Автореферат (1149222), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Отметим, что несмотря на выполнение данного условиянаправление xk+1 − xk может и не быть направлением спуска функции f в точке xk . В этомнаправлении функция может сначала возрастать, а потом убывать. Поэтому метод кодифференциального спуска позволяет “обходить” некоторые точки локального минимума.Справедлива следующая теорема о стационарности предельных точек последовательности, построенной по методу кодифференциального спуска.Теорема 4. Пусть X — строго выпуклое рефлексивное нормированное пространство, функция f : X → R непрерывно кодифференцируема на X и inf x∈X f (x) > −∞. Предположимтакже, что последовательность {xk }, построенная по методу кодифференциального спуска для функции f , сходится к точке x∗ ∈ X, а функция f равномерно кодифференцируема внекоторой окрестности точки x∗ . Тогда точка x∗ является стационарной точкой функцииf на X.
Если, кроме того, f выпукла, то x∗ — точка глобального минимума функции f .11В Главе 4 изучаются исчерпывающие семейства неоднородных верхних выпуклыхи нижних вогнутых аппроксимаций негладких функций, строится исчисление данных семейств, выводятся различные условия экстремума в терминах неоднородных верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций. Семейства неоднородных верхних выпуклыйаппроксимаций (далее неодн.
в.в.а.) представляют собой обобщения понятий коэкзостера иH–гипердифференцируемости в случае, когда множество H состоит из собственных полунепрерывных снизу выпуклых функций.Определение 4. Пусть f : Ω → R — произвольная функция. Полунепрерывная снизу собственная выпуклая функция ϕ : X → R называется слабой неодн. в.в.а.
функции f в точкеx, если выполнены условия:1. 0 ∈ int dom ϕ и ϕ(0) > 0;2. для любых ∆x ∈ X и ε > 0 существует α0 > 0 такое, что co{x, x + α0 ∆x} ⊂ Ω иf (x + ∆x) 6 f (x) + ϕ(∆x) + εα ∀α ∈ [0, α0 ).Определение 5. Семейство слабых неодн. в.в.а. {ϕλ }, λ ∈ Λ, функции f в точке x будемназывать исчерпывающим, если для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) = f (x) + inf ϕλ (∆x) + o(∆x),λ∈Λгде inf λ∈Λ ϕλ (0) = 0 и o(α∆x)/α → 0 при α ↓ 0.Справедливы следующие необходимые условия экстремума в терминах неодн. в.в.а.негладкой функции.Теорема 5.
Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество, {ϕλi }, λi ∈ Λi — семействослабых неодн. в.в.а. функции fi : Ω → R в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = {0} ∪ I, I = {1, . . . , n}.Предположим, что точка x∗ является точкой локального минимума в задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых ϕλi таких, что ϕλi (0) = 0, i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} будетonco ∂ϕλi (0) | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ − N (A, x∗ ) 6= ∅,где R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x∗ ) = 0} и ∂ϕλi (0) — субдифференциал выпуклой функции ϕλ в нуле.12Теорема 6.
Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством слабыхнеодн. в.в.а. функции f в точке x∗ и предположим, что x∗ — точка локального максимумафункции f . Тогда для любого ∆x ∈ X и для любого ε > 0 существует λ ∈ Λ такое, чтоp(∆x) 6 ε для всех p ∈ ∂ϕλ (0).Предлагается метод спуска, основанный на неоднородных верхних выпуклых аппроксимациях. Данный метод является обобщением метода кодифференциального спускаПусть функция f : X → R произвольна. Предположим, что существует семейство функцийϕλ : X ×X → R, λ ∈ Λ, такое, что для любых λ ∈ Λ и x ∈ X функция ϕλ (x, ·) является слабойнеодн.
в.в.а. функции f в точке x, и для любого λ ∈ Λ существует непрерывное по Хаусдорфумногозначное отображение Cλ : X ⇒ R × X ∗ такое, что для любого x ∈ X множество Cλ (x)выпукло и компактно в топологии τ × w∗ иϕλ (x, y) =max (a + ϕ(y)) ∀y ∈ X,(a,p)∈Cλ (x)где, как и выше, τ — стандартная топология на R, w∗ — слабая∗ топология на X ∗ .1Зафиксируем любые µ > 0 и 1 < r < +∞. Напомним, что k(a, p)kr = (|a|r + kpkr ) r длявсех (a, p) ∈ R × X ∗ .
Для любого x ∈ X определим множестваΛµ (x) = {λ ∈ Λ | ϕλ (x, 0) 6 µ},Λ0 (x) = {λ ∈ Λ | ϕλ (x, 0) = 0}.Мы будем предполагать, что для любого x ∈ X множество Λ0 (x) непусто.Теоретическая схема метода спуска имеет следующий вид:1. Выбрать x0 ∈ X.2. k-ая итерация (k > 0):(a) Для каждого λ ∈ Λµ (xk ) найти (ak (λ), pk (·; λ)) ∈ Cλ (xk ) такое, чтоinf(a,p)∈Cλ (xk )k(a, p)kr = k(ak (λ), pk (·; λ))kr .(b) Для каждого λ ∈ Λµ (xk ) вычислить ∆xk (λ) ∈ X такое, чтоinf pk (∆x; λ) = pk (∆xk (λ); λ)k∆xk=1(если pk (·; λ) = 0, то положим ∆xk (λ) = 0).(c) Для каждого λ ∈ Λµ (xk ) вычислить αk (λ) по правилуinf f (xk + α∆xk (λ)) = f (xk + αk (λ)∆xk (λ)).α>013(d) Выбрать ∆xk ∈ X и αk ∈ [0, +∞) по правилуinfλ∈Λµ (xk )f (xk + αk (λ)∆xk (λ)) = f (xk + αk ∆xk )и положить xk+1 = xk + αk ∆xk .Предложенный метод действительно является методом спуска, т. е.
для любого k ∈N будет f (xk+1 ) < f (xk ). При некоторых дополнительных предположениях на семейство{ϕλ }, λ ∈ Λ, справедлива теорема о стационарности предельных точек последовательности,построенной по методу спуска.С помощью предложенного выше метода спуска можно упростить метод кодифференциального спуска для определённого класса кодифференцируемых функций.Определение 6. Пусть функция f : Ω → R непрерывно кодифференцируема на Ω. Будемговорить, что гипердифференциал функции f разложим на множестве Ω, если существуеткодифференциальное отображения функции f на множестве Ω такое, чтоdf (x) = co{(bj (x), qj (·; x)) ∈ R × X ∗ | j ∈ J} ∀x ∈ Ω,где J = {1, . .
. , s}, а отображения x → (bj (x), qj (·; x)) непрерывны, j ∈ J.Пусть функция f : X → R непрерывно кодифференцируема на X и гипердифференциал функции f разложим. Определим Λ = J = {1, . . . , s} и для каждой пары (bj (x), qj (·; x)) ∈R × X ∗ , j ∈ J = {1, . . . , s}, где отображения x → (bj (x), qj (·; x)), j ∈ J, входят в определениеразложимости гипердифференциала, положимCj (x) = df (x) + {(bj (x), qj (·; x))},ϕj (x, y) =max (a + p(y)) ∀y ∈ X.(a,p)∈Cj (x)Семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, удовлетворяет всем предположения указанным выше. Поэтому кфункции f можно применить метод спуска, который в данном случае естественно называть модифицированным методом кодифференциального спуска.
Можно показать, что принекоторых дополнительных предположениях все предельные точки последовательности, построенной по модифицированному методу кодифференциального спуска являются стационарными.В Главе 5 рассматриваются приложения разработанной теории к некоторым негладким задачам вариационного исчисления.
В данной главе выводятся необходимые условияэкстремума для одной негладкой классической задачи вариационного исчисления и негладкой задачи Больца, в которой интегрант представим в виде суммы максимума и минимума14конечных семейств непрерывно дифференцируемых функций. На конкретных примерах показывается, что полученные необходимые условия экстремума лучше других существующихнеобходимых условий экстремума в негладких задачах вариационного исчисления. Такжепоказывается, как теория неоднородных верхних выпуклых аппроксимаций позволяется существенно упростить вывод необходимого условия экстремума в многомерной минимакснойзадаче вариационного исчисления.Рассмотрим негладкую задачу БольцаZ bmax fi (x(t), ẋ(t), t) + min gj (x(t), ẋ(t), t) dt → inf,I(x) = f0 (x(a), x(b)) +ai∈Ij∈J(3)где функции fi , gj : Rd × Rd × [a, b] → R, fi = fi (x, z, t), gj = gj (x, z, t), i ∈ I = {1, .
. . , n}, j ∈J = {1, . . . , m} непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемыпо x и z на всей своей области определения, а f0 : Rd × Rd → R — заданная функция.Положим f (x, z, t) = maxi∈I fi (x, z, t), g(x, z, t) = minj∈J gj (x, z, t) и введём многозначные отображения∂fi∂fi(x, z, t),(x, z, t) i ∈ I ,fi (x, z, t) − f (x, z, t),dx,z f (x, z, t) = co∂x∂z∂gj∂gj(x, z, t),(x, z, t) j ∈ J .dx,z g(x, z, t) = cogj (x, z, t) − g(x, z, t),∂x∂zЗаметим, что множество dx,z f (x, z, t) является гиподифференциалом отображения (x, z) →f (x, z, t) в точке (x, z), а множество dx,z g(x, z, t) является гипердифференциалом отображения (x, z) → g(x, z, t) в точке (x, z).Справедливо следующее необходимое условие экстремума в задаче (3).Теорема 7.
Пусть x∗ ∈ C 1,d [a, b] является точкой локального минимума в задаче (3), а выпуклая функция ϕ0 : R2d → R является слабой неодн. в.в.а. функции f0 в точке (x∗ (a), x∗ (b)),причём ϕ0 (0, 0) = 0. Тогда для любого измеримого отображения w : [a, b] → Rd × Rd такого,что (0, w(t)) ∈ dx,z g(x(t), ẋ(t), t) для почти всех t ∈ [a, b] существует абсолютно непрерывная функция ζ : [a, b] → Rd такая, что для почти всех t ∈ [a, b](0, ζ̇(t), ζ(t)) ∈ dx,z f (x(t), ẋ(t), t) + {(0, w(t))}и выполнено условие трансверсальности (ζ(a), −ζ(b)) ∈ ∂ϕ0 (0, 0).В Заключении дается краткий обзор всей работы с перечислением полученных результатов и обсуждаются возможные направления дальнейших исследований.15ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИПубликации в изданиях, входящих в перечень ВАК рецензируемых научных журналов:1.
Долгополик М.В. Неоднородные выпуклые аппроксимации негладких функций //Известия вузов. Математика. 2012. № 12. С. 34–50.Переведена:Dolgopolik M.V. Inhomogeneous convex approximations of nonsmooth funcitons // RussianMathematics. 2012. vol. 56, no. 12. pp. 28–42.2. Демьянов В.Ф., Долгополик М.В. Кодифференцируемые функции в банаховых пространствах: методы и приложения к задачам вариационного исчисления // Вестник Санкт–Петербургского университета, серия 10. 2013. Вып.
3. С. 48-67.Публикации в других изданиях:3. Долгополик М.В. Кодифференциальное исчисление в нормированных пространствах// Проблемы математического анализа. 2011. Вып. 54. С. 3–22.Переведена:Dolgopolik M.V. Codifferential calculus in normed spaces // Journal of MathematicaSciences. 2011. vol. 173, no. 5. pp. 441–462.4. Долгополик М.В. Кодифференцируемые функции в нормированных пространствах/ Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференцииаспирантов и студентов; под ред. А.С.
Ерёмина, Н.В. Смирнова. СПб.: Издат. Дом С.–Петерб.гос. ун–та. 2011. С. 9–14.5. Долгополик М.В. Неоднородные выпуклые аппроксимации негладких функций / Современные проблемы математики: тезисы Международной (43–й Всероссийской) молодёжной школы–конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2012. С. 327–329.6. Dolgopolik M.V. Nonsmooth problems of Calculus of Variations with a codifferentiableintegrand / Конструктивный негладкий анализ и смежные вопросы.
Тезисы докладов международной конференции. СПб.: Изд–во Санкт–Петербургского университета, 2012. С.46–48.7. Dolgopolik M.V. Abstract Convex Approximations of Nonsmooth Functions //Optimization. 2014. DOI: 10.1080/02331934.2013.869811.8. Долгополик М.В., Тамасян Г.Ш. Об эквивалентности методов наискорейшего и гиподифференциального спусков в некоторых задачах условной оптимизации / Современныепроблемы теории функций и их приложения: Материалы 17-й междунар. Сарат.
зимнейшколы. Саратов: ООО Издательство “Научная книга”. 2014. С. 82–83.16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
