Диссертация (1149198), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

При этом точный смешанный пропагатор hφφ0 i представляет функцию отклика hδφ(x)/δη(x0 )i.Тогда вершинам с линиями со штрихом будут соответствовать взаимодействия, содержащие φ0 . Графические выражения для hφφi и hδφ/δηi будутвключать все диаграммы такой квантовополевой модели, кроме закороченных линий ∆12 = hφφ0 i0 .Приведем доказательство полной эквивалентности стохастической задачи (2.1) квантовополевой модели с удвоенным числом полей [2]. Пустьφ(x, η) – решение задачи (2.1), а G(a) – производящий функционал корреляционных функций поля φ:RG(a) =Dη exp −ηD−1 η/2 + aφR,Dη exp [−ηD−1 η/2](2.4)где a(x) – источник, aφ – стандартная линейная форма.Известно, чтоZexp (aφ) =где δ(φ − φ) ≡QDφ δ(φ − φ) exp (aφ),(2.5)δφ(x)−φ(x).xТак как φ – решение стохастической задачи (2.1), то справедливо тождествоφ = φ ⇔ Q(φ, η) ≡ −∂t φ + U (φ) + η = 0.(2.6)33Отсюда следует, чтоδ(φ − φ) = det M δ [Q(φ, η)] ,(2.7)где M ≡ δQ/δφ (здесь M = M (x, x0 ) = δQ(x)/δφ(x0 ), а det M – определитель линейной интегральной операции с ядром M (x, x0 )).Для δ [Q(φ, η)] верно:Zδ [Q(φ, η)] =Dφ0 exp [φ0 Q(φ, η)],(2.8)где φ0 – поле той же природы, что Q и φ, а все нормировочные множителивключены в Dφ0 .Подставив все эти выражения в (2.4) и взяв гауссов интеграл по η,получаем:Z ZG(a) =DφDφ0 det M exp [φ0 Dφ0 /2 + φ0 (−∂t φ + U (φ)) + aφ].(2.9)Легко видеть, что для M верно:M = −∂t + L + δn(φ)/δφ = −∆−112 + δn(φ)/δφ.(2.10)Это значит, что det M = det [−∆−112 ] det [1 − ∆12 δn(φ)/δφ].

Первый множитель не зависит от полей, поэтому это несущественная константа. Если рассмотреть графическое представление логарифма второго множителяln det [1 − ∆12 δn(φ)/δφ], то оно будет состоять из одной единственной диаRRграммы: однократного циклаdxdx0 ∆12 (x, x0 )M1 (x0 , x), где M1 (x0 , x) =δn(x0 , φ)/δφ(x) – ядро t-локального оператора, т.е. M1 (x0 , x) ∼ δ(t0 − t).1Из определения ∆12 : (∂t − L)∆12 = δ(x − x0 ) и условия запаздыванияследует, что ∆12 = θ(t − t0 )R(x, x0 ), где R(x, x0 )|t=t0 = δ(x − x0 ).

Таким1ln det [1 − ∆12 δn(φ)/δφ] состоит из одной диаграммы, так как многократные замкнутые циклы сзапаздывающей линией ∆12 (x, x0 ) дают нули (∆12 ∼ θ(t−t0 )), а вершинные множители M1 не содержатпроизводных ∂t , способных стянуть циклы в точку за счет превращения θ-символов в δ-символы.34образом, ∆12 (x, x0 )|t=t0 +0 = δ(x − x0 ) и ∆12 (x, x0 )|t=t0 −0 = 0, а значение∆12 при t = t0 остается неопределенным. ∆12 можно доопределить нулем,если одновременно все замкнутые циклы с закороченной линией ∆12 такжесчитать нулями.

Тогда в дальнейшем (в том числе в выражении (2.9)) det Mможно заменить единицей.Подводя итог, можно сказать, что любая стохастическая задача типа(2.1) полностью эквивалентна квантовополевой модели с удвоенным числом полей Φ = φ, φ0 и функционалом действия:1S(Φ) = φ0 D0 φ0 + φ0 {−∂t φ + U (φ)} .2(2.11)Здесь и далее, все необходимые интегрирования по x = (t, x) и суммирования по повторяющимся тензорным индексам подразумеваются, например,ZZ00(2.12)φ D0 φ = D0 dt dx φ0 (t, x) φ0 (t, x).Квантовополевая формулировка означает, что корреляционные функции и функции отклика стохастической задачи могут быть соотнесены сразличными функциями Грина квантовополевой модели с действием (2.11).Иными словами, они определяются производящим функционаломZG(A) = DΦ exp [S(Φ) + AΦ],(2.13)где DΦ ≡ DφDφ0 и AΦ ≡ aφ + a0 φ0 .

Источник a0 (x) играет роль неслучайной внешней силы f , поэтому слагаемое f можно не вводить в нелинейнуючасть оператора U (φ). Также это означает, что функции Грина с участиемполя φ0 представляют различные функции отклика исходной стохастической задачи. Для действия получаем:1S(Φ) = φ0 D0 φ0 + φ0 {−∂t φ + Lφ + n(φ)} .2(2.14)35Здесь φ0 n(φ) – взаимодействие, а свободное действие S0 (Φ) состоит из квадратичных по полям вкладов. Роль линий в диаграммах Фейнмана играютэлементы матрицы ∆ = K −1 затравочных пропагаторов. Матрица K находится симметризацией квадратичных по полям вкладов действия:  (∂t − L)T   φ 1 φ  01S0 (Φ) = −   (2.15)   = − ΦKΦ.2 φ020∂t − L−DφПоэтому для пропагаторов получаем:∆12 = ∆T21 = (∂t − L)−1 ,∆11 = ∆12 D∆21 ,∆ik (x, x0 ) ≡ hΦi (x), Φk (x0 )i0 ,Φ1 = φ,∆22 = 0,Φ2 = φ0 .(2.16)Стоит отметить, что так как ∆22 = 0, то поле φ0 может сворачиваться вдиаграммах только с полем φ.

В связи с этим стоит отметить, что любая1-неприводимая диаграмма с внешними линиями только поля φ дает нулевой вклад, так как обязательно содержит замкнутый цикл опережающегопропагатора ∆21 .2.3.Ультрафиолетовые расходимости и ренормировкаАнализ ультрафиолетовых (УФ) расходимостей основывается на ана-лизе канонических размерностей (“подсчете степеней”); см., например, [1,2].Динамические модели из Разделов (3)-(6) имеют два независимых масштаба: временной масштаб T и масштаб длины L (в отличие от одномасштабных статических моделей).Таким образом, каноническая размерность некоторой величины F(поля или параметра в функционале действия) может быть полностью описана двумя числами, частотной размерностью dωF и импульсной размерно-36стью dkF :ωk[F ] ∼ [T ]−dF [L]−dF .Их можно найти из условий нормировкиdkk = −dkx = 1, dωk = dωx = 0, dkω = dkt = 0, dωω = −dωt = 1,и из требования, чтобы каждый член функционала действия был безразмерным (по отношению к каждой размерности отдельно).

Тогда можноопределить полную каноническую размерность как dF = dkF + 2dωF (в свободной теории ∂t ∝ ∂ 2 , т.е. t ∝ |x|2 ). Эта величина заменяет импульснуюразмерность, обыкновенно используемую в статических задачах – см. Гл. 5в [2].В случае наличия в задачи анизотропии (см. Раздел 1.1.2) возникаютдва независимых импульсных масштаба, соответствующих направлениям,перпендикулярному и параллельному к вектору выделенного направленияn, из-за чего требуется некоторое доопределение. А именно, нужно ввестиkдва независимых импульсных канонических масштаба – d⊥F и dF – так,чтобыω⊥k[F ] ∼ [T ]−dF [L⊥ ]−dF [Lk ]−dF ,где L⊥ и Lk независимые масштабы длины в соответствующих подпроk⊥странствах.

Условия нормировки следующие: d⊥k⊥ = −dx⊥ = 1, dk⊥ =k−dx⊥ = 0, dωk⊥ = dωkk = 0, dωω = −dωt = 1, и т.д. Исходная импульснаяkразмерность может быть найдена из соотношения dkF = d⊥F + dF . Полнаяkωканоническая размерность: dF = dkF + 2dωF = d⊥F + dF + 2dF .Модель логарифмична в пространстве размерности d = d∗ , когда всеконстанты взаимодействия одновременно становятся безразмерными. От-37сюда, УФ расходимости в функциях Грина предстают в виде полюсов поε = d∗ − d. В случае включения в модель поля скорости (см.

Раздел 1.2) кусловию d = d∗ добавляется ξ = 0, а к полюсам по ε добавляются полюсапо ξ и, в общем случае, по всем их линейным комбинациям.Полная каноническая размерность произвольной 1-неприводимой функции Грина Γ = hΦ · · · Φi1−непр , где Φ = {h, h0 }, в частотно-импульсномпредставлении дается соотношением:dΓ = d + 2 − dh Nh − dh0 Nh0 ,(2.17)где Nh , Nh0 – числа соответствующих полей, входящих в функцию Γ; см.,например, [2].В случае включения в модель поля скорости v выражение меняетсяследующим образом:dΓ = d + 2 − dh Nh − dh0 Nh0 − dv Nv .(2.18)Полная размерность dΓ в логарифмической теории – это формальныйиндекс УФ расходимости: δΓ = dΓ |ε=ξ=0 .

Поверхностная УФ расходимость,для исключения которой нужны контрчлены, может быть только в техфункциях Γ, для которых δΓ – неотрицательное целое. Контрчлен – полином по частотам и импульсам степени δΓ (при условии, что подразумеваетсясоглашение t ∝ |x|2 , т.е. ω ∝ k 2 ).Если по какой-либо причине некоторое число внешних импульсов возникает как общий множитель во всех диаграммах данной функции Грина,то реальный индекс расходимости δΓ0 будет меньше, чем δΓ на соответствующее число единиц.38В динамических моделях все 1-неприводимые функции без полей отклика тождественно исчезают (их диаграммы всегда содержат замкнутыециклы запаздывающих линий; см.

Раздел 2.2). Пример такой диаграммыизображен на Рис. 2.1. Таким образом, при оценке δΓ0 достаточно рассматривать случай Nh0 > 0.Рис. 2.1. Диаграмма исчезающей функции hhhi1−непр с замкнутым цикломиз двух запаздывающих пропагаторов.Если все слагаемые, соответствующие возникающим контрчленам,уже присутствуют в действии модели, то она является мультипликативно ренормируемой.

Ренормированное действие SR (Φ) получается из исходного S(Φ) ренормировкой полей h → Zh h и h0 → Zh0 h0 и параметровмодели: SR (ZΦ Φ, e, µ) = S(Φ, e0 ). Здесь e0 – полный набор затравочныхпараметров и e – их ренормированные эквиваленты; µ – ренормировочная масса с dµ = 1, которая вводится как вспомогательный параметр длякорректного определения ренормированных функций Грина; многоточиеобозначает остальные аргументы (время, координаты, импульсы). Ренормированные функции Грина для модели с действием S(Φ) – это обычные функции Грина для модели с ренормированным действием SR (Φ):NΓn (e0 , . .

. ) = ZhNh Zh0 h0 ΓnR (e, µ, . . . ). Ренормировочные константы Zi зависят только от полностью безразмерных параметров и поглощают все полюса по ε (и ξ). Их можно найти из требования, чтобы функции ГринаΓR (e, µ, . . . ) были УФ конечны при выражении их через ренормированныепеременные e. В нашем случае это означает, что функции Грина УФ ко-39нечны при ε → 0 (и ξ → 0).Если использовать схему минимальных вычитаний (MS), ренормировочные константы принимают вид “Z = 1+полюса только по ε” (и ξ, ав высших порядках по их линейным комбинациям).

Тогда, строго говоря,в условиях рассматриваемого однопетлевого приближения нужно сделатьзамену d = d∗ − ε → d∗ . Однако, иногда d будет удерживаться в видеd = d∗ − ε: тогда можно будет получать некоторые точные результаты. Похожая ренормировочная схема, где размерность d удерживается в “геометрических множителях”, возникающих из сверток различных проекторов,ранее использовалась в [59]; ее справедливость и эквивалентность схемеMS была продемонстрирована в [106].2.4.РГ уравнения и РГ функцииКратко рассмотрим простой вывод РГ уравнений (детальное рассмот-рение можно найти в монографиях [1, 2]); для удобства читателя ограничимся важным частным случаем – когда в исходной задаче есть толькоодна константа взаимодействия g0 и один размерный параметр κ0 (для общего случая см. [2]). Пусть для них будет верно: κ0 = κZκ и g0 = gµε Zg .РГ уравнения пишутся для ренормированных функций Грина ΓnR =e µ обозначает дифференциальный оператор µ∂µ |g ,κ .hΦ · · · ΦiR .

Характеристики

Список файлов диссертации