Диссертация (1143492), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Юфереву, привлекшему меня к решениюзадач переноса, за всестороннюю поддержку, А. М. Самсонову , обратившему мое внимание на недостатки уравнения диффузии как модели неаномальной диффузии, заучастие и дискуссии, Э. А. Троппу за внимание к работе, без которого настоящая диссертация вряд ли бы состоялась.Выражаю искреннюю признательность О. Н. Буденковой, М. Г. Васильеву, В. М.Мамедову и О. И. Чистяковой, без сотрудничества с которыми настоящая диссертациябыла бы невозможна.Глава 1Линейное уравнение Больцмана исвязанные с ним проблемыВ этой главе дан обзор литературы и произведен анализ современного состоянияпроблем, связанных с линейным уравнением Больцмана.1.1Приближения к линейному уравнению БольцманаАналитические решения задач для линейного уравнения Больцмана существуютв исключительных случаях, однако численное решение этих задач также представляет значительные сложности.
Сложность численного решения может быть уменьшенапри помощи многогруппового приближения по энергии (или скорости), когда вся область изменения энергии разбивается на конечное число непресекающихся групп (состоящих из одного или нескольких интервалов), и каждая такая группа ассоциируется сфиксированной энергией из соответствующей группы. В результате исходное линейноеуравнение Больцмана сводится к системе моноэнергетических (односкоростных) линейных уравнений Больцмана (с шестью независимыми переменными: одна временна́я, трипространственных и две угловых). Но и такие задачи представляют из себя сложнуюпроблему. Это обстоятельство особенно важно, если линейное уравнение Больцманаописывает перенос тепла излучением, который очень часто сопряжен с другими видамитепло- и массопереноса, и в этом случае одну и ту же задачу для линейного уравнения Больцмана приходится решать много раз.
Поэтому всякий раз, когда возможно,используются различные приближения к линейному уравнению Больцмана.В сильнорассеивающих и слабопоглощающих средах, то есть средах с малым числом Кнудсена (отношением длины свободного пробега к характерному пространственному масштабу) и доминирующим рассеянием, широко используется диффузионноеприближение к линейному уравнению Больцмана [101, 167, 196, 211]. Однако оно слиш1011ком неточно для быстрых процессов, когда время релаксации сравнимо с характернымвременем процесса. В частности, диффузионное приближение неспособно описыватьфронт распространения частиц. Кроме того, уравнение диффузии относится к параболическому типу, и, следовательно, в этом приближении скорость распространениячастиц бесконечна.Для построения приближений к линейному уравнению Больцмана широко используется метод сферических функций [121].
Решение уравнения Больцмана (плотность частиц в фазовом пространстве) представляется в виде ряда по сферическим функциям,в результате получается бесконечная система уравнений в частных производных относительно коэффициентов разложения (моментов): система моментных уравнений. Длятого, чтобы приблизить решение уравнения Больцмана своими моментами до какого-топорядка, требуется так называемая процедура замыкания, поскольку каждое уравнениеиз бесконечной системы связывает моменты разных порядков. Существуют различныепроцедуры замыкания, исходящие из различных принципов, см. [121], которые приводят к различным приближениям к уравнению Больцмана. В простейшем и наиболееиспользуемом случае бесконечная система просто «обрезается», то есть учитываютсяуравнения до заданного порядка, включительно, а моменты более высоких порядков,входящие в эти уравнения отбрасываются.
В результате получаются приближения.Наиболее используемое из приближений — 1 приближение.1 приближение [101, 189, 211] «исправляет» диффузионное: оно описывается телеграфным уравнением (волновым уравнением с затуханием), которое относится к гиперболическому типу. Поэтому скорость распространения частиц в 1 приближенииконечна. Заметим, что телеграфное уравнение было предложено в качестве заменыне только уравнению диффузии, но и уравнению теплопроводности [30, 150–152, 274].Однако принципиальный недостаток 1 приближения заключается в том, что оно дает неверную скорость распространения частиц (в трехмерном пространстве), а именно√/ 3, где — истинная скорость частиц.
Простая модификация 1 приближения, называемая 1/3 приближением, была предложена в статье [204]. 1/3 приближение такжеописывается телеграфным уравнением, но с одним отличающимся коэффициентом. 1/3приближение не только правильно описывает скорость распространения частиц, но иво многих случаях лучше, чем 1 приближение [196, 198, 204], см. также [203]. Однако как 1/3 , так и 1 приближение имеют один общий принципиальный недостаток:для телеграфного уравнения не выполняется принцип максимума, то есть телеграфноеуравнение не сохраняет неотрицательность решений, и поэтому решения задач для негомогут быть нефизичны [162, 212].
То же самое имеет место и для асимптотических 1приближений, описываемых телеграфным уравнением [133, 134]. приближения при > 1 имеют тот же принципиальный недостаток, что и1 приближение: они не сохраняют неотрицательность решений (имеют вид распро-12страняющихся волн), см.
[121]. Поэтому приближения не могут служить заменойдиффузионному приближению.Существуют также упрощенные (simplified , ) приближения [67, 122–124, 188, 196], но и они имеют свои ограничения.Недавно были предложены , > 1, приближения к односкоростному уравнению Больцмана [248], причем диффузионное приближение можно рассматривать как0 приближение. Заметим, что модели замыкания моментов уравнения Больцмана (вчастности модель) предназначены, вообще говоря, для того, чтобы аппроксимировать само уравнение Больцмана с меньшими вычислительными затратами, (а не получать приближения к нему для сильнорассеивающих сред), см., например, [121]. Встатье [248] решения сравнивались численно с решениями в двух тестовых задачах: в одномерном и двухмерном пространствах.
Сравнение показало, что « модель дает значительно лучшие результаты при меньших , чем модель» [248]. Встатье [121] различные аппроксимации к уравнению Больцмана, в частности и приближения, сравнивались в двухмерной эталонной задаче (линейный источник излучения). Было обнаружено, что качественное поведение и −1 решений похоже, но решения ослабляют в некоторой степени колебательный характер −1 решений.Таким образом, двойником 1 приближения является 2 приближение, а двойник у 1приближения отсутствует, поскольку не существует 0 приближения.До настоящего времени не найдено уравнение в частных производных не очень высокого порядка (да и высокого тоже), которое могло бы заменить и уточнить диффузионное приближение к уравнению Больцмана в сильнорассеивающих средах. Возникаетвопрос: может ли 1 приближение служить в качестве такой замены?1.21.2.1Методы решения задач переноса излученияУравнение переноса излученияНестационарное уравнение переноса излучения это линейное уравнение Больцмана, описывающее перенос теплового излучения (перенос тепловой энергии электромагнитными волнами) [32, 37, 50, 143, 196, 269] (см.
также [193, 194]). Оно имеет вид1 + · ∇ + = s, + b, , (1.1)где — скорость света в среде ( = 0 /, 0 — скорость света в вакууме, — показательпреломления среды), ≡ (, , ) (или в другой записи (, , , )) — интенсивность13излучения, — пространственные переменные, = (sin cos , sin sin , cos )— направление излучения, — временная переменная, — частота, играющая рольэнергии ( = /, — длина волны, энергия кванта электромагнитной волны (фотона)равна ℎ, где ℎ — постоянная Планка), — коэффициент поглощения, s, — коэффициент рассеяния, = + s, — коэффициент ослабления,1 ≡ (, ) =4∫︁S2 (, ′ ) (, ′ ) d ′— интеграл рассеяния (d = sin d d), (, ′ ) — фазовая функция (или индикатриса) рассеяния, для которой выполняется нормировка14∫︁S2 (, ′ ) d = 1(то есть1 (, ′ ) d4 — вероятность того, что излучение, имеющее частоту , и распространяющееся в направлении ′ , будет рассеяно внутри элементарного телесного угла d в направлении),2ℎ 3(︂)︂]︂b, ≡ b, ( ) = [︂ℎ2 exp−1B — монохроматическая интенсивность излучения черного тела (функция Планка) [32,196], ≡ () — температура среды, ℎ — постоянная Планка, B — постоянная Больцмана.В большинстве случаев скорость света практически «бесконечна» по сравнению схарактерной скоростью других процессов, поэтому первое слагаемое в уравнении (1.1)пренебрежимо мало.
Отбрасывая это слагаемое, получим стационарное уравнение переноса · ∇ + = s, + b, ,(1.2)где ≡ (, ) — стационарная интенсивность излучения.Отметим, что в последнее время, благодаря развитию лазерных устройств с длительностью лазерных импульсов порядка пико- или фемтосекунд, нестационарные явления переноса излучения становятся все более актуальными.В уравнение переноса (1.2) (так же, как и в нестационарное уравнение (1.1)) ча-14стота входит как параметр, а не как независимая переменная. Тем не менее, частотустоит рассматривать именно как независимую переменную, поскольку уравнение переноса обычно решается в системе с уравнениями, описывающими другие виды теплои массопереноса, в частности кондуктивный теплообмен, а в этом случае она является независимой переменной.
Таким образом, интенсивность излучения в уравнениипереноса (1.2) зависит от шести независимых переменных, и решение задач для этогоуравнения все равно является сложной проблемой. Для упрощения численного решенияобычно пользутся многогрупповым приближением по частоте (или длине волны), когдавесь спектр разбивается на конечное число групп (состоящих из одного или несколькихинтервалов), и каждая такая группа ассоциируется с фиксированной частотой из соответствующей группы. Таким образом уравнение переноса (1.2) сводится к уравнениюпереноса без спектральной зависимости, · ∇ + = s + b ,(1.3)где ≡ (, ) — интенсивность излучения, зависящая от пяти независимых переменных. В случаях, когда в уравнении переноса и граничных условиях спектральнойзависимостью пренебрегают, говорят о серой среде или сером приближении.1.2.2Методы численного решения задач переноса излученияЧисленные методы решения задач переноса излучения разделяются на две группы: методы, основанные на стохастическом моделировании, и детерминистические методы.К стохастическим методам относится метод Монте Карло [140, 141, 143, 196], который в применении к задачам переноса излучения основан на стохастическом моделировании траекторий фотонов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
