Диссертация (1149198), страница 7
Текст из файла (страница 7)
следующий Раздел) и определяют характерный УФ импульсный масштаб Λ.3.2.УФ расходимости и ренормировкаКанонические размерности полей и параметров в модели (3.3) пред-ставлены в таблице 3.1. Она также включает ренормированные параметры(те, что без нижнего индекса “o”) и ренормировочную массу µ.Из таблицы 3.1 следует (см. Раздел 2.3), что модель логарифмичнапри d = 2 и ξ = 0, когда константы взаимодействия g0 и w0 одновременностановятся безразмерными.
Отсюда следует, что УФ расходимости в функциях Грина предстают в виде полюсов по ε = 2 − d, ξ и, в общем случае,по всем их линейным комбинациям.49Таблица 3.1. Канонические размерности полей и параметров в модели (3.3).Fhh0vκ0 , κD0g0B0dωF1−111301dkFdF−2 d + 2 −10d1−20−d − 4 2 − d −2 + ξεεξw0 g, w, α m, µ, Λ000ξ01ξ01Поле h входит в вершины h0 (∂h)2 и h0 (v∂)h только в форме пространственной производной, поэтому любое появление h в какой-либо функцииΓ приводит к соответствующему внешнему импульсу (см.
Раздел 2.3), иреальный индекс расходимости дается выражениемδΓ0 = δΓ − Nh .Более того, h может возникнуть в соответствующем контрчлене только подзнаком производной.Из таблицы 3.1 и выражения (2.18) получаем:δΓ0 = δΓ − Nh = 4 − Nh − 2Nh0 − Nv .(3.6)Простой анализ выражения (3.6) показывает, что поверхностные УФрасходимости могут быть только в следующих 1-неприводимых функциях:hh0 h0 i1−непр (δΓ = 0, δΓ0 = 0) с контрчленом h0 h0 ,hh0 hhi1−непр (δΓ = 2, δΓ0 = 0) с контрчленом h0 (∂h)2 ,hh0 hi1−непр (δΓ = 2, δΓ0 = 1) с контрчленом h0 ∂ 2 h,hh0 hvi1−непр (δΓ = 1, δΓ0 = 0) с контрчленом h0 (v∂)h,50hh0 i1−непр (δΓ = 2, δΓ0 = 2) с контрчленом h0 ,hh0 vi1−непр (δΓ = 1, δΓ0 = 1) с контрчленом h0 (∂v),hh0 vvi1−непр (δΓ = 0, δΓ0 = 0) с контрчленом h0 v 2 .(3.7)Некоторые дополнительные соображения сокращают число необходимых контрчленов.Действие модели КПЗ инвариантно относительно преобразованияh(t, x) → h(t, x + ut) + u · x + u2 t/2,h0 (t, x) → h0 (t, x + ut)(3.8)с произвольным постоянным параметром u.
Эта инвариантность, котораястановится галилеевой в терминах векторного поля ∂i h, нарушается в полной модели (3.1). Тем не менее, в последней есть другая реализация галилеевой симметрии, а именноh(t, x) → h(t, x + ut), h0 (t, x) → h0 (t, x + ut),v(t, x) → v(t, x + ut) − u(3.9)(здесь важно, что поле скорости не коррелировано во времени). Эта симметрия требует, чтобы моном h0 (v∂)h входил в контрчлен только в формеинвариантной комбинации h0 ∇t h = h0 ∂t h + h0 (v∂)h1 . Первый член, тем неменее, запрещен реальным индексом (3.6): поле h появляется там без пространственной производной.
Таким образом, второй член также оказывается под запретом (сокращение расходящихся вкладов от разных диаграмм1Операция ренормировки стандартной схемы минимальных вычитаний перестановочна с галилеевыми преобразованиями. Это означает, что если функционал действия или составной оператор строгогалилеево-инвариантен (или нарушающие инвариантность вклады УФ конечны), то все контрчленыинвариантны [2].51может быть проверено прямым вычислением).
Галилеева симметрия такжеисключает моном h0 v 2 .Контрчлен ∝ h0 , возникающий от функции hh0 i1−непр , в терминахисходной стохастической задачи ренормирует среднее значение случайного шума hf i. Это можно проиллюстрировать диаграммой “головастик” наРис. 3.1: она представляет однопетлевой вклад в среднее значение h∂h∂hi.Как уже было сказано, (см. сноску в Разделе 1.1.1), эти два средних значения можно одновременно игнорировать. В этом смысле, вклад от hh0 i1−непрсхож со сдвигом критической температуры в моделях равновесного критического поведения.Рис. 3.1.
Однопетлевая диаграмма “головастик” из функции hh0 i1−непр .Контрчлен вида h0 ∂i vi , возникающий от функции Грина hh0 vi1−непр ,также требует особого обсуждения. Он полностью исчезает для случаянесжимаемой жидкости, где ∂i vi = 0. Тем не менее, практическое однопетлевое вычисление (см. ниже) показывает, что он отсутствует и в общемслучае (α 6= 0). Можно выдвинуть некоторые соображения что это справедливо во всех порядках теории возмущений. Так как наш текущий анализограничивается однопетлевыми вычислениями, мы не будем в дальнейшемучитывать этот член.Тогда остаются три контрчлена вида h0 h0 , h0 ∂ 2 h и h0 (∂h)2 .
Все этичлены присутствуют в действии (3.3), что делает рассматриваемую модельмультипликативно ренормируемой. Ренормированное действие может быть52записано в форме:11SR (Φ) = Z1 h0 Dh0 + h0 −∇t h + κZ2 ∂ 2 h + Z3 (∂h)2 + Sv ,22(3.10)где g, w и κ – ренормированные аналоги затравочных параметров, и функционал Sv из (3.4) следует также выразить через ренормированные переменные. Ренормировочные константы Zi зависят только от полностью безразмерных параметров g, w, κ, α и поглощают все полюса по ε и ξ.Ренормированное действие (3.10) получается из исходного (3.3) ренормировкой полей h → Zh h и h0 → Zh0 h0 и параметров:κ0 = κZκ ,g0 = gµε Zg ,w0 = wµξ Zw .(3.11)Амплитуды D и B выражаются через ренормированные параметры следующим образом:D = gκ 3 µε ,B = wκµξ .(3.12)Связь ренормировочных констант в уравнениях (3.10) и (3.11) описывается соотношениями:Zg = Z1 Z2−3 Z32 ,Zκ = Z2 ,Zh Zh0 = 1,Zh = Z3 ,Zh0 = Z3−1 ,Zv = 1,Zw Zκ = 1.(3.13)Первые два соотношения во второй строчке возникают из-за отсутствияконтрчлена h0 ∇t h, последнее – из-за отсутствия ренормировки члена Sv .Ренормировочные константы определяются требованием, чтобы функции Грина ренормированной модели (3.10), выраженные в ренормированных переменных, были УФ конечны (т.е.
были конечны при ε → 0, ξ → 0).53Для дальнейшего вычисления можно воспользоваться матричным уравнением Дайсона:Γ2 = −∆−1 − Σ,(3.14)где Γ2 – 1-неприводимая “двухвостая” функция Грина, ∆ – матрица пропагаторов (см. Раздел 2.2), а Σ – “собственная энергия”, по сути – суммавсех 1-неприводимых двухвостых диаграмм.Полный набор констант Z1 –Z3 можно найти из трех 1-неприводимых0000функций: hh hi1−непр , hh h i1−непр и hh hhi1−непр .
В ренормированной модели соответствующие однопетлевые приближения имеют вид:0hh hi1−непр = iη − κp2 Z2 ++,(3.15)00hh h i1−непр = DZ1 +12+,(3.16)hh0 hhi1−непр =+++++++.(3.17)Здесь прямая линия обозначает затравочный пропагатор hhhi0 , прямая линия со штрихом обозначает пропагатор hhh0 i0 , а волнистая линия –пропагатор скорости. В дальнейшем внешняя частота η полагается равной0нулю, так как расходящаяся часть функции hh hi1−непр пропорциональнаp2 , где p - внешний импульс.54Все диаграммные элементы нужно выразить в ренормированных переменных, используя соотношения (3.10)–(3.13). В однопетлевом приближении константы Zi в затравочных членах (3.15), (3.16) и (3.17) должныбыть взяты в ведущем порядке по g и w, тогда как в однопетлевых вкладахих нужно просто заменить на единицы, Zi → 1. Таким образом, переходк ренормированным переменным в однопетлевых диаграммах достигаетсяза счет простой замены κ0 → κ, g0 → gµε и w0 → wµξ .ИК регуляризация в диаграммах, включающих пропагатор скорости,обеспечивается обрезанием в интеграле (1.9) снизу при k = m.
В остальных диаграммах она обеспечивается внешними импульсами и частотами.Интерес представляют, однако, только УФ расходящиеся части этих диаграмм (полюса по ε и ξ). Поэтому можно использовать следующий прием,упрощающий вычисления: интегрирование по импульсам во всех диаграммах обрезается снизу при k = m.
Тогда в логарифмически расходящихсяфункциях (3.16) и (3.17) внешние импульсы и частоты можно приравнять кнулю, а в квадратично расходящейся функции (3.15) удерживается толькочлен порядка p2 в разложении по внешнему импульсу p.Теперь легко провести интегрирование по частоте. Возникающие врезультате интегралы по импульсам с помощью формулZZZki ksδisdk ki f (k) = 0,dk 2 f (k) =dk f (k),kd(3.18)где f (k) – произвольная функция, зависящая только от k = |k|, сводятсяк скалярному интегралуZJ(m) =dkk>m1k d+y= Sdm−yy(3.19)Здесь y = ε либо y = ξ, а Sd – площадь поверхности единичной сферы в55пространстве размерности d:Sd = 2π d /Γ(d/2).(3.20)Последние две диаграммы в (3.17) на самом деле исчезают и, такимобразом, не дают вклада в ренормировочную константу.
Действительно,они содержат замкнутые циклы запаздывающих пропагаторов; при этомпринципиальное значение имеет тот факт, что коррелятор скорости содержит δ-функцию по времени.Простое вычисление показывает, что первые три диаграммы в (3.17)также не дают вклада в Z3 , так как их расходящиеся части взаимно сокращают друг друга. Это следствие галилеевой симметрии (3.8) исходноймодели КПЗ, которая запрещает появление контрчленов типа h0 (∂h)2 вовсех порядках теории возмущений.Аналитическое выражение для оставшейся диаграммы в (3.17) выглядит следующим образом:ZZdkk2wκµξdω{Pij (k) + αQij (k)} .pi p j(2π) k>m (2π)d ω 2 + κ 2 k 4 k d+ξ(3.21)Здесь множитель перед интегралом возникает из двух нижних вершин,первый множитель в интеграле – из верхней вершины (числитель) и пропагаторов hh0 hi0 (знаменатель), последний сомножитель – коррелятор скорости.
Выполнив вычисление как описано выше, можно получить для (3.17):ŵ µ ξ (d − 1 + α)02hh hhi1−непр = p Z3 +.(3.22)ξ m2dЗдесь ŵ = wSd /(2π)d , а Sd из (3.20). Множитель (µ/m)ξ УФ конечен: онстремится к единице при ξ → 0. Для устранения полюса по ξ в (3.22),56ренормировочная константа Z3 может быть выбрана в видеZ3 = 1 −ŵ d − 1 + α.ξ2dТеперь обратимся к ренормировочной константе Z2 . Первая из двухдиаграмм в (3.15) оказывается УФ конечной и не дает вклада в Z2 . Чтобыв этом убедиться, можно рассмотреть аналитическое выражение (с точностью до несущественных амплитудных множителей):ZZdk ki (p + k)i kj pj1dω∝(2π) k>m (2π)d ω 2 + κ 2 k 4 −iω + κ|k + p|2Zdkki (p + k)i kj pj∝.d 2 22k>m (2π) k (k + |k + p| )(3.23)Здесь важен член типа p2 в разложении по p. Он оказывается суммойдвух одинаковых интегралов с противоположными знаками.
Действительно, первый возникает от вклада pi pj ki kj в числителе; тогда в знаменателеможно положить p = 0. Возникающее подынтегральное выражение становится равным pi pj ki kj /2k 4 . Второй интеграл возникает от вклада ki ki kj pj .Тогда нужно раскладывать знаменатель до порядка O(p):ZZkj pjdk kj pj(pk)dk'1− 2.d 22d2kk>m (2π) 2kk>m (2π) k + |k + p|(3.24)Первый член в (3.24) исчезает ввиду нечетности подынтегральной функциипо k, а второй равен интегралу, вычисленному выше, но с другим знаком.Аналитическое выражение для второй диаграммы в (3.15) следующее:Zdω(2π)dk ipi i(p + k)jξ {Pij (k) + αQij (k)}wκµ.dk d+ξ−iω + κ|k + p|2k>m (2π)ZИнтегрирование по ω содержит неопределенностьZdω1= θ(0),(2π) −iω + κ|k + p|2(3.25)(3.26)57где θ(0) - функция Хевисайда в нуле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
