Диссертация (1149198), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В частности, так называемая структурнаяфункция порядка n ведет себя следующим образом [5, 24–27]:Sn (t, r) ≡ h[h(t, x) − h(0, 0)]n i ' rnχ Fn (r/t1/z ),r = |x|.(1.1)Здесь h(x) = h(t, x) – высота профиля раздела, скобки h. . . i обозначают18усреднение по статистическому ансамблю, χ и z, соответственно, показатель огрубления (жесткости) и динамический, а Fn (·) – определенная универсальная скейлинговая функция.Отсюда естественным образом вытекает описание универсальныхсвойств процессов роста на основе определенных упрощенных моделей длянепрерывного (“сглаженного” на некотором промежуточном масштабе) поля высоты по аналогии с теорией критического состояния. В качестве такоймодели роста обычно используется модель Кадара-Паризи-Занга (КПЗ)[40], описываемая нелинейным дифференциальным уравнением∂t h = κ0 ∂ 2 h + λ0 (∂h)2 /2 + f.(1.2)Здесь и далее (если не сказано иного) поле высоты h(x) = h(t, x) зависит отd-мерной координаты подложки x, ∂t = ∂/∂t, ∂i = ∂/∂xi , ∂ 2 = ∂i ∂i – оператор Лапласа, и (∂h)2 = ∂i h∂i h; суммирование по повторяющимся тензорным индексам везде подразумевается.
Первый член в правой части уравнения (1.2) описывает поверхностное натяжение с коэффициентом κ0 > 0.Второй член представляет рост вдоль локальной нормали к поверхности.Параметр λ0 может иметь любой знак; его можно убрать перемасштабированием, и в дальнейшем принимается λ0 = 1.Далее, f = f (x) – гауссов случайный шум с нулевым средним и заданной парной корреляционной функциейhf (x)f (x0 )i = D0 δ(t − t0 )δ (d) (x − x0 ),(1.3)с положительным амплитудным множителем D0 > 0.
Строго говоря, длятого, чтобы исключить линейный во времени рост среднего значения hhi,нужно ввести ненулевое среднее значение hf i. Поскольку нас интересуют19только величины типа (1.1), которые включают только разности полей,обоими средними значениями можно одновременно пренебречь.Исторически, модель (1.2)–(1.3) появилась впервые в основополагающей статье Форстера, Нельсона и Стефена [41] в терминах чисто продольного (потенциального) векторного поля ui = ∂i h. Тогда для λ0 = −1уравнение (1.2) представляет d-мерное обобщение уравнения Бюргерса. Еготакже можно отобразить на модель ориентированных полимеров в случайной среде и на модель многочастичной Бозе-системы с притяжением; см.,например, [42–44].Первые два члена в правой части (1.2) – всего лишь простейшие локальные члены, ковариантные по отношению к симметриям h → h+const иO(d).
Таким образом, модель КПЗ возникает естественным образом в описании многих неравновесных, неупорядоченных и диффузионных систем свнешним воздействием. Поэтому поле h можно трактовать по-разному. Кпримеру, в [45–48] модификации модели КПЗ использовались для изучениякрупномасштабного распределения вещества во Вселенной.Было предложено несколько обобщений первоначальной формулировки модели КПЗ: случайный шум с конечным временем корреляции[49, 50], векторное или матричное поле h [51–53], измененная форма нелинейности [54, 55] и анизотропная модификация [56–58] (см. Раздел 1.1.2).В связи с последней, стоит упомянуть непрерывные анизотропные моделидля систем с самоорганизованной критичностью [36, 37] (см. Раздел 1.1.4).Ренормгрупповой (РГ) анализ модели КПЗ, начатый в [40, 41], в конечном итоге привел к следующим заключениям [59,60].
В квантовополевойформулировке стохастическая задача (1.2)–(1.3) мультипликативно ренор-20мируема. Нелинейность (∂h)2 в (1.2) инфракрасно (ИК) несущественна (всмысле Вильсона) для d > 2, логарифмична (погранична) для d = 2 исущественна для d < 2. Таким образом, ее можно изучать с помощью стандартной пертурбативной РГ и разложения по ε ≡ 2 − d. СоответствующиеРГ уравнения обладают нетривиальной неподвижной точкой с критическими показателями χ = 0, z = 2 (точное соотношение χ+z = 2 продиктованогалилеевой симметрией).
Тем не менее, неподвижная точка для ε < 0 ИКотталкивающая, тогда как для ε > 0 она не лежит в физической областипараметров модели (D0 , κ0 > 0) и, таким образом, едва ли может описывать ИК асимптотическое поведение задачи. Все эти результаты являются“пертурбативно точными”, то есть точными во всех порядках разложенияпо ε.Тем не менее, можно предположить, что модель КПЗ содержит гипотетическую ИК притягивающую “сильно-взаимодействующую” неподвижную точку, не проявляющуюся в рамках какой-либо теории возмущений.Тогда, для d = 1, флуктуационно-диссипационная теорема вместе с галилеевой симметрией дает точные значения χ = 1/2, z = 3/2 [40, 41].
Сделавдополнительные (довольно нетривиальные) предположения, можно получить точные значения для критических показателей для случаев d = 2 иd = 3 [61]. Доказательство существования сильно-взаимодействующей точки, обеспечиваемое так называемой функциональной (также известной как“точная” или “непертурбативная”) РГ [62, 63], хотя и убедительно, количественно все еще не достаточно надежно, и саму ситуацию нельзя считатьудовлетворительной. Некоторые другие открытые вопросы обсуждаются,например, в [64, 65].211.1.2.Модель для системы с самоорганизованной критичностьюФеномен самоорганизованной критичности (СОК) заключается в возникновении скейлинга в открытых неравновесных системах с диссипативным переносом (диффузионных системах с внешним воздействием); см.[32–34] и литературу в них.
В отличие от равновесных систем они не имеютпараметра “тонкой настройки” (управляющих параметров, т.е. параметроввроде температуры в фазовых переходах второго рода) и достигают критичности за счет своей внутренней динамики [6].Системы с СОК считаются повсеместно распространенными в природе – СОК наблюдается как в биологических, так и в экологических и всоциальных системах [6, 66].Обычно СОК изучают на основе дискретных моделей с дискретнымвременем (как клеточные автоматы).
Непрерывная модель, предложеннаяв [35], наоборот, описывается стохастическим уравнением для “сглаженного” поля высоты h(x) = h(t, x) некоторого профиля (например, песчаного).Модификации этой модели были предложены в [36,37], а в связи с эрозиейландшафтов эта модель обсуждалась в [67, 68] (см. Раздел 1.1.4).Модель изначально является анизотропной и описывает, например,рост песчаного профиля, который имеет две открытые границы: через границу “сверху” в систему случайным образом падает песок, а через границу“сбоку” он из нее выпадает путем скатывания в виде лавин.Анизотропия (здесь и далее) вводится следующим образом: пусть константа n - единичный вектор, определяющий выбранное направление (на-22правление склона песчаного профиля).
Тогда любой вектор можно разложить на компоненты, ортогональные и параллельные к n. В частности, дляd-мерной горизонтальной координаты x имеем x = x⊥ + nxk , где x⊥ · n = 0.Производную в полном d-мерном x пространстве можно обозначить как∂ = ∂/∂xi , где i = 1 . . . d, и производную в подпространстве, ортогональном к n, как ∂⊥ = ∂/∂x⊥i , где i = 1 . . . d − 1. Тогда производная вдольпараллельного направления будет записываться как ∂k = n · ∂.Ряд выбранных симметрий (xk , h → −xk , −h и нарушение xk → −xk )и наличие законов сохранения (определяющих вид детерминистской частистохастического уравнения) диктуют вид стохастического дифференциального уравнения для поля высоты h(x) = h(t, x) [35]:∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h − ∂k h2 /2 + f,(1.4)где νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) – гауссов случайный шум снулевым средним и парной корреляцией (1.3).Для d > 4 устойчивая неподвижная точка соответствует режимуобыкновенной диффузии, а для d 6 4 возникает другая точка, для которойв [35] были точно вычислены критические показатели.1.1.3.Модель ВольфаВ работе Д.
Вольфа [58] была построена модель, призванная описатьрост вицинальных поверхностей (ступенчатых атомных структур [69, 70]),которая фактически оказалась анизотропным обобщением модели КПЗ(см. Раздел 1.1.1). В дальнейшем под моделью Вольфа будет иметься ввиду именно эта модель.23Стохастическое уравнение для нее выглядит следующим образом:11∂t h = νk0 ∂k2 h + ν⊥0 ∂⊥2 h + λk0 (∂k h)2 + λ⊥0 (∂⊥ h)2 + f,22(1.5)где νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) – гауссов случайный шум снулевым средним и парной корреляцией (1.3).Анизотропия понимается как в Разделе 1.1.2. Коэффициенты λk0 λ⊥0 ,как и в модели КПЗ, могут быть любых знаков. В [58] было показано, чтов случае d = 2 (d – пространственная размерность) и выполнения условия, что λ⊥0 6= 0, у модели (1.5) две нетривиальные неподвижные точки:точка изотропной модели КПЗ – для нее константы взаимодействия, соответствующие λk0 и λ⊥0 , равны – и точка, для которой эти константы равныпо модулю и различаются по знаку.Модель Вольфа изучалась в различных модификациях в [56, 57, 71–73].
Непертурбативный анализ в [73] обнаружил несколько новых неподвижных точек для случаев d = 2 и d 6 2. Две неподвижные точки изработы [58] были дополнены ИК притягивающей точкой изотропной КПЗ,которая сохранилась и в анизотропном случае, и гауссовой точкой. Дляслучая d 6 2 были найдены еще две точки, одна из которых – ИК притягивающая (для констант взаимодействия с противоположными знаками).1.1.4.Модель эрозии ландшафтовЭрозия ландшафтов, происходящая под влиянием воздушных и водных течений, и связанные с ней задачи, например, гранулярные потоки,активно исследовались на протяжении последних десятилетий; см.
[67, 68,74–91] и цитированную там литературу. Данная проблематика затрагива-24ет широкий диапазон различных физических явлений, в связи с чем существуют разные точки зрения на лежащие в основе динамические модели [67, 68, 78–90].Для эрозии поверхности с заданным средним наклоном полуфеноменологическая модель была предложена в [67,68]. В отличие от более раннихмоделей, описывающих эрозию уравнением диффузии с разными типамишумов [84–88], и по аналогии с моделью СОК Хуа-Кардара (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
