Автореферат (1149197), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Тогда для d-мерной горизонтальной координатыx имеем x = x⊥ + nxk , где x⊥ · n = 0. Производную в подпространстве,ортогональном к n, можно обозначить как ∂⊥ = ∂/∂x⊥i , где i = 1 . . . d − 1, апроизводную вдоль параллельного направления – как ∂k = n · ∂.Поле скорости выбирается в виде v = nv(t, x⊥ ). При таком выборезаведомо выполняется условие несжимаемости: ∂i vi = ∂k v(t, x⊥ ) = 0. Подансамблем Авельянеды-Майда [9] будет пониматься его d-мерное обобщение:поле v(t, x⊥ ) с гауссовым распределением, нулевым средним и парнымкоррелятором вида:Zdk000hv(t, x⊥ )v(t , x⊥ )i = δ(t − t )exp {ik · (x − x0 )} Dv (k),(7)d(2π)−d+1−ξгде k⊥ = |k⊥ | и Dv (k) = 2πδ(kk ) B0 k⊥, B0 > 0 – амплитудныймножитель; показатель 0 < ξ < 2 – свободный параметр, которыйхарактеризует “негладкость” поля скорости.12Стохастическое дифференциальное уравнение для поля высоты h(x)некоторого профиля (например, песчаного) имеет следующий вид [4]:∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h − ∂k h2 /2 + f,(8)где νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) – гауссов случайный шум (дляудобства записи D0 в (2) был заменен на 2D0 ).Модель логарифмична при ε = 4 − d = 0 и ξ = 0 и инвариантнаотносительно отражения h0 → −h0 , h → −h, v → −v, xk → −xk .Есть также две независимых реализации галилеевой симметрии: перваяотносится к исходному стохастическому уравнению (8) и не нарушаетсяпри включении поля скорости, а вторая появляется после включения.
Врезультате, модель мультипликативно ренормируема с одной единственнойнезависимой ренормировочной константой: в однопетлевом приближении онаимеет вид Zνk = 1 − ag/ε − bw/ξ. Здесь a, b – некоторые положительныечисловые коэффициенты; их точное значение не важно (их всегда можноубрать переопределением зарядов g и w).Неподвижных точек три:1. Гауссова (свободная) неподвижная точка: g∗ = w∗ = 0 (точно); Ωg = −ε,Ωw = −ξ.2. Неподвижная точка: g∗ = 0 (точно), ŵ∗ = ξ/b; Ωg = −ε + 3ξ/2 (точно),Ωw = ξ.3.
Неподвижная точка: w∗ = 0 (точно), g∗ = ε/a; Ωw = −ξ + 2ε/3 (точно),Ωg = ε.Для особого случая ξ = 2ε/3 равенство β-функций нулю накладываетединственное ограничение ag∗ + bw∗ = ξ, то есть возникает прямая линиянеподвижных точек в плоскости g–w. Вычисление собственных чиселматрицы Ω показывает, что одно из них равно нулю, а второе, равное3ag∗ /2 + bw∗ , положительно в области физических значений g∗ , w∗ > 0 вместес показателем ξ.Критические размерности вычисляются точно: ∆h = 1, ∆ω = 2, ∆k = 1для гауссовой точки 1; ∆h = 1 − ξ/2, ∆ω = 2, ∆k = 1 + ξ/2 для точки 2 ипрямой точек ag∗ + bw∗ = ξ; ∆h = 1 − ε/3, ∆ω = 2, ∆k = 1 + ε/3 для точки3. Для парной корреляционной функции основного поля это дает:∆k−2∆h∆ωhh(t, x) h(0, 0)i ' r⊥F t/r⊥ , rk /r⊥ ,(9)где r⊥ = |x⊥ |, rk = xk , и F (·) – некоторая скейлинговая функция.13Для неподвижной точки 3 полученные результаты согласуются (сточностью до переобозначения) с представленными в [4].Пятая глава посвящена РГ анализу модели Вольфа [7] случайногоанизотропного роста границы раздела фаз под влиянием поля скорости,моделируемого ансамблем Авельянеды-Майда [9].
Стохастическое уравнениедля этой модели выглядит следующим образом:11∂t h = νk0 ∂k2 h + ν⊥0 ∂⊥2 h + λk0 (∂k h)2 + λ⊥0 (∂⊥ h)2 + f,22(10)где νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) – гауссов случайный шум (2).Сначала проводится РГ анализ модели Вольфа без турбулентногоперемешивания и находятся координаты девяти неподвижных точек РГуравнений.Среди них есть две ИК устойчивые, что согласуется срезультатами [7] для двумерия.Затем проводится РГ анализ при учете перемешивания. Оказывается, чтонеподвижные точки модели без перемешивания становятся неустойчивыми.В двумерии среди семи новых неподвижных точек других ИКпритягивающих не возникает. Таким образом, показывается, что, покрайней мере, в рамках главного приближения и пертурбативного подходаскейлинговое поведение невозможно.Шестая глава посвящена модификации и РГ анализу моделиэрозии ландшафтов [8] при учете влияния турбулентного перемешивания,моделируемого ансамблем Авельянеды-Майда [9].
Стохастическое уравнениедля поля высоты h(x) выглядит следующим образом:∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h +λ0 2 3∂ h + f.3 k(11)Здесь νk0 и ν⊥0 – коэффициенты вязкости, а f (x) - гауссов случайный шум(2).Однако, в таком виде модель (11) не является ренормируемой и должнабыть обобщена. В связи с этим в дальнейшем рассмотрении под модельюэрозии будет пониматься модифицированная модель:∂t h = ν⊥0 ∂⊥2 h + νk0 ∂k2 h + ∂k2 V (h) + f.(12)Здесь V (h) – ряд по степеням h(x).РГ анализ модифицированной модели (12) показывает, что онамультипликативно ренормируема с бесконечным числом ренормировочныхконстант.
Несмотря на это, однопетлевое выражение для контрчлена14можно получить в явном виде, выразив его формально через функциюV (h); действительно, для расходящейся части однопетлевого вклада впроизводящий функционал ΓR (Φ) 1-неприводимой функции Грина верно:ZSd µ−εV 00 (h(x))Γ1 (Φ) ∼dx p∂ 2 h0 (x)(13)d02(2π) εν⊥ (νk + V (h(x)))(V 0 (h) – формальная производная по h, а Sd = 2π d /Γ(d/2)). Если теперьразложить подынтегральную часть (13) в ряд Тейлора, то можно получитьоднопетлевые выражения для ренормировочных констант и β-функций.Это позволяет установить, что в бесконечномерном пространстве константвзаимодействия g ≡ {gn } РГ уравнения имеют двумерную поверхностьнеподвижных точек, параметризованную значениями g2∗ и g3∗ .
При этом2в области g3∗ ≥ 7g2∗/8 + ε/6 (здесь ε = 2 − d) выполняется необходимоеусловие на ИК устойчивость точек. Если поверхность неподвижных точек g∗действительно содержит области ИК устойчивости, то модель проявляет ИКскейлинг с некоторыми неуниверсальными (т.е. зависящими от параметров2)/4, ∆h =g2∗ и g3∗ ) критическими размерностями: ∆k = 1 + a(2g3∗ − g2∗2)/8. Эти критические размерности подчиняются точному иa(2g3∗ − g2∗универсальному соотношению: 2∆h = d − 1 + ∆k − ∆ω .В случае включения в задачу турбулентного перемешивания такжеможно получить однопетлевой контрчлен в явном виде. Вместо однойповерхности неподвижных точек возникают две двумерные поверхности,вероятно, содержащие области ИК устойчивости.
При их наличии модельпроявляет скейлинг с неуниверсальными критическими размерностями,подчиняющимися точному и универсальному соотношению: 2∆h = d − 1 +∆k − ∆ω , которое можно проверять экспериментально.В Заключении перечисляются основные результаты.БлагодарностиАвтор выражает признательность Николаю Викторовичу Антонову занаучное руководство, Владимиру Дмитриевичу Ляховскому за научноеруководство во время обучения автора в магистратуре, а также АнтонаАндреевича Назарова за неоценимую помощь при написании магистерскогодиплома.Автор выражает благодарность Михалу Гнатичу и сотрудникам кафедрыФизики высоких энергий и элементарных частиц Санкт–Петербургского15Государственного Университета, а также друзьям, членам семьи и всем тем,кто помогал и поддерживал.Цитируемая литература[1] Kardar M., Parisi G., and Zhang Y.-C., Phys.
Rev. Lett. 56: 889 (1986).[2] Vasiliev A. N., The Field Theoretic Renormalization Group in Critical Behavior Theory and Stochastic Dynamics Chapman & Hall/CRC (2004).[3] Kardar M., Parisi G., and Zhang Y.-C., Phys. Rev. Lett. 56: 889 (1986).[4] Hwa T. and Kardar M., Phys. Rev. Lett. 62: 1813 (1989).[5] Ivanov D. Yu., Critical Behaviour of Non-Ideal Systems Weinheim, Germany,Wiley-VCH (2008).[6] Falkovich G., Gawȩdzki K. and Vergassola M., Rev. Mod.
Phys. 73: 913(2001).[7] Wolf D. E. Phys. Rev. Lett. 67: 1783 (1991).[8] Pastor-Satorras R. and Rothman D. H., Phys. Rev. Lett. 80: 4349 (1998).[9] Avellaneda M. and Majda A., Commun. Math. Phys. 131: 381 (1990).Список публикаций по теме диссертации изперечня ВАК[10] Antonov N.V., Kakin P.I., J. Phys. A: Math.
Theor. 50: 085002 (2017).[11] Антонов Н.В., Какинь П.И., ТМФ 190(2): 226–238 (2017).[12] Антонов Н.В., Какинь П.И., ТМФ 185(1): 37-56 (2015).[13] Antonov N.V., Kakin P.I., EPJ Web of Conferences 108(02009): 1–6(2016).[14] Антонов Н.В., Какинь П.И., Вестник Санкт-ПетербургскогоУниверситета. Серия 4: Физика, Химия 3(61)4: 348-361 (2016).16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
