Автореферат (1149176), страница 3
Текст из файла (страница 3)
В качестве граничныхусловий для уравнений (11) используются условия шарнирного опираниякраев оболочки.В предположении, что оболочка и шпангоуты изготовлены из одногоматериала, а характерный размер поперечного сечения шпангоута многоменьше µ, условия сопряжения на параллелях, подкрепленных шпангоутами имеют видw(i)00w(i) = w(i+1) , w(i)0 = w(i+1)0 ,= w(i+1)00 , w(i)000 − w(i+1)000 = −cw(i+1) ,s = si , i = 1, 2, . . . , ns ,c = m8 µ4 lη/(σn), η = 12σnI/(h3 l)(12)где I — момент инерции поперечного сечения шпангоута относительнообразующей цилиндра.Наименьшему положительному значению параметра α, для которого краевая задача для уравнения (11) имеет нетривиальное решение,соответствует λ1 – критическое значение параметра λ, при котором происходит потеря устойчивости подкрепленной оболочки. В случае равномерного расположения шпангоутов для λ1 методом осреднения полученаформула:((1 + η)3/4 ,0 6 η 6 η∗ ,λ1 (η)'(13)λ1 (0)n,η > η∗ ,где η∗ = n4/3 − 1, λ1 (0) – критическое значение параметра нагрузки длянеподкрепленной оболочки.
Приближенную формулу (13) можно применять как при внешнем, так и при внутреннем расположении шпангоутов.Для оболочки толщиной h, подкрепленной шпангоутами c тавровыми поперечными сечениями, размеры которых приведены на рис. 6,обозначим k = b/a, k1 = a1 /a, k2 = b1 /b.При k1 = 1 или k2 = 1 шпангоут имеет прямоугольное поперечноесечение. Масса подкрепленной оболочки Ms = 2πR3 ρhl+2πR3 ρ(n−1)Ssp ,а критическое давление для нееλ1 (η)Eh,σгде Ssp – площадь поперечного сечения шпангоута, а λ1 (η) находится поформуле (13). Обозначив fb = p1 /p0 , d = h/h0 , где l – длина, r0 – радиусp1 =13и h0 – толщина неподкрепленной оболочки, получим( 5/2d (1 + η)3/4 ,0 6 η 6 η∗ ,5/2 λ1 (η)fb = d=5/2λ1 (0)d n,η > η∗ .При фиксированных значениях параметров l, h0 , ns , k, k1 , k2 и при достаточно маломh0 функция fb имеет максимум в точке d = d∗ ,где d∗ ∈ [0, 1] — корень кубического уравненияbB(d − 1)2 = 0.d −η∗ A 2h(14)ab13a1Оптимальное значение a∗ размера попе- Рис.
6. Тавровое поперечногоp сечения a определяется по формуле речное сечение шпангоa∗ = (1 − d∗ )/A, вытекающей из предполо- ута.жения равенства масс неподкрепленной и подкрепленной оболочек Ms =M0 . Здесь A = ns k(k1 + k2 − k1 k2 )/lh0 . Максимальное значение fb∗ функ5/2ции fb (d) равно fb∗ = nd∗ .В таблице 4 приведены значения оптимальных параметров a∗ , d∗ имаксимальных значений fb∗ функции fb (d) для случая l = 10, h0 = 0.01,ns = 5, k = 1, k2 = k1 , ν = 0.3.Случай k1 = k2 = 1 соответствуТаблица 4.
Параметрыет прямоугольной форме поперечногоa∗ , d∗ и значение fb∗сечения шпангоута. При уменьшениидля различных k1 = k2k1 , чему соответствует утончение пряk1d∗a∗fb∗моугольных частей шпангоута, значе10.908 0.0429 4.712ние относительного критического дав0.80.912 0.0430 4.755ления fb∗ для подкрепленной оболочки0.6 0.922 0.0431 4.895увеличивается, в то время как масса0.4 0.941 0.0428 5.160ее не изменяется.
Это показывает, что0.2 0.969 0.0414 5.549шпангоут с тавровым сечением является более эффективным, чем шпангоутс прямоугольным сечением.С увеличением относительной ширины шпангоута k функция fb∗ (k)возрастает. Однако, расчеты, проведенные в методом конечных элементов, показывают, что при достаточно больших значениях k критическоедавление убывает. Это связано с тем, что при увеличении k происходитсмена формы потери устойчивости. Форма потери устойчивости первоготипа, аналогичная форме потери устойчивости гладкой оболочки, сменяется формой потери устойчивости второго типа, при которой деформация локализуется на шпангоуте, в то время как оболочка практическине деформируется. Стержневая модель пригодна только для описанияпотери устойчивости первого типа.
Для адекватного описания потери14устойчивости второго типа необходимо использовать пластиночную модель шпангоута. Внутреннее давление (случай 3) может вызвать потерюустойчивости только по форме второго типа.При подкреплении оболочки по параллелям s = sk , k = 1, 2, . . . nsширокими шпангоутами с тавровым сечением моделью шпангоута служит кольцевая пластинка с безразмерными толщиной a1 и шириной ε =b − b1 , внешний край которой сопряжен с круговым стержнем прямоугольного поперечного сечения размером a × b1 .Действующее на оболочку давление p вызывает радиальные напряжения σ0 на внутреннем контуре пластинки. Для того чтобы найти зависимость σ0 от p , следует решить краевую задачу, описывающую осесимметричную деформацию конструкции, состоящей из цилиндрическойоболочки, кольцевой пластины и кругового стержня.Для приближенного решения системы уравнений равновесия шарнирно опертой цилиндрической оболочки используется асимптотическийметод.
Неизвестные функции ищутся в виде суммы основного безмоментного состояния и краевых эффектов.Осесимметричная деформация пластинки в ее плоскости описывается следующими безразмерными уравнениями:(rT1p )0 − T2p = 0,rT1p = ru0p + νup ,rT2p = up + νru0p .(15)Здесь (0 ) означает производную по радиальной координате r, r ∈ [1, r1 ],r1 = 1 + ε — внешний радиус пластины, ε — ширина пластины, T1p и T2p— тангенциальные усилия, up и vp — компоненты перемещения. Жесткость пластинки на изгиб не учитывается, так как она намного меньшеее тангенциальной жесткости.Принимая во внимание условия сопряжения оболочки и пластинкина параллели s = sk , r = 1 и условие сопряжения пластинки и стержняпри r = r1 , получаем формулу связи действующего на оболочку безразмерного давления λ и безразмерного параметра нагрузки β, приложенной к краю пластины:a2λ = 1 (L1 + L2 )β,(16)12гдеγδ(K1 + r12 )δ(1 − γS)qa1L1 =, K1 =,, L2 =δr12 − γK1hµγ(1 + δS)(γδ)1/4h2√ , µ4 =,122 2Слагаемое L1 представляет собой вклад безмоментного состояния, а слагаемое L2 связано с учетом краевых эффектов.q=15Используя значения критической нагрузки βc , полученные во второй главе, по формулеa21(L1 + L2 )βc12можно найти соответствующие им значения безразмерного критическогодавления λc .В случае 1 действия на оболочку внутреннего давления при увеличении размеров поперечного сечения стержня безразмерное критическоедавление λc , как и параметр βc , сначала убывает, а затем начинает возрастать (рис.
7). С увеличением a = b1 возрастание безразмерного криλc =12Λ8β04an00.020.040.060.080.1Рис. 7. Зависимости параметров Λ = 102 λc и β0 = ε2 βc от размерапоперечного сечения стержня a для случая внутреннего давления.тического давления λc происходит медленнее, чем возрастание величиныβc . При a = 0.1 значение λc = 0.054 оказывается более чем в два разаменьше критического давления λc = 0.119 при a = 0, т. е.
критического давления для пластинки не подкрепленной стержнем. Этот эффектсвязан с заметным уменьшением коэффициента L1 в формуле (16) приувеличении размеров поперечного сечения стержня.При действии на оболочку внешнего давления для кольцевой пластинки с параметрами a1 = 0.01, ε = 0.1, ν = 0.3, сопряженной с круговым стержнем, имеющим квадратное поперечное сечение, и подкрепляющей снаружи оболочку толщиной h = 0.01 (случай 2), на рис. 8.представлены графики зависимости величин Λ = 102 λc и β0 = ε2 βc отразмера поперечного сечения a = b1 .В случае подкрепления оболочки пластинкой со стержнем, расположенными внутри оболочки, находящейся под действием внешнего давления (случай 3) зависимость Λ = 102 λc и β0 = ε2 βc от a = b1 имеет такойже характер.Использование стержневой модели шпангоута позволило найти оптимальное значение a∗ размера поперечного сечения шпангоута a, но16Рис.
8. Зависимости параметров Λ = 102 λc и β0 = ε2 βc от размерапоперечного сечения стержня a для случая внешнего давления.не позволило определить оптимальную форму поперечного сечения, которая зависит от относительной ширины шпангоута k = b/a, где b —ширина шпангоута.Относительное критическое внешнее давление, полученное с помощью пластиночной модели шпангоута можно найти по формуле fp =5/2pc /p0 = 63/2 lhλc /4σ 1/4 πh0 , где p0 — критическое давление для гладкойоболочки безразмерной толщины h0 .Зафиксируем параметры l, h0 , ns , k1 , k2 , ν и рассмотрим подкрепленную оболочку с оптимальными параметрами a = a∗ , d = d∗ . Обозна5/2чим fb∗ (k) = nd∗ (k) и fp∗ (k) ее относительные критические давления,соответствующие потере устойчивости по формам первого и второго типа.Функция fb∗ (k) возрастает, а функция fp∗ (k) убывает, поэтому относительное критическое давлениеfc∗ (k) = min(fb∗ (k), fp∗ (k))имеет максимум в точке k = k∗ , где fb∗ (k) = fp∗ (k) .
Следовательно, k = k∗является оптимальным значением параметра k.В качестве примера рассмотрим оболочку с параметрами l = 10,h0 = 0.01, n = 6, k1 = k2 = 0.2, ν = 0.3 в случае 2. Зависимость функцииfc∗ от ширины кольца ε демонстрирует рис. 9. Кривая fb∗ показывает зависимость, полученную с использованием стержневой модели шпангоутаи соответствует потере устойчивости по форме первого типа. Кривая fp∗соответствует потере устойчивости по форме второго типа. Функция fc∗достигает максимального значения для ε = ε∗ ' 0.0643, которое являетсяоптимальным.В заключении представлены результаты, выносимые на защиту.1710fp*8fb*640.0610.063ε* 0.065ε0.067Рис.
9. Зависимость функции fc от ширины кольца ε.ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:1. Боярская М.Л., Филиппов С.Б. Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки // Журн.Вестн. СПбГУ, 2011, Вып. 1, Сер. 1, C. 31-37.2. Боярская М.Л., Филиппов С.Б.
Устойчивость цилиндрическойоболочки, подкрепленной шпангоутами с тавровым поперечным сечением // Вестник Санкт-Петербургского университета. Сер. 1. 2015.3. Боярская М. Л., Филиппов С. Б. Устойчивость шпангоута поддействием внутреннего давления в цилиндрической оболочке // Вестн.С.-Петерб. ун-та. Серия 1.
2016. Том 3 (61), Вып. 2. С. 264-273.Другие публикации:4. Боярская М.Л. Устойчивость кольцевой пластины, сопряженнойс цилиндрической оболочкой и подкрепленной круговым стержнем //Сборник научных трудов "Механика и процессы управления"М.: РАН,2015.5.
Боярская М. Л. Частоты и формы колебаний вращающейся нароликах цилиндрической оболочки // Труды семинара "Компьютерныеметоды в механике сплошной среды"СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011,71-80.6. Филиппов С.Б., Боярская М.Л., Кулаковский И.А. Приближенноеопределение оптимальных параметров в задачах устойчивости и колебаний подкрепленных цилиндрических оболочек // Шестые Поляховскиечтения: Избранные труды, СПб, 2012, 296–302.7. Sergei B. Filippov, Maria L. Boyarskaya. Buckling of annular platejoint with circular beam // Proceedings of the ECCOMAS Congress 2016,Crete Island, Greece, 5-10 June 2016, pp.
1-11.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
