟨ℱ 2,()⟩ = 0 на Ω() × R.(26)Теперь пусть ℱ подчинена условию (23).
Обозначим через M(,) замыканиемножества{( 1, 2,1,2) ∈ ∞(Ω(); C8) : div 1,2 = 1,2 в Ω(); ⟨ 2,⟩ = 0 на Ω()}по норме в 2(Ω()). Выполнение условий (26) интерпретируется как принадлежность функции f(·,) = −F→ ℱ(·,) пространству M(,) при почти всех ∈ R.13Для ℱ ∈ ∞(Ω × R) такое определение равносильно поточечному выполнениюуравнений (26).Теорема 6. Пусть выполнены условия Теоремы 5 и при любом ∈ (0,0) включение−F→ ℱ(·,)|Ω() ∈ M(,) выполнено для почти всех ∈ R. Тогда 1) компоненты1,2 решения при всех ∈ (0,0) аннулируются в Ω() × R; 2) функция A,компоненты ℬ1 ,ℬ2 функций = (1,2,ℬ1 ,ℬ2 ) и компоненты ℋ1 ,ℋ2 функций = (1,2,ℋ1 ,ℋ2 ) аннулируются на R, в (Ω∖{0}) × R и в (R3∖) × R,соответственно.Теорема 6 означает, что при выполнении условий совместности векторные компонеты 1, 2 решения (·, · ,) гиперболической задачи (21) являютсярешениями исходной нестационарной системы Максвелла (19) в Ω().Отметим связь изучаемой задачи в Ω() × R с начально-краевой задачейдля нестационарной системы Максвелла в Ω(), рассматриваемой при временах ∈ (0, ).
Пусть начальное условие является однородным. Продолжим правую частьℱ нестационарной системы Максвелла нулем при ≤ 0 и произвольным образомпри ≥ (но так чтобы ℱ удовлетворяла условию (23)). Тогда решение задачи вΩ() × R совпадает с решением начально-краевой задачи при ∈ (0, ).Четвертая глава посвящена обобщениям результатов, полученных для стационарной и нестационарной систем Максвелла. Сначала рассматривается стационарная система Максвелла (11) в Ω() с импедансными граничными условиями × [2 × ] + [ × 1] = 0, ∈ Ω();(27)здесь = const (Re < 0) – поверхностный импеданс.
Как и раньше, задача(11),(27) расширяется до эллиптической(() + )u(,,) = f(), ∈ Ω(); Γ1u(,,) = 0, ∈ Ω();(28)соотношения (28) отличаются от (14) лишь заменой Γ на операторΓ1(1,2,1,2) = (⟨2,1⟩ − ⟨1,2⟩,⟨2,2⟩ + ⟨1,1⟩,1, 2) ,(здесь векторы 1,2 такие же, как в (15)). Вывод асимптотики решения по существутакой же, как в случае идеально проводящей границы Ω(); отличие состоит в том,что теперь ядро и коядро оператора второй предельной задачи двумерны, а не одномерны. Последний шаг - возвращение к нерасширенной системе Максвелла - отличается от случая идеальной проводимости лишь отсутствием равенства ⟨ 2,⟩ = 0 наΩ() в условиях совместности (13).
Далее рассматривается нестационарная система Максвелла (19) в области Ω() с граничными условиями (27); время пробегаетот −∞ до +∞. Гиперболическое расширение( +())(,,) = ℱ(,), (,) ∈ Ω()× R; Γ1(,,) = 0, (,) ∈ Ω()× Rотличается от (21) заменой Γ на Γ1. После комплексного преобразования ФурьеF→ получается семейство задач (28) зависящих от параметра = − ( ∈ R,14 = const > 0). Оператор {(),Γ1} не является самосопряженным, однако полуплоскость { ∈ C : Im > 0} свободна от его собственных значений.
Такимобразом, каждая задача (28) из семейства однозначно разрешима. Благодаря этомуисследование асимптотики решения (·, · ,) проводится таким же образом, как и вслучае идеально проводящей границы Ω(). Возвращение к нерасширенной системе Максвелла отличается от случая идеально проводящей границы лишь изменениемусловий совместности.
Пусть N() – замыкание множества{( 1, 2,1,2) ∈ ∞(Ω; C8) : div = в Ω ( = 1,2)}(29)по норме в 2(Ω()). Под условиями совместности понимается включениеF→ ℱ(·,) ∈ N() при почти всех ∈ R.Завершает четвертую главу обобщение полученных результатов на случайобласти Ω() с конечным числом малых полостей. Пусть Ω содержит конечноечисло несовпадающих точек ( = 1,..., ), а ⊂ R3 ( = 1,...,) – ограниченные области с гладкими границами, содержащие начало координат. В областиΩ() := Ω∖ ∪ () с малыми полостями () = { ∈ R3 : −1( − ) ∈ }рассматривается стационарная либо нестационарная система Максвелла.
На Ω()заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия.Результаты отличаются от рассмотренных выше случаев только числом предельныхзадач: каждой полости () отвечает своя предельная задача в области R3∖ .Публикации автора по теме диссертации[A1] Кориков Д.В. Асимптотика решений волнового уравнения в области с малымотверстием // Алгебра и анализ 26 (2014), №5, 164-200.[A2] Кориков Д.В., Пламеневский Б.А. Асимптотика решений стационарной и нестационарной систем Максвелла в области с малыми отверстиями // Алгебра и анализ 28 (2016), №4, 102-170.Список литературы[1] Ильин А.М.
Согласование асимптотических разложений решений краевых задач// Наука, М., 1989.[2] Nayfeh A.H. Perturbation methods // Wiley, New York, 1973.[3] Nayfeh A.H. Introduction to perturbation techniques // Wiley, New York, 1981.[4] Maz’ya V.G., Nazarov S.A., Plamenevskii B.A. Asymptotic theory of elliptic boundaryvalue problems in singularly perturbed domains, v. 1,2 // Birkhäuser, Basel–Boston–Berlin, 2000.15[5] Назаров С.А., Пламеневский Б.А.
Эллиптические задачи в областях с кусочногладкой границей // Наука, М., 1991.[6] Kozlov V., Maz’ya V., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domainswith point singularities // American Mathematical Soc., 1997.[7] Grisvard P. Elliptic problems in nonsmooth domains // Society for Industrial andApplied Mathematics, Philadelphia, PA, 2011.[8] Пламеневский Б.А. О задаче Дирихле для волнового уравнения в цилиндре сребрами // Алгебра и анализ 10 (1998), №2, 197–228. (Поправка к ст.: 10 (1998),№3, 224).[9] Кокотов А.Ю., Пламеневский Б.А. Об асимптотике решений задачи Неймана длягиперболических систем в областях с коническими точками // Алгебра и анализ16 (2004), №3, 56–98.[10] Матюкевич С.И. О нестационарной системе Максвелла в областях с ребрами// Алгебра и анализ 15 (2003), №6, 86–140.[11] Матюкевич С.И., Пламеневский Б.А.
О динамических задачах теории упругости в областях с ребрами // Алгебра и анализ 18 (2006), №3, 158–233.[12] Гудович И.С., Крейн С.Г., Куликов И.М. Краевые задачи для уравнений Максвелла // Докл. АН СССР 207 (1972), №2, 321–324.[13] Бирман М.Ш., Соломяк М.З. 2-теория оператора Максвелла в произвольныхобластях // Успехи мат. наук 42 (1987), №6, 61-76.[14] Агранович М. С., Вишик М.И., Эллиптические задачи с параметром ипараболические задачи общего вида, УМН, 19:3(117) (1964), 53-161.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
