Автореферат (1149222), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Здесь также даются базовые определенияи утверждения абстрактного выпуклого анализа. Пусть X — непустое множество, H —непустое семейство функций h : X → R. Функция f : X → R называется H–выпуклой (H–вогнутой), если существует непустое множество U ⊂ H такое, чтоf (x) = sup h(x)f (x) = inf h(x)h∈Uh∈U∀x ∈ X.В случае, когда X является нормированным пространством, а множество H совпадает с множеством всех непрерывных аффинных функций h : X → R, множество всех H–выпуклых функций f совпадает с множеством всех собственных полунепрерывных снизувыпуклых функций, а множество всех H–вогнутых функций f совпадает с множеством всехсобственных полунепрерывных сверху вогнутых функций.В первой главе также приводятся определения квазидифференцируемости, кодифференцируемости, экзостера и коэкзостера и формулируются необходимые условия экстремума в терминах данных аппроксимаций.
Пусть Ω ⊂ Rn — открытое множество. Функцияf : Ω → R называется квазадифференцируемой в точке x ∈ Ω, если f дифференцируема понаправлениям в точке x и существуют выпуклые компакты ∂f (x), ∂f (x) ⊂ Rn такие, чтоf 0 (x, g) = max hv, gi + min hw, gi ∀g ∈ Rn ,v∈∂f (x)w∈∂f (x)где f 0 (x, ·) — производная по направлениям функции f в точке x и h·, ·i — скалярное произведение в Rn .Будем говорить, что у функции f в точке x существует верхний экзостер в смыслеДини, если функция f дифференцируема по направлениям в точке x и существует семействоE ∗ f (x) выпуклых компактных подмножеств Rn таких, чтоf 0 (x, g) =minmaxhv, gi ∀g ∈ Rn .C∈E ∗ f (x) v∈CФункция f : Ω → R называется кодифференцируемой в точке x ∈ Ω, если существуетпара выпуклых компактов df (x), df (x) ⊂ Rn+1 таких, что для любого допустимого ∆x ∈ Rn(т. е.
co{x, x + ∆x} ⊂ Ω) будетf (x + ∆x) − f (x) =max (a + hv, ∆xi) +(a,v)∈df (x)min(b,w)∈df (x)6(b + hw, ∆xi) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α → +0.Семейство непустых выпуклых компактных подмножеств Ef (x) пространства Rn+1называется обобщённым верхним коэкзостером в смысле Дини функции f : Ω → R в точкеx ∈ Ω, если для любого допустимого ∆x ∈ Rn будетf (x + ∆x) − f (x) =infmax (a + hv, ∆xi) + o(∆x, x),C∈Ef (x) (a,v)∈Cгде o(α∆x, x)/α → 0 при α → +0.В главе 2 вводится понятие абстрактно кодифференцируемой функции и абстрактнойвыпуклой аппроксимации негладкой функции, строится исчисление абстрактно кодифференцируемых функции, формулируются условия экстремума в терминах введённых аппроксимаций, а также приводится несколько конкретных классов абстрактно кодифференцируемыхфункций.Пусть везде далее X — нормированное пространство, Ω ⊂ X — открытое множество, H— непустое множество функций h : X → R.
Обозначим через P F (X, H) множество, состоящееиз всех пар функций (Φ, Ψ) таких, что функция Φ : X → R является H–выпуклой, функцияΨ : X → R является H–вогнутой и 0 ∈ int(dom Φ ∩ dom Ψ).Введём бинарное отношение σ на множестве P F (X, H). Пусть ((Φ1 , Ψ1 ), (Φ2 , Ψ2 )) ∈ σгде (Φi , Φi ) ∈ P F (X, H), i ∈ {1, 2}, тогда и только тогда, когда Φ1 (0) + Ψ1 (0) = Φ2 (0) + Ψ2 (0)и для любого x ∈ X будет limα↓0 Φ1 (αx) + Ψ1 (αx) − Φ2 (αx) − Ψ2 (αx) /α = 0. Бинарноеотношение σ является отношением эквивалентности.
Множество всех классов эквивалентности P F (X, H)/σ обозначим через EP F (X, H). Если (Φ, Ψ) ∈ P F (X, H), то обозначим через[Φ, Ψ] класс эквивалентности элемента (Φ, Ψ) по отношению σ.Определение 1. Функция f : Ω → R называется H–кодифференцируемой (или абстрактнокодифференцируемой по отношению к множеству H) в точке x ∈ Ω, если существует элементδH f (x) ∈ EP F (X, H) для которого существует пара (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) такая, что Φ(0) + Ψ(0) =0 и для любого допустимого ∆x ∈ X (т. е. co{x, x + ∆x} ⊂ Ω ∩ dom Φ ∩ dom Ψ) будетf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + Ψ(∆x) + o(∆x, x),(1)где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.
Элемент δfH (x) называется H–производной функции f вточке x. Функция f называется H–гиподифференцируемой (H–гипердифференцируемой) вточке x, если существует пара (Φ, 0) ∈ P F (X, H) ((0, Ψ) ∈ P F (X, H)) такая, что (Φ, 0) ∈δfH (x) ((0, Ψ) ∈ δfH (x)).Многие классы негладких функций совпадают с классом H–кодифференцируемыхфункций для определённых множеств H.7Предложение 1. Пусть X = Rn , множество H состоит из всех линейных функционаловна X и функция f : Ω → R произвольна.
Тогда f является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω тогда и только тогда, когда она квазидифференцируема в этой точке.Предложение 2. Пусть X = Rn , множество H состоит из всех сублинейных функций наRn и функция f : Ω → R произвольна. Тогда f является H–гипердифференцируемой в точкеx ∈ Ω тогда и только тогда, когда существует верхний экзостер функции f в точке x.Предложение 3.
Пусть X = Rn , множество H состоих из всех аффинных функцийh : Rn → R и функция f : Ω → R произвольна. Тогда f является H–кодифференцируемойв точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда f кодифференцируема в данной точке.Предложение 4. Пусть X = Rn , множество H состоит из всех выпуклых функцийh : Rn → R и функция f : Ω → R произвольна. Тогда f является H–гипердифференцируемойв точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда существует обобщённый верхний коэкзостерфункции f в этой точке такой, что0 ∈ int dominf hC ,hC (·) = max (a + hv, ·i) ∀C ∈ Ef (x).(a,v)∈CC∈Ef (x)(2)С помощью понятия абстрактной кодифференцируемости можно получать удобныенеобходимые условия экстремума в задачах математического программирования.
Напомним,что функция f : X → R такая, что f (0) = 0 называется субоднородной, если для любых x ∈ Xи α ∈ (0, 1) будет f (αx) 6 αf (x).Теорема 1. Пусть A ⊂ Ω — выпуклое множество, fi : Ω → R являются H–кодифференцируемыми в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = I ∪ {0}, I = {1, . . . , n}. Предположимтакже, что для любых h, p ∈ H сумма h + p корректно определена и x∗ является точкойлокального минимума в задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых (Φi , Ψi ) ∈ δH fi (x∗ ) и pi ∈ H, i ∈ I0 , таких, что pi (x) > Ψi (x) для всехx ∈ X, pi (0) = Ψi (0) и функцияg(·) = sup{Φ0 (·) + p0 (·), Φ1 (·) + p1 (·) + f1 (x∗ ), .
. . , Φn (·) + pn (·) + fn (x∗ )}субоднородна, 0 является точкой глобального минимума функции g на множестве A − x∗ .Далее исследуются два конкретных класса абстрактно кодифференцируемых функций. В главе 3 изучаются кодифференцируемые функции, определённые на нормированном пространстве, строится исчисление кодифференцируемых функций, а также выводятсянеобходимые условия экстремума и различные свойства данных функций.8Определение 2. Функция f : Ω → R называется кодифференцируемой в точке x ∈ Ω, еслисуществуют собственная полунепрерывая снизу выпуклая функция Φ : X → R и собственнаяполунепрерывная сверху вогнутая функция Ψ : X → R такие, что 0 ∈ int(dom Φ ∩ dom Ψ),Φ(0) + Ψ(0) = 0, функции Φ и Ψ непрерывны в нуле и для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + Ψ(∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α → +0.В следующем предложении указан другой подход к определению кодифференцируемости.Предложение 5. Функция f : Ω → R является кодифференцируемой в точке x ∈ Ω тогдаи только тогда, когда существуют выпуклые ограниченные и компактные в топологииτ × w∗ множества A, B ⊂ R × X ∗ такие, что max(a,ϕ)∈A a = min(b,ψ)∈B b = 0 и для любогодопустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) = max (a + ϕ(∆x)) + min (b + ψ(∆x)) + o(∆x, x),(a,ϕ)∈A(b,ψ)∈Bгде o(α∆x, x)/α → 0 при α → +0.
Здесь τ — стандартная топология на вещественнойпрямой, w∗ — слабая∗ топология на X ∗ .Пара множеств Df (x) = [A, B], фигурирующая в предыдущем предложении, называется кодифференциалом функции f в точке x, множество df (x) = A называется гиподифференциалом функции f в точке x, а множество df (x) = B называется гипердифференциаломфункции f в этой точке.Наиболее важную роль в приложениях играют непрерывно кодифференцируемыефункции.Определение 3. Будем говорить, что функция f : Ω → R непрерывно кодифференцируемав точке x ∈ Ω, если f кодифференцируема в некоторой окрестности точки x и существуеткодифференциальное отображение y → Df (y) определённое в некоторой окрестности точкиx такое, что многозначные отображения y → df (y) и y → df (y) непрерывны по Хаусдорфув точке x.Множество всех непрерывно кодифференцируемых функций образует векторную решётку замкнутую относительно операции поточечного умножения функций.Справедливы следующие необходимые условия экстремума в терминах кодифференцируемых функций.9Теорема 2.
Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество, функции fi : Ω → R являются кодифференцируемыми в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = {0} ∪ I, I = {1, . . . , n}. Предположим,что x∗ является точкой локального минимума в задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых (0, ψi ) ∈ dfi (x), i ∈ R(x∗ ) ∪ {0}, будетo nco dfi (x∗ ) + {(0, ψi )} | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ {0} × − N (A, x∗ ) 6= ∅,где R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x∗ ) = 0} и N (A, x∗ ) = {p ∈ X ∗ | p(a − x∗ ) ≤ 0 ∀a ∈ A}. Если, крометого, для любых (0, ψi ) ∈ dfi (x), i ∈ R(x∗ ), будетno co dfi (x∗ ) + {(0, ψi )} | i ∈ R(x∗ ) ∩ {0} × − N (A, x∗ ) = ∅,то для любых (0, ψi ) ∈ dfi (x), i ∈ I0 , существуют λi > 0, i ∈ I такие, что λi fi (x∗ ) = 0 длявсех i ∈ I иnX df0 (x∗ ) + {(0, ψ0 )} +λi dfi (x∗ ) + {(0, ψi )} ∩ {0} × − N (A, x∗ ) 6= ∅.i=1Далее исследуются различные свойства кодифференцируемых функций и, в частности,доказываются аналог классической теоремы Лагранжа о среднем значении и утверждение олокальной липшицевости непрерывно кодифференцируемой функции.Теорема 3.
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема на множестве Ω. Тогда длялюбых x1 , x2 ∈ Ω таких, что co{x1 , x2 } ⊂ Ω существует θ ∈ (0, 1) для которого существуют (0, ϕ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 )) и (0, ψ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 )) такие, что f (x2 ) − f (x1 ) =(ϕ + ψ)(x2 − x1 ).Предложение 6. Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема на множестве Ω. Пустьтакже S ⊂ Ω — выпуклое множество такое, что кодифференциал функции f ограниченна множестве S. Тогда функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве S.
Вчастности, если функция f непрерывно кодифференцируема, то она локально липшицева.Предлагается теоретическая схема метода нахождения стационарных точек кодифференцируемой функции, определённой на нормированном пространстве, обобщающая соответствующий метод для конечномерных задач.Пусть функция f : X → R кодифференцируема на X. Зафиксируем любые µ > 0 и11 < p < +∞.
Положим k(a, ϕ)kp = (|a|p + kϕkp ) p для всех (a, ϕ) ∈ R × X ∗ . Для любого x ∈ Xопределим множествоdµ f (x) = {w ∈ df (x) | w = (b, ψ), 0 6 b 6 µ},10а для любого w ∈ dµ f (x) положим L(xk , w) = df (xk ) + {w}.Теоретическая схема метода кодифференциального спуска задаётся следующим образом.1. Выбрать x0 ∈ X.2. k-ая итерация (k > 0):(a) Вычислить df (xk ), df (xk ) и dµ f (xk ).(b) Для каждого w ∈ dµ f (x) найти (ak (w), ϕk (·; w)) ∈ L(xk , w) такое, чтоinf(a,ϕ)∈L(xk ,w)k(a, ϕ)kp = k(ak (w), ϕk (·; w))kp .(c) Для каждого w ∈ dµ f (x) вычислить ∆xk (w) ∈ X такое, чтоinf ϕk (∆x; w) = ϕk (∆xk (w); w)k∆xk=1(если ϕk (·; w) = 0, то положим ∆xk (w) = 0).(d) Для каждого w ∈ dµ f (x) вычислить αk (w) по правилуinf f (xk + α∆xk (w)) = f (xk + αk (w)∆xk (w)).α>0(e) Выбрать ∆xk ∈ X и αk ∈ [0, +∞) по правилуinff (xk + αk (w)∆xk (w)) = f (xk + αk ∆xk )w∈dµ f (xk )и положить xk+1 = xk + αk ∆xk .В результате применения данного метода получим последовательность такую, чтоf (xk+1 ) < f (xk ) для всех k ∈ N.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
