Автореферат (1149176), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В случае равномерного расположения роликов и приN = n получены явные приближенные формулы для частот колебаний.Для n = 2n1 + 1, n1 = 1, 2, . . . эти формулы имеют видpΩ2 (dp − dk )2 + (cp + ck )[e2p + e2k + Ω2 (ep + ek )] ∓ Ω(dp − dk )(k)ω1,2 =,(cp + ck )ren (en + Ω2 )11, ck = 1 + 2 , dk = k − , ek = k2 − 1.ωn =cnkkk = 1, 2, . . . , n1 , p = n − k.(2)6где Ω — безразмерная угловая скорость вращения оболочки.При n = 2n1 частоты определяются по формулам (2), если k < n1 .В случае k = n1 вместо двух частот имеется одна частотаpω (n1 ) = en1 (en1 + Ω2 )/cn1 .(3)При уменьшении угловой скорости вращения оболочки Ω частоты(k)(k)ω1 и ω2 сближаются.
Если Ω = 0, то вместо этих двух частот появляется одна кратная частота. Превращение кратной частоты неподвижной(k)(k)оболочки ω (k) в частоты ω1 и ω2 вращающейся оболочки называютрасщеплением частот.(k)(k)Нетривиальные решения, соответствующие частотам ω1 , ω2 , ωn(n1)иω, имеют вид(k)(k)w1 = Aeiωτ (e−ikϕ − eipϕ ), w2 = Aeiωτ (eikϕ − e−ipϕ ),wn = Aeiωτ sin nϕ, wn1 = Aeiωτ sin n1 ϕ,где A — произвольная постоянная.В Таблице 1 представлены значения низших безразмерных частотколебаний для различного числа роликов n и двух значений безразмерной угловой скорости вращения оболочки Ω. Сравнение аналитическихТаблица 1: Низшие частотыn Ωметоданалитический30численныйаналитический31числ.аналитический60численныйаналитический61численныйколебаний для различногоω1ω2ω3ω41.66 1.66 7.591.64 1.64 7.591.52 2.44 8.051.50 2.36 7.947.59 10.1 10.1 13.87.59 9.94 9.94 12.88.05 9.13 11.1 12.38.03 9.47 11.2 11.9числа роликов.ω5ω613.812.815.414.134.534.535.034.9результатов с численными, полученными методом прогонки, показывает,что относительная погрешность, возникающая при вычислении частот поприближенным формулам (2) и (3), не превосходит 10%.Жирным шрифтом выделены частоты, значения которых совпадают с найденными численно.
Для них аналитическое решение являетсяточным, а формы колебаний пропорциональны функции sin nϕ.Во второй части первой главы рассмотрены колебания цилиндрической оболочки конечной длины с шарнирно опертыми краями. Оболочкаподкреплена по образующим ϕ = ϕj n абсолютно жесткими цилиндрическими роликами.7Как и в случае бесконечной оболочки, перемещения ищутся в видеотрезков ряда Фурье, но на этот раз решения зависят еще и от продольной переменной x.
В частности,w=NX(ak (t) cos kϕ + bk (t) sin kϕ) sin(πnx/l),(4)k=1где l — длина оболочки.Для описания колебаний оболочки использованы уравнения Лагранжа второго рода с множителями. В случае равномерного расположенияроликов и N = n получены биквадратные уравнения для определениячастот.В Таблице 2 приведены результаты расчетов первой безразмернойчастоты для невращающейся оболочки. Здесь n = 3, ν = 0.3, α = π/l.Результаты показывают, что различиеТаблица 2. Частота ω1между частотами колебаний оболочек кодля трех роликовнечной и бесконечной длины увеличиваетсяω1не только с уменьшением длины оболочки,lh=1/15 h=1/50но и с уменьшением ее толщины.58.6528.2Во второй главе рассматривается по103.199.17теря устойчивости под действием радиаль152.114.60ных напряжений шпангоута с тавровым по201.832.98перечным сечением, подкрепляющего ци∞1.661.66линдрическую оболочку.
В качестве моделитакого шпангоута используется круговая пластинка. Край пластинки, сопряженный с оболочкой, предполагается жестко заделанным, а свободный край подкреплен круговым стержнем. На рис. 1 изображено поперечное сечение шпангоута.Рассматриваютсятрислучая. В первом (втором)случае пластина расположена снаружи оболочки,находящейся под действием внутреннего (внешнего)давления (см. рис. 2a, 2b).В третьем случае пластинка Рис. 1. Поперечное сечение пластинки,находится внутри оболочки, подкрепленной стержнем; 1 — оболочка,находящейся под действием 2 — пластинка, 3 — стержень.внешнего давления (см.
рис. 2c).За единицу длины выберем радиус цилиндрической оболочки. Потеря устойчивости кольцевой пластинки под действием радиальных напряжений σ0 описывается безразмерным дифференциальным уравнени-8acbcaРис. 2. Радиальные напряжения, действующие на пластинку.ем относительно прогиба wp :d 4 wp2 d3 wp2m2 + 1 − βt1 d2 wp+−+43drr drr2dr2m2 (m2 − 4 − βt2 )2m2 + 1 + βt2 dwp+wp = 0,(5)3rdrr4где r — радиальная координата, m — число волн по окружности, t1 и t2безразмерные начальные усилия, β = a1 σ0 r03 /D — параметр нагрузки, a1— толщина пластинки, D — ее изгибная жесткость.Для определения начальных усилий t1 и t2 использованы уравнения,описывающие осесимметричную деформацию кольцевой пластинки в ееплоскости. В первом случае+t1,2 =r2 (1 − S0 )γ ∓ r12 (γ + δS0 ),(1 − S0 )γ − r12 (γ + δS0 )(6)где γ = 1 − ν, δ = 1 + ν, S0 = δS/(a1 r1 ), ν — коэффициент Пуассона,S — безразмерная площадь поперечного сечения стержня.
Начальныеусилия для второго случая, которому соответствует рис. 2b, получаютсязаменой tk на −tk в формулах (6). Начальные усилия для третьего случаядает замена S0 на −S0 в формулах (6). Значение S0 = 0 соответствуетшпангоуту с прямоугольным поперечным сечением.Для узкой пластинки безразмерной шириной ε = r1 − 1 ¿ 1 в предположении m ∼ 1, после замены переменной r = 1 + εx в уравнениях (5)и отбрасывания малых членов получено приближенное уравнение и приближенные граничные условия.
Приближенные начальные усилия имеютвидεa1 xνS − a1t1 = 1 −, t2 =.(7)εa1 + Sεa1 + SДля определения значения βc краевой задачи вариационным методом в качестве функции Ритца выбрана функцияW (x) = 1 − cos kx,9(8)где k(c) = π(c + 1)/(c + 2).Для пластинки с параметрами ε = 0.1, ν = 0.3, a1 = 0.01, сопряженной с круговым стержнем, имеющим прямоугольное поперечное сечениешириной a и высотой b1 , значения параметра критической нагрузки βcдля различных a и b1 приведены в Таблице 3. В последнем столбце ТабТаблица 3. Зависимость величин c, S, I1 , G2 и βc от размеровab100.010.040.050.060.060.080.100.120.00.010.010.020.030.030.050.070.09поперечного сечения стержняЗначения βccS1I1G2Метод Ритца Прогонка00.03.040.08307840.001 0.01 3.05 0.156856630.058 0.04 3.31 0.485205150.227 0.10 4.08 0.994484470.590 0.18 5.74 1.574694681.248 0.28 8.78 2.075425412.330 0.40 13.5 2.246406396.370 0.70 25.7 1.7181681614.15 1.08 35.3 1.03915915лицы 3 содержатся значения βc , полученные численным интегрированием краевой задачи методом прогонки.
Для рассматриваемого примерапогрешность приближенной формулы превосходит 6%.При увеличении размеров поперечного сечения стержня параметркритической нагрузки βc сначала убывает, а затем начинает возрастать.Убывание критической нагрузки с ростом размеров поперечного сечения стержня связано с увеличением докритичекого усилия t1 на внешнемкрае пластинки (и пропорционального ему коэффициента G2 ), а ее возрастание — с увеличением жесткости стержня c (и быстрого возрастаниякоэффициента I1 при a > 0.06, b1 > 0.03). Такой результат свидетельствуют о том, что в задаче о потере устойчивости подкрепленной оболочки под действием внутреннего давления шпангоуты с прямоугольнымпоперечным сечением оказываются более эффективными по сравнениюсо шпангоутами с тавровым поперечным сечением.Второй случай – действия на оболочку внешнего давления – отличается от первого только тем, что на краю r = r0 действуют растягивающие радиальные напряжения, то есть они имеют противоположныйзнак.
Краевая задача при m ∼ 1 не имеет нетривиального решения, ипотери устойчивости не происходит. В случае большого числа волн поокружности m ∼ 1/ε приближенное уравнение потери устойчивости и10граничные условия для узкой пластинки будут иметь вид:d 4 wpd2 wp− ε2 (2m2 − βt1 )+ ε4 m2 (m2 − βt2 )wp = 0,4dxdx2wp = wp0 = 0,wp00+cwp022− m νε wp = 0,wp000(9)x = 0,− ε2 [m2 (2 − ν) − βt1 ]wp0 = 0,(10)x = 1.При t1 = 1 краевая задача (9) – (10) имеет аналитическое решение.
Это решение и выбирается в качестве функции Ритца при решениизадачи (9) – (10) вариационным методом.Относительнаяпогрешность приближенных значений βc ,найденных по вариационной формуле, всравнении с численнымирезультатами,полученными методомпрогонки, оказываетсяменьше 0.1%. На рис. 3показана зависимостьРис. 3. Зависимость параметра β0 от размеравеличины β0 = ε2 βcсечения стержня a.для пластинки с параметрами ε = 0.1, ν = 0.3, a1 = 0.01, подкрепленной стержнем сквадратным поперечным сечением, от размера поперечного сеченияa = b1 .Выражение βt2 в рассмотренном случае имеет противоположныйзнак по сравнению с первым случаем.
Поэтому критическая нагрузкаβc возрастает с ростом параметра S0 для всех S0 > 0, и при действиивнешнего давления использование шпангоутов с тавровым поперечнымсечением более эффективно, чем шпангоутов с прямоугольным поперечным сечением.В случае потери устойчивости кольцевой пластинки под действиемсжимающих радиальных усилий, действующих на ее внешнем заделанном крае (см. Рис. 2c) безразмерная ширина пластинки ε = 1 − r1 ¿ 1.При m ∼ 1/ε приближенные уравнение, граничные условия и начальныеусилия получены заменой переменной r = 1 − εx.Краевая задача для шпангоута, расположенного внутри оболочки,отличается от предыдущей только выражениями для t1 и t2 .
На рис. 4.показана зависимость β0 для пластинки с теми же значениями параметров, что и для предыдущего случая, подкрепленной стержнем, от11размера поперечного сечения стержня a = b1 . Критическая нагрузка βcвозрастает с ростом параметров a и b1 .В третьей главеисследуется устойчивость тонкой круговойцилиндрической оболочки, подкрепленнойшпангоутами с тавровымпоперечнымсечением под действием равномерногодавления. Шпангоуты рассматриваютсясначала как круговые Рис. 4. Зависимость параметра β от размера0стержни, что допу- сечения стержня a при расположении шпангостимо в случае их ута внутри оболочки.небольшой ширины.Затем задача решается с использованием пластиночной модели шпангоута.
Это необходимо в случае подкрепления оболочки достаточноширокими шпангоутами.(1)w0s1(2)ws2(3)(4)wws3s4(5)(6)wws5lРис. 5. Подкрепленная цилиндрическая оболочка.В случае использования стержневой модели шпангоута для описания потери устойчивости подкрепленной по параллелям s = si , i =1, 2, .
. . ns одинаковыми шпангоутами оболочки (рис. 5) под действиемравномерного внешнего бокового давления p использованы безразмерные уравнения полубезмоментной теории:d4 w(i)− α4 w(i) = 0,ds412i = 0, 1, 2, . . . , ns ,(11)где s — координата, направленная по образующей, w(i) – проекция перемещения на направление нормали для s ∈ [si−1 , si ], i = 1, 2, . . . , n,sdwgfn = ns + 1, s0 = 0, sn = l, l — безразмерная длина оболочки,σpα4 = (m4 λ − µ4 m8 )/σ, σ = 1 − ν 2 , λ =,Ehm — число волн по параллели, E — модуль Юнга, µ4 = h2 /12 — малыйпараметр, h — безразмерная толщина оболочки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
