Диссертация (1138224), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Àíàëîãè÷íî,+∞∫︁ 2 +∞2 = (, ) ()˜()d + (, ) ′′ () d−2)︂∫︁ +∞ (︂2 (, ) () d = −˜(+ ) (, + ) () − (, + ) ′ () +22 () (, )|=+ +]︂∫︁2 +∞ [︂ 2 2−˜ () (, ) () + (, ) () − (, ) () d =2 222−˜(+ ) (, + ) () − (, + ) ′ () + () (, )|=+ .22∫︁′Çàìåòèì, ìû èñïîëüçîâàëè òîò ôàêò, ÷òîêàæäîé òî÷êå. Ñóììèðóÿ1ñ2 ,()ÿâëÿåòñÿ ãëàäêîé âïîëó÷èì]︂22 (, − ) − (, + ) + () ×0 = 1 + 2 = ()22[︂]︂ 2 (, ) 2 (, )˜(− ) (, − ) − (+ ) (, + ) −|=− +|=+22′[︂è ïîñêîëüêó ýòî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî äëÿ âñÿêîéè çíà÷åíèÿôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå íåçàâèñèìû, âûðàæåíèÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ äîëæíû áûòü íóëÿìè:222(, − ) − 2 (, + ) = 0,2(,)(− ) (, − ) − (+ ) (, + ) − 2 |=− +65 2 (,)|=+2= 0.(3.9)Ñëåäîâàòåëüíî,íåïðåðûâíà â êàæäîéèìåòü ðàçðûâ, òàêîé ÷òî ïîòîê ÷åðåçÄëÿ ̸∈ (0, ) óðàâíåíèå2 (, ) =2(︂ , íî åå ïðîèçâîäíàÿ ìîæåòîñòàåòñÿ íåïðåðûâíûì.(3.8) èìååò ñëåäóþùèé âèä:)︂2(,)− (, ) .2(3.10) → −∞, à òàêæåñõîäèòñÿ ê 0 ïðè → +∞.

Ñóùåñòâóþò ôóíêöèè (, ) è (, )òàêèå ÷òî (, ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî åäèíîîáðàçíî äëÿ ∈(−∞, 0) è ∈ (, ∞):Íàñ èíòåðåñóåò ðåøåíèå, êîòîðîå ñõîäèòñÿ ê 0 ïðè (, + ) = (,) (, ), (, −) = (,) (, ), > 0.(3.11) ñàìîì äåëå, ïóñòü (, ) = −MM,(,)=.22(3.12)Ïîäñòàâëÿÿ (3.12) â (3.10), ïîëó÷èì îäíî è òî æå óðàâíåíèå22 2 (, ) = − 2 (, ) + (, ) .22 2(3.13)Ïðèìåíèì êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê (3.13):√ 2d2 42 + 2Φ () ,Φ () = √ (, ) |=0 −d2 22 ãäå ïàðàìåòð êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èΦ()(3.14) êîñèíóñ-(, ).

Ðåøàÿ ýòî äèôôåðåíöèàëüíîåóñëîâèåì Φ(0) = 0, ïîëó÷èìïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèèóðàâíåíèå ñ íà÷àëüíûì∫︁Φ () = −0(︃ (︀)︀ )︃√ 2 4 2 + Mu 2 2√ exp −( − , )|=0 d.2 22 (3.15)Ñíîâà ïðèìåíÿÿ êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê (3.15), ïîëó÷èì66∫︁ (, ) = −0√(︂)︂M 222√ √ exp − 2 − 2( − , )|=0 d.22 2 (3.16)×òîáû âûâåñòè âåðõíåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå, âåðíåìñÿ ê ïåðâîìóóðàâíåíèþ â (3.11).

Ââèäó (3.16), îíî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå(︂)︂ (, ) = −exp − 2 ×(︂)︂∫︁ √2M 2 2 ( − , )√ √ exp − 2 − 2|=0 d =×22 0 2 (︃∫︁)︃√(︂)︂2M 2 ( − , )√ √ exp − 2−|=0 d .20 2 Íàñ èíòåðåñóåò (, )|=− . Ïîäñòàâëÿÿïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òî1 (, )|=+ = 2 = (3.17)â (3.9) è èñ-íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå, ïîëó÷èì)︂(︂2 (, )|=− − 2 (, ) − 2M (, ) .Èç (3.11) ÿñíî, ÷òîM (, ) (, 0) = (, ) |=+ +,2ñëåäîâàòåëüíî(2 + M ) (, ) (, 0) = (, ) |=− −.2(3.18)Ïîäñòàâëÿÿ (3.18) â (3.17), ïîëó÷èì (, ) =(︂)︂(︂)︂∫︁ √2(2 + Mu) (, )Mu 2 √ √ ( − , ) −|=− exp −d.22 20 2 (3.19)67 ñèëó àñèìïòîòèêè Ëàïëàñà, äëÿ áîëüøèõâêëàä áîëüøèõïðå-íåáðåæèìî ìàë. Ýòî ñîîáðàæåíèå ïðèâîäèò ê2 2 (, )|=− 4 (, )|= (, ) ≈ −() +() + (, )()+MM3√√2 (, )|= 22 (, )|=− 3 (, )√() −2() − ()−MM2M2 √ √ 2 (, )|= (, )|= 2√()+ ()+2M3M √ √ 22 (, )|= 2 (, )|=− 4 (, )|=−√2 () ≈ −++2MM3M 2 (, )|= 2 (, )|= (, )+ (, ) − 2−,23MMM2(︁ √√ )︁2M è2(︁)︁M 2ãäå () = erf () = exp − 22 .

Òðåáóÿ, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè ñòàðøåì ïîðÿäêå áûë íóëåâûì, ÷òîáû îáåñïå÷èòüñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà ïðè ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ìûïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âåðõíåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå:2 (, ) |=− = 2 (, ) .(3.20)Âûâîä íèæíåãî ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ àíàëîãè÷åí. Ðàññìîòðèì âòîðîå óðàâíåíèå â (3.11):∫︁ (, 0) =0√2 ( − , )|=0− − (M 2 )2√ √−e 2 d.2 (3.21)Èç (3.9) ìû ïîëó÷àåì 2 (, )|=0− − 2 (, 0) − 2M (, 0) (, )|=0+ =2è êàê ÿñíî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ â (3.11), (, 0) M (, ) |=0− = − (, ) |=0− −.2Ñëåäîâàòåëüíî,68(2 + M ) (, 0) (, 0) = − (, ) |=0+ +.2(3.22)Ïîäñòàâëÿÿ (3.22) â (3.21), ïîëó÷èì (, 0) =)︂(︂∫︁ √(2 + M ) ( − , 0) − M 222√ √e 2 d.−− (, ) |=0+ +20 2 (3.23)Ñíîâà ïðèìåíÿÿ àñèìïòîòèêó Ëàïëàñà, ïîëó÷èì2 2 (, )|=0+ 4 (, )|=0+ (, 0) ≈ () − () − (, 0+ )()−3MM√√2 (, )|=0+ 2 (, )|=0+ 32 (, 0+ )√ ()+2() +()+MM2M2 √ √ 2(,)|2 (, )|=0+ =0+√2 () − ()+3MM √ √ 2 2 (, )|=0+ (, )|=0+ (, 0)√2()≈−2− (, 0)−MMM2 2 4 (, )|=0+ 2 (, )|=0+ 2 (, )|=0++2+.33MMM2×òîáû ýòî óðàâíåíèå áûëî âûïîëíåíî ïðèñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêî-íå÷íîñòè, ìû íàêëàäûâàåì ñëåäóþùåå íèæíåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå: (, 0) = 0.(3.24)Î÷åâèäíî, íåò ñìûñëà ðàññìàòðèâàòü ñèòóàöèþ, êîãäà íîñèòåëüâûõîäèò çà ãðàíèöûâûøàåò,[0, ],ïîñêîëüêó åñëè êàïèòàë ôèðìû ïðå-òî èçëèøåê íàä óðîâíåììãíîâåííî âûïëà÷èâàåòñÿ âêà÷åñòâå äèâèäåíäîâ, è òàêèì îáðàçîì êàïèòàë âîçâðàùàåòñÿ â îáëàñòü[0, ].Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ãëàâû ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùèõ Òåîðåìàõ.

Ïåðâàÿ òåîðåìû ñòàíäàðòíà, õîòÿ, íàñêîëüêî íàì èçâåñòíî, óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ðàíåå íå èñïîëüçîâàëîñü â êîíòåêñòå ìîäå69ëåé êàïèòàëà ôèðìû. Âòîðàÿ òåîðåìà, ñ äðóãîé ñòîðîíû, äåéñòâèòåëüíî ïðîëèâàåò íåêîòîðûé ñâåò íà ìîäåëü Ðàäíåðà-Øåïïà. Íàïðèìåð, â [48] íåò ÿâíîé ôîðìóëû äëÿ ñðåäíåãî ïîòîêà äèâèäåíäîâ ïîêàçàíî ëèøü, ÷òî îí ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí êàê ðåøåíèå íåêîòîðîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãîâðåìÿ, êîòîðîå ôèðìà ïðîâîäèò íà âåðõíåé ãðàíèöå îáëàñòè.Òåîðåìà 3.1.1. Ïóñòü () ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ (0) ñ íîñèòåëåì[0, ],äîõîä ôèðìû îïèñûâàåòñÿ (3.1) è ñòðàòåãèÿ âûïëàòûäèâèäåíäîâ îïèñûâàåòñÿ ïîðîãîìa) Åñëè < 2 ,,îïðåäåëåííûì â (3.3).òî 2 − 2 (, ) = exp22(︂)︂ ∑︁∞(︂)︂(︁ )︁2 2 exp −,sin22=0(3.25)ãäå2( 4 2 + 2 2 ) =( 4 2 + 2 2 − 2 )è , ∈ {0} ∪ N∫︁0(︁ )︁exp − 2 () () d, ∈ {0} ∪ N ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ2tan () =.b) Åñëè(3.26) = 2 ,(3.27)òî)︂ 2 2 2 (, ) = exp− 2−0 +222 2(︂(︂)︂ ∞)︂(︁ )︁2 2 2 ∑︁exp− 2 exp −sin,222 =12(︂(3.28)ãäå30 = 3è , ≥ 1 ∫︁0(︁ )︁ () exp − 2 dòå æå, ÷òî è â (3.26).70(3.29)c) Åñëè > 2 ,òî)︂(︁ )︁ 2 20 2 0 (, ) = exp− 2−0 sinh+2222(︂)︂ ∞(︂)︂(︁ )︁ 2 ∑︁2 2 exp−exp−sin,22 2 =12 2(︂(3.30)ãäå2( 4 0 2 − 2 2 )0 = ( 2 2 − 4 20 − 2 )è , ≥ 1∫︁0(︁ )︁(︁ )︁0 () exp − 2 sinhd,(3.31)0 îòðèöàòåëüíûé êîðåíü2.(3.32) òå æå, ÷òî è â (3.26) èóðàâíåíèÿtanh () =Äîêàçàòåëüñòâî.

(, ) îïèñûâà(, ), ìû ïîëó÷à-1. Ñîãëàñíî Ëåììå, äèíàìèêàåòñÿ (3.4). Ïîäñòàâëÿÿ (, ) = exp(︁2−2 2 2)︁åì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:⎧2⎪2⎪ (, ) − 2 2 (, ) = 0,⎪⎪⎪(︀⎪⎨ (, ) − 2 (, ))︀⃒⃒= 0,=⎪⎪(, 0) = 0,⎪⎪⎪⎪⎩(0, ) = exp (︀− 2 )︀ ().(3.33)Èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàçäåëÿþùèõñÿ ïåðåìåííûõ Ôóðüå, ìû èùåì ðåøåíèå â ñëåäóþùåì âèäå:(, ) =∞∑︁ () ().(3.34)=0Õîðîøî èçâåñòíî (ñì.íàïð. [98]), ÷òî çàäà÷à íàõîæäåíèÿ () ()èìîæåò áûòü ñâåäåíà ê àíàëèçó ñëåäóþùåãî äèôôåðåíöèàëü-2íîãî îïåðàòîðà:2 +2 = 2 , ∈ N, ãäå.

Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ýòîãî îïåðàòîðà åñòü ∈ ((2 − 1)/2, (2 + 1)/2), ∈ N 71(︀)︀ () = sin ñîîòâåòñòâóþùèå2ñîáñòâåííûå ôóíêöèè. Åñëè < , ñóùåñòâóåò åùå îäíî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.27), à èìåííî, 0 ∈ (0, /2), è ñîîòâåòñòâóþùàÿ(︀ )︀20åìó ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ åñòü 0 () = sin . Åñëè = ,òî = 0 åñòü ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñîáñòâåííàÿ22ôóíêöèÿ åñòü 0 () = .

Åñëè > , òî = 20 åñòü ñîáñòâåííîåçíà÷åíèå, ãäå 0 åñòü îòðèöàòåëüíûé êîðåíü (3.32) è ñîîòâåòñòâóþ(︀ 0 )︀ùàÿ ñîáñòâåííàÿ ôóíêöèÿ åñòü 0 () = sinh . Çàìåòèì, ÷òî ýòèðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.27) èñîáñòâåííûå ôóíêöèè ýòî â òî÷íîñòè òå æå ôóíêöèè, êîòîðûå èñïîëüçîâàíû â (3.34). , ∈ {0} ∪ Nåñòü êîýôôèöèåíòû Ôóðüå èìîãóò áûòü íàéäåíû êàê1 =|| ||2∫︁() (),0÷òî ïðèâîäèò ê (3.26), (3.29), (3.31).Íàêîíåö,)︂ 2 . () = exp −2(︂Âîçâðàùàÿñü ê (, ),Òåîðåìà 3.1.2.ïîëó÷èì (3.25). Òåîðåìà äîêàçàíà.Ñðåäíèé ïîòîê äèâèäåíäîâ, ïîëó÷àåìûé ôèðìîéâîçðàñòà , ðàâåí() =Äîêàçàòåëüñòâî.2 (, ) .2(3.35)Çàìåòèì, ÷òî ïîòîê äèâèäåíäîâ ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåí ñëåäóþùèì îáðàçîì:∞(︂ ∫︁ () = lim →∞ãäå)︂ (, + ) d ,(3.36)0ñîîòâåòñòâóåò ðåãóëÿðèçîâàííîìó ñëó÷àéíîìó ïðîöåññó, îïðå-äåëåííîìó â (3.5), (3.6).

Èç (3.11), (3.12) è (3.16) ìû ïîëó÷àåì72 (, + ) =√ (︂)︂∫︁ (M +)2 2(M + 2 ) ( − , )−2 2 √ √e(−,)|−d.=−20 2 (3.37)Ïîäñòàâëÿÿ (3.37) â (3.36), ïîëó÷èì () =)︀∫︁ √ (︀ 2 2 − ( − , ) |=− + ( − , ) (M + 2 ) − M 22√ √Me 2 d,2 0ãäå∫︁∞=2− M2 − 22 e0√ M 2 √ √11 √ M 22 √ √22d = − () e2 +e 2 2 .22Ñëåäîâàòåëüíî,∫︁ () =012(︂)︂2 ( − , ) |=− − ( − , ) ( + 2) ×× (() − 1) d.(3.38)Ïîäñòàâèì ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà âûðàæåíèÿ â ñêîáêàõ èç (3.38)â (3.17): 2 ( − , ) |=− (, ) (, ) = −() + 2() + (, ) ()−MM√ √ 22 4 2 (, ) |=− 3 (, ) |=−√ () +()+2M3M √ √ 2 (, ) |=− 2 (, ) |=− √2()−2()+M3M2 √ √ 2 (, ) |=− 2 (, ) |=−√ () − ().M2MÈãíîðèðóÿ âûñîêèå ïîðÿäêè,ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ïîëó-÷èì73 (, ) (2() − M + M ()) ( − , ) |=− =+ 2 ()√ √(−,)|=− 2 ()√.

()(3.39)Ïîäñòàâèì (3.39) â (3.38):(︁ √ √ )︁2M −∫︁ 0 (, ) erf∫︁2 2 0 (, )(︁ √ √ )︁(︁ √ √ )︁ d− () =d −2M 2M 2 2erferf22(︁ √ √ )︁ M 2 √√ ∫︁ 2M −e− 222 M 2 0 (, ) |=− erf(︁ √ √ )︁√d+2M 2 erf2√ ∫︁ 0 √ − M 22 (, ) |=− e 2M 2(︁ √ √ )︁√d.2M 2 erf22Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì â èíòåãðàëàõ ñ() = − (, ),ïîëó÷èì√ 2 √2e− 22 (, )(︁ √ √ )︁+√2M t2 erf2 2 √− 2 ( − ) (, ) 2 e− 22 (, )√(++2()2 − ()02 √2√− 2−3222 2( − )e (, ) ( − ) (, ) e√+−2()24 ()√√ 2 2 √ 2 (, ) ( − )e− 22 3 2e− 22 (, )√ √√−+4 ())4 ()√ 2 2 2 (, ) e− 22 2 (, ) 2 (, ) e− 2√ √+−).2()2()24 ())∫︁(3.40)Ðàññìîòðèì ìíîæèòåëü (, )â ñëàãàåìîì áåç èíòåãðàëà.

Ýòàôóíêöèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óáûâàåò ïðèñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷-íîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñëàãàåìîå áåç èíòåãðàëà íå âëèÿåò íà74().Äàëåå, çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè íà âíóòðåííîñòè ìíîæåñòâà[0, ]òîæå íå âëèÿåò íà äèâèäåíäû, ÷òî ìîæåòáûòü ïîêàçàíî óñòðåìëåíèåì ̸= .ê áåñêîíå÷íîñòè â (3.40) äëÿÎäíàêî òðåáóåòñÿ äàëüíåéøèé àíàëèç = 0, = , ̸= 0,ïîñêîëüêóïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèå èìååò îñîáåííîñòè â ýòèõ òî÷êàõ. Äëÿàíàëèçà íèæíåé ãðàíèöû ðàññìîòðèì èíòåãðàë â (3.40) íà ìíîæåñòâå2 2[0, 22 ]äëÿ íåêîòîðîãî.Òîãäà èíòåãðàë ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí âñëåäóþùåì âèäå: () = −2 ()() d+0 erf ()√∫︁ 3 2 − M 22 22√2e() d+−2 2 2 + M 2 0 erf ()∫︁∫︁ −2 22 2 e−2 2e √2()() d−2 ()() d + 2 0 (erf ()) 0 erf ()∫︁ −2∫︁22 2 e−2 e√() d+()() d − 2 0 (erf ())2 0 erf ()∫︁ ∫︁ −2 2∫︁ −2e e2222() d − 2 √() d + √() d, 0 erf () 0 erf ()0 erf ()2√∫︁(︁22 ,)︁2 2M2 , ,(︁ √)︁√2 −2 2 2 +M 2 .2=() = 2() = erfÏðè ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ýòî âûðàæåíèåãäåñòðåìèòñÿ êíóëþ.

Характеристики

Список файлов диссертации