Автореферат (1149197), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Соответствующие критические показатели оказываются6неуниверсальными, так как они зависят от координат неподвижнойточки на поверхности.Однако, они удовлетворяют некоторомуточному универсальному соотношению.5. Исследована модифицированная модель эрозии ландшафтов стурбулентным перемешиванием, описываемым ансамблем АвельянедыМайда. В явном виде получен однопетлевой контрчлен и найдены дведвумерные поверхности неподвижных точек (соответствующие случаямотсутствия и присутствия перемешивания), вероятно, содержащиеобласти инфракрасной устойчивости.При их наличии модельпроявляет скейлинг с неуниверсальными критическими показателями,подчиняющимися точному и универсальному соотношению.Научная новизна1.
Впервые проводится ренормгрупповой анализ модели КардараПаризи-Занга и ее анизотропного аналога (модели Вольфа) приучете турбулентного движения среды, описываемого ансамблямиКазанцева-Крейчнана и Авельянеды-Майда соответственно. Модельсамоогранизованной критичности Хуа-Кардара также изучается придобавлении ансамбля Авельянеды-Майда.2. Устанавливается прежде неизвестный факт – что модель эрозииландшафта Пастора-Саторраса–Ротмана не ренормируема.
Эта модельмодифицируется; проводится ее ренормгрупповой анализ, а также ееанализ при включении поля скорости. При этом оказывается, чтотакая модель обладает бесконечным числом констант связи – проблема,которую удается преодолеть.Научная и практическая значимостьРезультаты, полученные в диссертации, могут быть использованы дляописания систем с кинетическим огрублением (рост фронта пожара ибактериального кластера, выпадение осадка в бинарных смесях и т.д.),с самоорганизованной критичностью, а также других диффузионныхсистем с внешним воздействием (driven-diffusive systems).Результатымогут послужить стимулом для проведения новых экспериментов поизмерению критических показателей в различных системах со скейлингом.7Разработанные методы могут применяться в других аналогичных задачахнеравновесного поведения под влиянием турбулентного перемешивания.АпробацияОсновные результатыконференциях и школах:работыдокладывалисьнаследующих1.
Международная конференция «Mathematical Modeling and Computational Physics» (Стара Лесна, Словакия, 2015 г.).http://web.tuke.sk/mmcp/mmcp2015/2. 53 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия,2015 г.).http://www.ccsem.infn.it/issp2015/3. Международная конференция «Мodels in quantum field theory» MQFT2015, посвященная 75-летию со дня рождения А.Н. Васильева (CанктПетербург, Россия, 2015 г.).http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/list_e.htm4.
Международная конференция «Science and Progress» 2015 (СанктПетербург, Россия, 2015 г.).http://www.phys.spbu.ru/grisc/science-and-progress/archive.html5. L Зимняя школа Петербургского института ядерной физики (Рощино,Россия 2016 г.).http://hepd.pnpi.spb.ru/WinterSchool/archive/2016/index.shtml6. 54 Международная школа по субатомной физике (Эриче, Италия, 2016г.).http://www.ccsem.infn.it/issp2016/7. Международная конференция «9th International Seminar on High EnergyPhysics» Quarks 2016, (Пушкин, Россия, 2016 г.).http://quarks.inr.ac.ru/8.
Международная конференция «The 8th European Postgraduate FluidDynamics Conference» EPFDC8 2016, (Варшава, Польша, 2016 г.).https://epfdc2016.fuw.edu.pl/programme8ПубликацииОсновные результаты по теме диссертации опубликованы в5 рецензируемых научных изданиях, рекомендованных ВАК дляопубликования научных результатов диссертаций [10–14]; 4 из нихопубликованы в изданиях, индексируемых базами данных «Web of Science», «SCOPUS» и РИНЦ [10–13].Личный вклад автораВсе представленные в диссертации результаты получены соискателемлично либо при ее прямом участии в неразделимом соавторстве.Объем и структураДиссертация состоит из введения, шести глав, заключения и спискалитературы из 112 наименований. Работа изложена на 129 страницах исодержит 9 рисунков и 6 таблиц.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы,сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований,описаны методология и методы исследования, степень разработанноститемы исследования, а также показана практическая значимость полученныхрезультатов и представлены выносимые на защиту научные положения.Первая глава посвящена описанию и истории изучаемых моделейи ансамблей скоростей: модели случайного роста границы разделафаз Кардара-Паризи-Занга (КПЗ) [3], непрерывной анизотропной моделисистемы с самоорганизованной критичностью (СОК) Хуа-Кардара [4],модели случайного анизотропного роста границы раздела фаз Вольфа [7],модели эрозии ландшафтов Пастора-Саторраса–Ротмана [8], ансамблю поляскорости Казанцева-Крейчнана [6] и анизотропному ансамблю поля скоростиАвельянеды-Майда [9].Втораяглава описывает методы и приемы стандартнойквантовополевой ренормгруппы с примерами, относящимися к изучаемыммоделям и случаям.
В ней показано [2], как можно переформулироватьстохастическую задачу в квантовополевых терминах, как проводится анализ9канонических размерностей и процедура перенормировки и как вычисляютсякритические размерности, характеризующие режим асимптотическогоповедения.Третья глава посвящена ренормгрупповому (РГ) анализу модели КПЗ[3] при включении поля скорости, описываемого ансамблем КазанцеваКрейчнана [6].
Модель КПЗ – стохастическое дифференциальное уравнение –описывает “огрубление” поверхности границы раздела фаз в процессах роста:∂t h = κ0 ∂ 2 h + λ0 (∂h)2 /2 + f.(1)Здесь и далее принимаются следующие обозначения: поле высоты h(x) =h(t, x) зависит от d-мерной координаты подложки x, ∂t = ∂/∂t, ∂i =∂/∂xi , ∂ 2 = ∂i ∂i – оператор Лапласа, и (∂h)2 = ∂i h∂i h (подразумеваетсясуммирование по повторяющимся тензорным индексам); f = f (x) – гауссовслучайный шум с нулевым средним и заданной парной корреляционнойфункциейhf (x)f (x0 )i = D0 δ(t − t0 )δ (d) (x − x0 ),(2)с положительным амплитудным множителем D0 > 0.В дальнейшем принимается, что параметр λ0 = 1.Перенос полем скорости v(x) ≡ {vi (x)} здесь и всюду далее вводится“минимальной” заменой ∂t h → ∇t h ≡ ∂t h + (vi ∂i )h, где ∇t - галилеевоковариантная (Лагранжева) производная.Ансамбль Казанцева–Крейчнана – это простая гауссова статистика поляскорости vi (t, x) с нулевым средним и заданным парным коррелятором снулевым временем корреляцииhvi (t, x)vj (t0 , x0 )i = δ(t − t0 ) Dij (x − x0 ),1dk{Pij (k) + αQij (k)} exp(ik · r)d k d+ξ(2π)k>mZDij (r) = B0(3)Здесь Pij (k) = δij − ki kj /k 2 и Qij (k) = ki kj /k 2 – поперечный и продольныйпроекторы соответственно, k ≡ |k| - волновое число, B0 > 0 - амплитудныймножитель и α > 0 - произвольный параметр.
Случай α = 0 соответствуетнесжимаемой жидкости (∂i vi = 0), тогда как предел α → ∞ прификсированном значении αB0 соответствует чисто потенциальному полюскорости. Показатель 0 < ξ < 2 – свободный параметр, который можнорассматривать как своего рода показатель Гёльдера, характеризующий“негладкость” поля скорости. Обрезание в интеграле (3) снизу при k = m,10где m ≡ 1/L и L – внешний (интегральный) масштаб турбулентности,обеспечивает инфракрасную (ИК) регуляризацию.Задача эквивалентна квантовополевой модели трех полей Φ = {h, h0 , v} сфункционалом действия1 01S(Φ) = h D0 h0 + h0 −∇t h + κ0 ∂ 2 h + (∂h)2 + Sv .(4)22Последний член отвечает гауссову усреднению по полю v с коррелятором (3).Роль констант взаимодействия в обыкновенной теории возмущенийиграют два параметра: g0 = D0 / κ03 ∼ Λε , w0 = B0 / κ0 ∼ Λξ (где Λ –характерный УФ импульсный масштаб).Из анализа канонических размерностей следует, что модельлогарифмична при d = 2 и ξ = 0, когда константы взаимодействия g0и w0 одновременно становятся безразмерными.
Поэтому ультрафиолетовые(УФ) расходимости в функциях Грина предстают в виде полюсов по ε = 2−dи ξ. Анализ этих расходимостей показывает, что теория мультипликативноренормируема с ренормированным действием:1100022(5)SR (Φ) = Z1 h Dh + h −∇t h + κZ2 ∂ h + Z3 (∂h) + Sv ,22где g, w и κ – ренормированные аналоги затравочных параметров, аZi – ренормировочные константы, которые вычисляются в однопетлевомприближении (используется схема минимальных вычитаний).Асимптотическое поведение определяется неподвижными точками РГe µ g,уравнений – нулями β-функций (β-функция заряда g задается как β ≡ De µ – производная µ∂µ по ренормировочной массе µ при постоянныхгде Dзатравочных параметрах).
Собственные числа матрицы Ω = {Ωij =∂βi /∂gj } определяют характер неподвижной точки: если их действительныечасти положительны, то точка ИК притягивающая (и описывает режимкритического поведения). В рассматриваемой задаче четыре неподвижныхточки, а собственные числа даются диагональными элементами Ωg = ∂βg /∂gи Ωw = ∂βw /∂w.Неподвижные точки следующие:1. Гауссова (свободная) неподвижная точка (все выражения точные): g∗ =w∗ = 0; Ωg = −ε, Ωw = −ξ.2. Неподвижная точка чистой КПЗ модели: w∗ = 0 (точный результат вовсех порядках), ĝ∗ = −8ε; Ωg = ε, Ωw = −ξ.113. Неподвижная точка чистой модели Крейчнана с мелкомасштабнымперемешиванием: g∗ = 0 (точно), ŵ∗ = 2d ξ/(d − 1 + α); Ωg = −ε + ξ −dα ξ/(d − 1 + α), Ωw = ξ (точно).4.
Неподвижная точка, соответствующая новому ИК скейлинговому режиму(классу универсальности): ĝ∗ = 8(−ε + ξ − dα ξ/(d − 1 + α)), ŵ∗ = 2dξ/(d −1 + α); Ωg = ε − ξ + dα ξ/(d − 1 + α), Ωw = ξ (точно).Для малых α и наиболее реалистичных значений d = 1 или 2 и ξ = 4/3или 2, ИК асимптотическое поведение управляется точкой 3. Однако, по меретого, как степень сжимаемости α возрастает, область устойчивости точки 4становится шире и, наконец, поглощает реалистичные значения ε и ξ.Стоит отметить, что когда точка 4 ИК притягивающая, координата g∗лежит в нефизической области g∗ < 0.Для n-ого порядка структурной функции верно:Sn (t, r) ≡ h[h(t, x) − h(0, 0)]n i ' rnχ Fn (r/t1/z ),r = |x|(6)(Fn (·) – скейлинговая функция).
Проведя ренормировку Sn (т.н. составногооператора), получаем для критических показателей: ∆h = −χ и ∆ω = z, где∆h = 0, ∆ω = 2 для неподвижных точек 1 и 2 и ∆h = 0, ∆ω = 2 − ξ длянеподвижных точек 3 и 4. Для точек 1–3 эти выражения точные.Четвертая глава посвящена РГ анализу модели Хуа-Кардара [4]системы с СОК под воздействием ансамбля Авельянеды-Майда [9].Анизотропия здесь и далее вводится следующим образом: пусть константаn - единичный вектор, определяющий выбранное направление (направлениесклона песчаного профиля).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
