Автореферат (1149273)
Текст из файла
Санкт-Петербургский Государственный УниверситетНа правах рукописиКориков Дмитрий ВладимировичАсимптотика решений динамическихкраевых задач в сингулярно возмущенных областяхСпециальность 01.01.03 —«Математическая физика»Авторефератдиссертации на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукСанкт-Петербург — 2016Работа выполнена в ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский государственный университетНаучный руководитель:доктор физико-математических наук, профессорПламеневский Борис АлексеевичОфициальные оппоненты: Борисов Денис Иванович,доктор физико-математических наук,Институт математики с вычислительным центромУфимского научного центра РАН,ведущий научный сотрудникФилонов Николай Дмитриевич,кандидат физико-математических наук,Санкт-Петербургское отделение Математическогоинститута им.
В.А.Стеклова РАН,старший научный сотрудникВедущая организация:Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «СанктПетербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича»Защита состоится 02 марта 2017 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском ГосударственномУниверситете по адресу: Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд.
304.С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. М. Горького СПбГУи на сайте https://disser.spbu.ru/.Автореферат разосланУченый секретарьдиссертационного советаД 212.232.24, д.ф.-м.н.2017 года.АксёноваЕлена ВалентиновнаОбщая характеристика работыАктуальность темы. Многочисленные приложения механики сплошной среды и электродинамики приводят к исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными в сингулярно возмущенных областях(СВО). Примером СВО служит область с гладкой границей, которая зависит от малого параметра и совпадает в пределе при → 0 с областью, имеющей особенностина границе (выколотые точки, углы, ребра разных размерностей и т. п.). Эллиптические задачи в СВО хорошо изучены, для их исследования разработаны метод согласованных асимптотических разложений (см. [1–3]) и метод составных асимптотических разложений, описанный в монографии [4].
Эти методы опираются на результаты теории эллиптических задач в предельных областях, не зависящих от , то есть вобластях с особенностями на границе. Такая теория изложена в монографиях [5–7].Можно ожидать, что метод составных разложений применим и для исследования нестационарных (гиперболических) задач в СВО. Как и в стационарномслучае, такое исследование связано с изучением краевых задач в предельныхобластях с особенностями на границе, однако теперь среди них появляются нестационарные.
Сравнительно недавно в работах [8–11] для таких нестационарных задачбыл получен ряд результатов, которые могут быть использованы для исследованиядинамических задач в СВО. Таким образом, построение теории нестационарныхзадач в СВО стало актуальной проблемой.Диссертация состоит из двух частей.
В первой части рассматривается задачаДирихле для волнового уравнения в ограниченной области с малой (диаметра) полостью; выводятся и обосновываются полные асимптотические разложениярешений. Рассмотренная ситуация представляет собой простейший содержательныйпример гиперболической задачи, где выясняются некоторые ключевые приемыисследования нестационарных задач в СВО. Результаты обобщены на случай СВО,вырождающейся при → 0 в область с конической точкой на границе. Во второйчасти исследуется нестационарная система Максвелла в ограниченной области сконечным числом малых полостей (диаметры полостей пропорциональны маломупараметру ).
На границе области заданы условия идеальной проводимости либоимпедансные граничные условия. Во всех перечисленных задачах время пробегаетвсю вещественную ось, однако полученные результаты позволяют сделать нужныезаключения и о начально-краевых задачах, рассматриваемых при временах ∈ (0, ).Работа основывается на асимптотической теории гиперболических задач вобластях с особенностями на границе. Методика исследования этих задач описанав работе [8] на примере волнового уравнения в конусе и в ограниченной области сконическими точками и ребрами на границе.
Результат этой работы был обобщенв [9] на случай краевых задач для гиперболических уравнений с сильно эллипти3ческой пространственной частью. В статьях [10, 11] исследовались нестационарнаясистема Максвелла и общие динамические задачи теории упругости в областях сконическими точками и ребрами на границе.Результаты указанных работ позволили описать асимптотику решенийволнового уравнения в ограниченной области с малой полостью методом составных асимптотических разложений.
Последний метод выбран из-за большейпростоты и универсальности по сравнению с методом согласованных разложений.Приемы, использованные при выводе асимптотики, являются характерными длянестационарных задач в СВО.Нестационарная система Максвелла является переопределенной, поэтомудля ее исследования применяется расширение оператора Максвелла до операторагиперболической краевой задачи. Такое расширение предложено в работе [12] ииспользовалось, например, в работе [13] при изучении спектра оператора Максвеллав областях с негладкой границей.
Для построенной таким образом гиперболическойзадачи выводится и обосновывается асимптотика решений. Затем из сведений,полученных для гиперболической задачи, извлекается информация об асимптотикерешений исходной (нерасширенной) системы Максвелла.Целью диссертационной работы является развитие методики исследованиянестационарных (гиперболических) краевых задач в сингулярно возмущенныхобластях. В соответствии с этой целью были поставлены следующие задачи:1.
Вывод асимптотики решений задачи Дирихле для волнового уравнения в ограниченной области с малой полостью. Обобщение результатов на случай СВО,вырождающейся при → 0 в область с конической точкой на границе;2. Вывод асимптотики решений стационарной системы Максвелла в области сконечным числом малых полостей;3. Вывод асимптотики решений нестационарной системы Максвелла в области сконечным числом малых полостей.Научная новизна. Гиперболические задачи в СВО ранее не исследовались(вероятно, из-за того, что теория гиперболических задач в предельных областях ссингулярностями на границе была развита сравнительно недавно).
В диссертациивпервые расматриваются две динамические задачи в СВО: задача Дирихле дляволнового уравнения и нестационарная система уравнений Максвелла (с условиямиидеальной проводимости или импедансными условиями на границе). По-видимому,система Максвелла в СВО не исследовалась даже в стационарном варианте; вдиссертации такое исследование проводится при подготовке к рассмотрению нестационарной системы Максвелла.
Основные результаты работы, выносимые назащиту, являются новыми:1. В ограниченной области с малой полостью (диаметра ) рассмотрена задача Дирихле для волнового уравнения; выведены и обоснованы полные асимптотические4разложения решений при → 0. Время в задаче пробегает всю вещественнуюось. Результаты (на уровне главного члена асимптотики) обобщены на случайСВО, вырождающейся при → 0 в область с конической точкой на границе.2. Исследована стационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны маломупараметру .
Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решений при → 0. На границе области заданы условия идеальной проводимостилибо импедансные граничные условия. Спектральный параметр в задаче можетпринимать любые значения, при которых окрестность при всех свободна отсобственных значений системы Максвелла.3.
Исследована нестационарная система Максвелла в ограниченной области с конечным числом малых полостей; диаметры полостей пропорциональны малому параметру . Выведены и обоснованы полные асимптотические разложения решенийпри → 0. На границе области заданы условия идеальной проводимости либо импедансные граничные условия; время в задаче пробегает всю вещественную ось.Научная и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Полученные результаты демонстрируют ключевые приемы исследованиянестационарных задач в СВО, которые могут быть использованы для дальнейшегоразвития метода описания асимптотики решений гиперболических задач в СВО.Предлагаемая во второй задаче (система Максвелла) математическая модель может иметь приложение в диагностике плазмы: она описывает поведениеэлектромагнитного поля плазмы, заключенной в проводящий резонатор и загрязненной частицами металла.
Модель является корректной, если диаметры частицметалла много больше толщины скин-слоя в металле. Для упрощения выкладокэлектрическая и магнитная проницаемости в работе выбраны равными единице;однако методика естественно обобщается и на случай переменных комплексныхэлектрических и магнитных проницаемостей.Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры Высшей математики и математическойфизики, а также на конференциях:1. International Conference Days on Diffraction 2014, Russia, St. Petersburg, 2014(устный доклад).2. Конференция «Встреча поколений» фонда Дмитрия Зимина «Династия», Москва,2015 (устный доклад).3.
The eighth St.Petersburg Conference in Spectral Theory, Russia, St. Petersburg, 2016(устный доклад).Личный вклад. Результаты первой главы диссертации опубликованыв работе диссертанта [A1]. Основные результаты второй, третьей и четвертой5глав опубликованы в совместной работе диссертанта и Б.А. Пламеневского [A2];определяющий вклад в эту работу принадлежит диссертанту.Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в двухпечатных изданиях ( [A1, A2]), рекомендованных ВАК для опубликования результатов кандидатских и докторских диссертаций.
Обе публикации индексируютсямеждународной системой цитирования Web of Science.Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глави заключения. Полный объем диссертации 116 страниц текста. Список литературысодержит 17 наименований.Содержание работыВо введении обосновывается актуальность исследований, проводимых врамках диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируются цели и задачи работы, обосновывается ее научнаяновизна и практическая значимость. Описываются методы исследования, структураи содержание работы. В первой главе рассматривается задача(2 − △)(,,) = (,), (,) ∈ Ω() × R;(1)(,,) = 0,(,) ∈ Ω() × R.Здесь область Ω() с малой полостью () = { ∈ R3 : −1 ∈ } задана формулойΩ() = Ω∖(), где > 0 - малый параметр, а Ω, ⊂ R3 - ограниченные областис гладкими границами, содержащие начало координат. Функция определена вцилиндре {(,) : ∈ Ω, ∈ R}.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
