Диссертация (1149198), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Раздел1.1.2), эта модель содержит нелинейный вклад и является анизотропной.Согласно данным измерений топографии ландшафтов [92–97], критическийпоказатель огрубления (жесткости) χ (см. Раздел 1.1.1) на малых масштабах относительно мал (0.30–0.55), а на больших – относительно велик(0.70–0.85), причем кроссовер от больших значений к малым происходитна расстояниях порядка 1 км [93,94]. Авторы [67,68] связали этот феноменс анизотропией. Действительно, на малых масштабах направление вдольсклона может оказаться выделенным для потока переносимого вещества иповлиять на скейлинг.Авторы [67,68] также выбрали симметрии (xk → −xk и h, f → −h, −f ),отличные от заданных в модели СОК Хуа-Кардара, и поэтому – другуюформу нелинейности.РГ анализ модели позволил получить однопетлевые приближения показателя огрубления χ, которые оказались в хорошем согласии с результатами измерений океанического дна [67,68]; однако измерения, проведенныев пустынном ландшафте, не позволили получить явно выраженный степенной закон.
Тем не менее, даже в этом случае удалось установить различиетопографии в разных направлениях. Именно это заключение авторы [67,68]25считают главным результатом своей работы.В модели из [67, 68] наклон склона считается фиксированным, т.е.модель применима только локально, на малых масштабах, где направлениепотока примерно постоянно. Так как эта анизотропия исчезает на большихмасштабах, изотропная модель (например, КПЗ: см. Раздел 1.1.1) можетоказаться более подходящей для крупных масштабов. Эту разницу можноиспользовать для того, чтобы отличать влияние эрозии на ландшафт отвлияния других, более крупномасштабных процессов.Стохастическое дифференциальное уравнение для высоты профиля,т.е.
для поля h(x) = h(t, x), предложенное в [67, 68], имеет вид∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h +λ0 2 3∂ h + f.3 k(1.6)Здесь νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) - гауссов случайный шумс нулевым средним и заданной парной корреляционной функцией (1.3).Авторы [67, 68] выполнили РГ анализ модели (1.6) в предположении,что верхняя критическая размерность – это d = 4. Но в действительностиверхняя критическая размерность – это d = 2 (см.
Раздел 6.1.2), поэтомурезультаты [67, 68] нуждаются в пересмотре. Что особенно важно, модель(1.6) не является ренормируемой и должна быть обобщена. В связи с этимв дальнейшем рассмотрении под моделью эрозии будет пониматься модифицированная модель:∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + ∂k2 V (h) + f.Здесь V (h) – ряд по степеням h(x).(1.7)261.2.Ансамбли поля скорости1.2.1.ВведениеВ настоящей работе изучается влияние случайного (турбулентного)движения среды (например, жидкости, содержащей растворенные частицы) на ИК поведение а) случайно растущей границы раздела фаз, приэтом обращается особое внимание на эффекты сжимаемости (см. Главу 3)б) системы с самоорганизованной критичностью (см.
Главу 4) в) случайноанизотропно растущей границы раздела фаз (см. Главу 5) г) ландшафта,разрушаемого эрозией (см. Главу 6).Перенос полем скорости v(x) ≡ {vi (x)} везде вводится “минимальной” заменой [98, 99]∂t h → ∇t h ≡ ∂t h + (vi ∂i )h,(1.8)где ∇t - галилеево ковариантная (Лагранжева) производная.В данной работе рассмотрение ограничивается гауссовыми ансамблями скорости с нулевым временем корреляции. Возможное влияние поляh(x) на динамику жидкости также предполагается пренебрежимым (т.е.рассматривается “пассивная” адвекция). Этого достаточно, чтобы получить качественное, а в некоторых случаях и количественное представлениео влиянии движения среды на критическое поведение рассматриваемыхмоделей неравновесного критического поведения, в том числе эффектованизотропии и сжимаемости.271.2.2.Ансамбль Казанцева-КрейчнанаПростая гауссова статистика поля скорости vi (t, x) с нулевым средними заданным парным коррелятором с нулевым временем корреляцииhvi (t, x)vj (t0 , x0 )i = δ(t − t0 ) Dij (x − x0 ),ZDij (r) = B0dk1{Pij (k) + αQij (k)} exp(ik · r)d d+ξk>m (2π) k(1.9)известна как ансамбль Казанцева–Крейчнана; см., например, [23].
ЗдесьPij (k) = δij − ki kj /k 2 и Qij (k) = ki kj /k 2 – поперечный и продольный проекторы соответственно, k ≡ |k| - волновое число, B0 > 0 - амплитудныймножитель и α > 0 - произвольный параметр. Случай α = 0 соответствует несжимаемой жидкости (∂i vi = 0), тогда как предел α → ∞ прификсированном значении αB0 соответствует чисто потенциальному полюскорости.
Показатель 0 < ξ < 2 – свободный параметр, который можно рассматривать как своего рода показатель Гёльдера, характеризующий“негладкость” поля скорости; его “Колмогоровское” значение – это ξ = 4/3,тогда как “Бэтчелоровский” предел ξ → 2 отвечает случаю “гладкого” поляскорости. Обрезание в интеграле (1.9) снизу при k = m, где m ≡ 1/L и L– внешний (интегральный) масштаб турбулентности, обеспечивает ИК регуляризацию.
Его точная форма не важна; резкое обрезание – простейшийвыбор из практических соображений.Этот ансамбль, хотя и кажется простым, привлек в конце 90-х годов огромное внимание в связи с существенным прогрессом в пониманииявлений перемежаемости и аномального скейлинга для турбулентного переноса и развитой турбулентности в целом; см. обзор [23] и литературу внем. РГ подход к этой задаче обсуждается в [100].
Ансамбль Казанцева-28Крейчнана особенно удобен тем, что позволяет просто моделировать сжимаемость, что довольно сложно делать, если описывать поле скорости уравнениями Навье-Стокса; см., например [101, 102]. Для сжимаемой жидкости (∂i vi 6= 0), ковариантную производную можно ввести другим способом [98, 99], а именно ∇t h ≡ ∂t h + ∂i (vi h), что обязательно, если под полем h подразумевается плотность некоторой сохраняющейся величины. Врассматриваемом случае, однако, ансамбль (1.9) используется для моделиКПЗ (см. Раздел 1.1.1), где величина h заведомо “не сохраняется” из-заналичия нелинейного члена в (1.2), и поэтому в дальнейшем будет рассматриваться только вариант (1.8), потому что он не нарушает симметриюh → h+const первоначальной модели КПЗ.1.2.3.Ансамбль Авельянеды-МайдаПод ансамблем Авельянеды-Майда [38, 39] будет пониматься его dмерное обобщение, которое, в свою очередь, является анизотропным обобщением ансамбля Казанцева-Крейчнана.Поле скорости вводится так же, как в Разделе 1.2.1, но при этом выбирается в виде:v = nv(t, x⊥ ),(1.10)где скалярный коэффициент v(t, x⊥ ) не зависит от xk .
При таком выбореавтоматически выполняется условие несжимаемости:∂i vi = ∂k v(t, x⊥ ) = 0.(1.11)Принимается, что v(t, x⊥ ) имеет гауссово распределение с нулевым средним29и парным коррелятором вида:Zdkhv(t, x⊥ )v(t0 , x0⊥ )i = δ(t − t0 )exp {ik · (x − x0 )} Dv (k) =(2π)dZdk⊥e v (k⊥ ), (1.12)= δ(t − t0 )exp {ik⊥ · (x⊥ − x0⊥ )} Dd−1(2π)где k⊥ = |k⊥ | и Dv - скалярный коэффициент:e v (k⊥ ),Dv (k) = 2πδ(kk ) De v (k⊥ ) = B0 k −d+1−ξ ,D⊥(1.13)B0 > 0 - амплитудный множитель; показатель 0 < ξ < 2 - свободныйпараметр, который характеризует “негладкость” поля скорости.302.
Стандартная квантовополевая ренормгруппа2.1.ВведениеСуществует глубокое внутреннее сходство между квантовыми полямии классическими случайными полями [103,104]. Это позволяет при анализепоследних использовать хорошо разработанный математический аппаратквантовой теории поля: функциональные методы (представление различных величин функциональными интегралами, точные соотношения типатождеств Уорда или уравнений типа Швингера-Дайсона), диаграммнуютеорию возмущений, теорию ренормировок, ренормгруппу и т.п.В данной главе будут кратко описаны необходимые для дальнейшего изложения сведения об аппарате квантовой теории поля с примерами,относящимися к изучаемым моделям и случаям.Стоит подчеркнуть, что обсуждается именно применение методов квантовой теории поля к стохастическим моделям классических полей, а некакие-либо физические квантовые эффекты.2.2.Квантовополевая переформулировкаРассмотрим переход от некоторой стохастической задачи∂t φ(x) = U (x; φ) + η(x)(2.1)к эквивалентной ей квантовополевой модели [105] (см.
также монографии [1, 2]). Здесь φ(x) – полный набор полей рассматриваемой задачи, x –31полный набор аргументов (включающий время t, пространственную координату x и индексы), U (x; φ) – заданный функционал, t-локальный и зависящий лишь от полей φ(x) и их производных в один момент времени, η(x)– случайная внешняя сила с нулевым средним, гауссовым распределениеми заданным коррелятором D:hη(x)η(x0 )i = D(x, x0 ).(2.2)Пусть коррелятор D содержит δ-функцию по времени.
Задача рассматривается на всей оси времени с граничными условиями: φ = 0 при t → −∞или при |x| → ∞ в плоскости t = const. Также вводится условие запаздывания. Предполагается, что в такой формулировке и при заданной ηсуществует единственное решение уравнения φ(x, η).При переходе от задачи (2.1) к теории поля корреляционные функции полей φ (с гауссовым весом exp [−ηD−1 η/2]) и функции отклика навнешнюю силу соотносятся с функциями Грина теории поля.Функционал U (φ) складывается, в общем случае, из неслучайной силы f , линейного по полям φ вклада Lφ (“свободной части”) и нелинейностейn(φ): U (φ) = Lφ + n(φ) + f .
Теория возмущения строится путем итерирования интегрального уравнения:φ = ∆12 [U (φ) = η + f + n(φ)],(2.3)где ∆12 = (∂t − L)−1 – запаздывающая функция Грина линейной операции ∂t − L. Обозначив поле φ (обобщение на систему полей тривиально) графически хвостиком, η – крестиком, а ∆12 – линией со штрихом,можно получить решение уравнения в виде бесконечной суммы графовдеревьев. Перемножение деревьев для всех множителей φ и усреднение их32по η дает все корреляционные функции, которые будут графически представляться диаграммами типа фейнмановских с линиями двух сортов: ∆12и ∆11 = ∆12 D∆T12 = hφφi0 .Эти диаграммы можно полностью отождествить с фейнмановскими,если считать ∆12 затравочным коррелятором и допустить существованиеполя φ0 с затравочным коррелятором hφ0 φ0 i0 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
