Диссертация (1149180), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Основные уравнения и условия во фронте ударнойволныРассматриваются одномерные стационарные течения пятикомпонентного воздуха за прямой ударной волной в трехтемпературном приближении.Система уравнений (1.29) – (1.37) в этом случае упрощается, уравнения сохранения интегрируются в квадратурах. В результате уравнения для макропараметров течения nN2 (x) , nO2 (x) , nN O (x) , nN (x) , nO (x) , T (x) , v(x) ,53T1N2 (x) и T1O2 (x) приводятся к виду:d(nN2 v)2↔22↔3= RN+ RN,22dxd(nO2 v)2↔22↔3= RO+ RO,22dxd(nN O v)2↔22↔22↔3= −RN− RO+ RNO,22dxd(nN v)2↔22↔22↔32↔3= −RN+ RO− 2RN+ RNO,222dxd(nO v)2↔22↔22↔32↔3= RN− RO− 2RO+ RNO,222dxd(ρN2 WN2 v)W= RN,2dxd(ρO2 WO2 v)W= RO,2dx2ρv 2 + p = ρ(0) v (0) + p(0) ,(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.8)2v2v (0)(0)h+=h +,22(3.9)где согласно (1.23):Wc (T, T1c) =1 Xinci (T, T1c) ,ρc ic = N2, O2 .(3.10)В расчетах заселенности колебательных уровней nci молекул описываютсяраспределениями Тринора (1.21) и составным (1.88), равновесным больцмановским распределением (1.25) и неравновесным распределением Больцмана(1.23), через x обозначено расстояние от фронта ударной волны, индекс (0)обозначает параметры перед ударным фронтом, h – энтальпия единицы массы:7111511h = RT (++) + RT (+)+2µN2 µO2 µN O2µN µOO1 XεNεN OεNεO1 XO202nN 2 i ε N+nε++++,+O2 i iiρN2 iρO2 imN O mN O mN mOгде µc – молярная масса, R – универсальная газовая постоянная.2↔22↔22↔32↔32↔3WWРелаксационные члены RN, RO, RN, RO, RNO , RN2 , RO2 в2222уравнениях (3.1) – (3.7) описываются выражениями (1.73 – (1.77), (1.54) (см.главу 1).54В п.
3.2.1, 3.2.2 рассматривается задача об определении параметровза фронтом ударной волны, возникающей в равновесном набегающем потоке. Заселенности колебательных уровней молекул набегающего потока описываются больцмановскими распределениями с температурой газа. В соответствии с данными о временах релаксации разных процессов в воздухе[27, 38, 29] считается, что внутри фронта ударной волны происходит быстрая релаксация поступательных, вращательных степеней свободы, а такжеV V1N2 ,N2 , V V1O2 ,O2 обмены колебательными квантами, приводящие к установлению распределений Тринора непосредственно за фронтом ударной волны.Более медленные процессы V V2c,d , V T релаксации и химические реакциивнутри ударного фронта предполагаются замороженными. Значения макропараметров непосредственно за ударным фронтом находятся из условий сохранения массы, импульса, энергии и общего числа колебательных квантовмолекул азота и молекул кислорода с учетом постоянного состава смеси:ρ(1) v (1) = ρ(0) v (0) ,(3.11)2(3.12)2ρ(1) v (1) + p(1) = ρ(0) v (0) + p(0) ,7RT (1)2+11+µN2 µO21 X(1)ρO2+1 X(1)ρN2N2 (1)(1)2εN, T1i nN2 i (Ti2O (1)(1)2εO, T1 2 )i nO2 i (Ti+1 X(0)ρN2)+v (1)7+= RT (0)22(0)2εN)i nN2 i (Ti+1 X(0)ρO211+µN2 µO2iN2 (1)) = nN2 v (0) WN2 (T (0), T1(1)O2 (1)) = nO2 v (0) WO2 (T (0) , T1nO2 v (1) WO2 (T (1) , T1+2(0)2εO)i nO2 i (T(1)nN2 v (1) WN2 (T (1), T1(0)N2 (0)(0)O2 (1)v (0)+, (3.13)2),(3.14)).(3.15)Индекс (1) обозначает значения параметров непосредственно за фронтомударной волны.
С учетом уравнений (3.11), (3.10) уравнения (3.14), (3.15)можно записать в виде:!X1εci − iεc1iεc1i exp −−=c(1)c(1)kT (1)Zvibr,c(T (1) , T1 ) ikT1X1εci=i exp − (0) , c = N2, O2 . (3.16)Zvibr,c (T (0) ) ikT55Если ангармоничностью колебаний пренебречь, то вместо уравнений(3.6), (3.7) имеем:d(ρN2 Evibr,N2 v)vibr= RN,(3.17)2dxd(ρO2 Evibr,O2 v)vibr= RO,(3.18)2dxvibrvibrгде RN, ROвычисляются согласно формуле (1.71).22В однотемпературном приближении T1N2 = T1O2 = T ; макропараметрами потока являются функции nc (x) ( c = N2 , O2 , N O , N , O ), T (x) , v(x) .Замкнутая система уравнений для макропараметров содержит уравнения (3.1) – (3.5), (3.8), (3.9). Заселенности колебательных уровней молекулописываются равновесным распределением Больцмана с температурой газаT (x) .
Коэффициенты скорости химических реакций и колебательные энергиимолекул N2 , O2 зависят только от температуры газа. Уравнения, связывающие значения параметров до и непосредственно после фронта ударной волны,содержат уравнения (3.11) – (3.13) и уравнение сохранения полной энергии ввиде:2111 X N21 X O2v (1)(1)(1)++ (1)εi nN2 i(T ) + (1)εi nO2 i (T ) +=µN2 µO22ρN2 iρO2 i271 X O2v (0)111 X N2(0)(0)(0)= RT+ (0)εi nN2 i (T )+ (0)εi nO2 i (T )++.2µN2 µO22ρρii7RT (1)2N2O2(3.19)В однотемпературном приближении предполагается, что внутри фронта устанавливается равновесие по поступательным, вращательным и колебательным степеням свободы. Значения чисел Маха сразу за ударной волной и отношения значений макропараметров до и сразу после фронта волнысвязаны известными соотношениями, следующими из уравнений Гюгонио и56записанными в [1] в виде:M (1)γ − 1 (0)2 1/2M1+2= ,γ−1 2γM0 −2p(1)p(0)=2γγ−12M (0) −,γ+1γ+1ρ(0)ρ(1)=γ−121+,γ + 1 γ + 1 M (0)2(3.20)T (1)p(1) ρ(0)= (0) (1) ,T (0)p ρгде M (0) , M (1) – значения числа Маха в набегающем потоке и за фронтомволны, γ = 9/7 – показатель адиабаты в однотемпературном термическиравновесном газе.3.2.
Результаты расчетов макропараметров потокавоздуха в релаксационной зоне за ударной волнойВ данном разделе представлены результаты численного решения системы уравнений (3.1) – (3.9). Задача решалась при условиях в набегающем потоке, соответствующих высоте 48 км: T (0) = 271 К, p(0) = 100 Па, при числах(0)(0)Маха M (0) = 16, 13, 10 и химическом составе nN2 = 0.79n(0) , nO2 = 0.21n(0)( n(0) – общая числовая плотность смеси в набегающем потоке). В п.
3.2.1 показано влияние величины M на макропараметры потока в релаксационнойзоне за фронтом ударной волны, приводится сравнение результатов, полученных в трехтемпературном и однотемпературном приближениях с учетоми без учета ангармоничности колебаний молекул.В п. 3.2.2 приведено сравнение значений макропараметров, полученныхпри использовании пяти моделей обменных химических реакций и четырехмоделей V T переходов и V V2c,d обменов колебательной энергией, описанныхв главе 2. Коэффициенты скорости колебательных энергообменов вычислялись при использовании обобщенной для ангармонических осцилляторов мо-57дели Шварца, Славского, Герцфельда [65], модели нагруженного гармонического осциллятора Адамовича и соавторов [30], формул, предложенных Капителли [31, 40] при апроксимации точных траекторных расчетов Биллинга.Также в расчетах использовалась классическая формула Ландау-Теллера длярасчета релаксационных членов (см.
формулу (2.14)) [18] (см. также [27, 29]).Двухтемпературные коэффициенты скорости обменных химических реакций (1.4), (1.5) вычислялись на основе моделей, приведенных в [25, 26, 21,61, 69], а коэффициенты скорости реакций диссоциации (1.1), (1.2) – при использовании модели Тринора-Маррона (также см.
п. 2.2.1, 2.2.2).В п. 3.2.1, 3.2.2 приведены результаты, полученные при равновесныхN (0)O (0)условиях в набегающем потоке T1 2 = T1 2 = T (0) , в п. 3.2.3 учитывается влияние неравновесных распределений молекул N2 и O2 перед ударнымфронтом.Система решалась при помощи математического пакета Matlab, в рамках этого пакета использовалась встроенная функция для решения жесткойсистемы дифференциальных уравнений ode15s, которая основана на методечисленного дифференцирования назад, известного как метод Гира.Жесткая система дифференциальных уравнений на интервале t0 < t <tM :dy1 (t)= f1 (t, y1(t), ..., yn(t)),dt...dyn (t)= fn (t, y1(t), ..., yn(t)),dtрешалась при начальных условиях:(3.21)y1 (t0) = y10 , ..., yn(t0 ) = yn0.Неявные многошаговые методы Гира имеют следующее передставление:qXi=0Ai ym+1−i~= hf~(tm+1, ~ym+1), m = q − 1, q, .., M − 1,(3.22)где Ai – коэффициенты, которые получаются из системы уравнений:A0 = −qXi=1Ai ,qXi=1i · Ai = −1,qXi=1il · Ai = 0,(3.23)58где l = 2, ..., q .Первые несколько членов y~1 , y~2 и т.д.
вычисляются на основе неявногометода Рунге–Кутты. Неявные одношаговые выражения Рунге–Кутты имеютвид:qX~ym+1 = ~ym +Aik~i ; m = 0, 1, ..., M − 1,(3.24)i=1k~i = hf~(tm + αi h, y~m +qXβij k~ij ), i = 1, ..., q,i=1где αi , βij – коэффициенты, которые находятся систем алгебраических уравнений, значение q определяет вид формулы (3.24), при q = 3 получаетсяформула Рунге–Кутты четвертого порядка, содержащая три члена k .Для решения на каждом шаге h = tm+1 − tm систем нелинейных уравнений для k~i и ym+1~ в методе Рунге–Кутты и методе Гира соответственноиспользуется итерационный метод Ньютона.3.2.1. Влияния колебательных распределений на макропараметрыпотока в релаксационной зонеСначала рассмотрим сравнения параметров потока, полученных наоснове двухтемпературного распределения Тринора и равновесного однотемпературного распределения Больцмана ангармонических осцилляторов.Графики температуры T , скорости v и числовых плотностей nc /n ( c =N2, O2 , N O, N, O ) в зависимости от расстояния от фронта ударной волны xпри числах Маха M = 16, 13, 10 представлены на рисунках 3.1 – 3.4.На рисунках 3.1a,b показано изменение температуры T и скорости потока в релаксационной зоне за ударной волной в трехтемпературном и однотемпературном приближениях.
Видно, что использование однотемпературного приближения приводит к недооценке температуры и скорости в релаксационной зоне, что проявляется более заметно при больших числах Маха.Это связано с тем, что при однотемпературном описании колебательная релаксация является быстрым процессом, и переход поступательной энергиив колебательную происходит уже внутри ударного фронта. Разница междузначениями температуры, найденными в трехтемпературном и однотемпературном приближениях, достигает 19.9% при M = 16 .
С удалением от ударнойволны скорость v падает, при этом при больших M в набегающем потоке59ab90012000800M=168000v [m/s]T [K]10000M=13M=16700M=13600M=10600040000M=105000.20.40.6x [cm]0.8400010.20.40.6x [cm]0.81Рис. 3.1. Зависимость температуры воздуха T (a) и скорости v (b) от x . При использовании распределения Тринора ( − ), однотемпературная модель ( − · − ).ab100008000M=168000TO2 [K]11TN2 [K]M=13600060004000200020000.24000M=10M=1000M=16M=130.40.6x [cm]0.80010.20.40.6x [cm]0.81Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
