Диссертация (1138224), страница 8
Текст из файла (страница 8)
()(2.9)Äîêàçàòåëüñòâî.Ìû ñíîâà äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êîëè÷å-ñòâî äåíåã â îòðàñëè íå íàêàïëèâàëîñü äî áåñêîíå÷íîñòè è íå óõîäèëî â äîëã äî ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè. Ïîýòîìó íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòüâûïîëíåíèå óñëîâèÿ(1 − ) − () = 0.(2.10)Äàëåå, ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìîäåëè âñå äåíüãè, êîòîðûå ïîëó÷àåòáàíê îò ôèðì, îí âûïëà÷èâàåò â êà÷åñòâå çàðïëàòû ðàáîòíèêàì, êîòîðûå çàíÿòû ñîçäàíèåì ôèðì. Òîãäà ìû äîëæíû ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû äîõîä ðàáîòíèêà îòðàñëè ñîâïàäàë ñ äîõîäîì ñëóæàùåãî áàíêà,â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðàáîòíèêè ïðîñòî ïåðåéäóò èç îäíîé îòðàñëè âäðóãóþ: () ()=.(2.11)Ó÷òåì òàêæå óñëîâèå ïîëíîé çàíÿòîñòè: + = .(2.12)Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.10)(2.12) è ó÷òÿ âûðàæåíèå äëÿ( ),ïîëó÷åííîå ðàíåå, ïîëó÷èì ôîðìóëû (2.9), õàðàêòåðèçóþùèåðàâíîâåñèå.
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Çàìåòèì, ÷òî ìàëîðåàëèñòè÷íûé îòêàç îò ïðåäïîëîæåíèÿ A2 âÓòâåðæäåíèÿõ 2.3.2-2.3.4 ñäåëàí èñêëþ÷èòåëüíî äëÿ óìåíüøåíèÿ56ãðîìîçäêîñòè ôîðìóë. Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå óñòàíàâëèâàåò âàæíåéøåå ñâîéñòâî ðàâíîâåñèÿ (2.9). ×òîáû äîêàçàòü åãî, íàì ïðèäåòñÿââåñòè â ìîäåëü óïðîùàþùåå ïðåäïîëîæåíèåA2'. Âñå ôèðìû îäèíàêîâû è èìåþò óðîâåíü ïðîäóêòèâíîñòè òàêîé æå, êàê ó ðàáî÷èõ, ñîçäàþùèõ íîâûå ôèðìû.Òî åñòü ìû ôàêòè÷åñêè ïåðåõîäèì îò ìîäåëè Ìåëèöà ê ìîäåëèÄèêñèòà-Ñòèãëèöà (ñì.
[12]), íî ñ ýêçîãåííûì âûáûòèåì ôèðì.Óòâåðæäåíèå 2.3.4.âåñèå * , * , * , ïðåäïîëîæåíèÿõ A1, A2', A3, A4' ðàâíî-îïðåäåëåííîå â (2.9), ýôôåêòèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì çàäà÷ó öåíòðàëüíîãî ïëàíèðîâùè-êà, êîòîðûé ìàêñèìèçèðóåò áëàãîñîñòîÿíèå ïîòðåáèòåëåé ïðè òåõíîëîãè÷åñêèõ è èíñòèòóöèîíàëüíûõ îãðàíè÷åíèÿõ: = 1/ → max,= ,= , + = .Ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ(2.13), , èç (2.9).Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Çàìåòèì, ÷òî â Óòâåðæäåíèè 2.3.4 ðå÷ü ôàêòè÷åñêè èäåò î ðàâíîâåñèè â ñòàòè÷åñêîé ìîäåëè. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ýôôåêòèâíîñòüðàâíîâåñèÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñâîéñòâåííà äëÿ ìîäåëåé ìîíîïîëèòèñòè÷åñêîé êîíêóðåíöèè è ìîäåëåé ñ ïîñòîÿííûìè èçäåðæêàìè.2.3.2Ìîäåëü ñ ñîçäàíèåì íîâûõ ôèðì çà ñ÷åò çàòðàò ïðîäóêòàÑëåäóþùàÿ ìîäåëü ðåàëèçóåò èíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå çàòðàò íà ñîçäàíèå ôèðìû: â ìîäåëÿõ ìîíîïîëèñòè÷åñêîé êîíêóðåíöèèñîçäàíèå íîâîé ôèðìû åñòü ñîçäàíèå òîâàðà, òî åñòü íåêîòîðàÿ èííîâàöèÿ.
Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî î÷åðåäíàÿ èííîâàöèÿ áàçèðóåòñÿïðåæäå âñåãî íà ïðåæíèõ. Äëÿ îïèñàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñîçäàíèå íîâîé ôèðìû òðåáóåò íå çàòðàò òðóäà, à çàòðàò57àãðåãèðîâàííîãî ïðîäóêòà, òî åñòü ïðîèçâîäèìûé â ýêîíîìèêå àãðåãèðîâàííûé ïðîäóêò äåëèòñÿ íà ïîòðåáèòåëüñêèé è èíâåñòèöèîííûé(ïîä àãðåãèðîâàííûì ïðîäóêòîì â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ïîíèìàåì çíà÷åíèå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè, ≡ ).A1'. Áàíê, íå íåñÿ íèêàêèõ çàòðàò òðóäà, ñîçäàåò íîâûå âèäûòîâàðîâ èç èíâåñòèöèîííîãî ïðîäóêòà. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî èìåÿåäèíèö ïðîäóêòà, áàíê ìîæåò ìãíîâåííî ñîçäàòüðîâ, è, ñîîòâåòñòâåííî, îòêðûòü /íîâûõ òîâà- / íîâûõ ôèðì. Âåñü äîõîä áàíêàòðàòèòñÿ íà ïîêóïêó èíâåñòèöèîííîãî ïðîäóêòà.Òàêæå ìû ïðåäïîëàãàåì âûïîëíåííûìè óñëîâèÿ A2', A3, A4'.Êðîìå òîãî, äàëüíåéøèå âûêëàäêè ìû äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ïðîâîäèòüäëÿ ñðåäíèõ.Èç A1' ñëåäóåò, ÷òî âñÿ ðàáî÷àÿ ñèëà â ýêîíîìèêåçàíÿòà âïðîèçâîäñòâå ïðîäóêòà.
Ñ ó÷åòîì A2' ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé âèäáàëàíñà òðóäà:= , ãäå, íàïîìíèì, ýòî âûïóñê îäíîé ôèðìû.Âûïóñê àãðåãèðîâàííîãî ïðîäóêòà, êàê ñëåäóåò èç (2.1) è A2', ðàâåí = 1/ .Âåñü ïðîèçâåäåííûé ïðîäóêò â ýêîíîìèêå äåëèòñÿ íàïîòðåáèòåëüñêèé è èíâåñòèöèîííûé: = + .Ñëåäîâàòåëüíî,êîëè÷åñòâî ïðîèçâåäåííîãî â ýêîíîìèêå èíâåñòèöèîííîãî ïðîäóêòàðàâíî = − = (1 − ) 1/−1 . Íà ýòîì ðàâåíñòâå îñíîâàíîäîêàçàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ:Óòâåðæäåíèå 2.4.1.1. Ïóñòü ≤ 1/2, ñïðàâåäëèâû ïðåäïîëîæåíèÿ A1', A2', A3, A4'è íåðàâåíñòâî(1 − )> 1.(2.14)Òîãäà ýêîíîìè÷åñêàÿ ñèñòåìà íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò.2.
Ïóñòü > 1/2è ñïðàâåäëèâû ïðåäïîëîæåíèÿ A1', A2', A3,A4'. Òîãäà êîëè÷åñòâî ôèðì â îòðàñëè ñòàáèëèçèðóåòñÿ ê çíà÷åíèþ ** =(︂(1 − )58)︂ 2−1.(2.15)Äîêàçàòåëüñòâî.Ñ ó÷åòîì âûøåïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé äè-íàìèêà êîëè÷åñòâà ôèðì â îòðàñëè îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì:(1 − ) 1 −1 () =− =− .Íàéäåì ñòàöèîíàðíûå ñîñòîÿíèÿ, ïðèðàâíÿâ ê íóëþ ïðàâóþ ÷àñòüäèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: = 0, = ** , åñëè ̸= 1/2.Ïðîàíàëèçèðîâàâ ãðàôèê ïðàâîé ÷àñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ- < 1/2 ñòàöèîíàðíîå ñîñòî ** íåóñòîé÷èâûì, ïðè÷åìíåíèÿ, ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî ïðèÿíèå = 0ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, àåñëè âûïîëíåíî (2.14) (âïîëíå ðàçóìíîå òðåáîâàíèå, êîòîðîå ìîæíîòðàêòîâàòü òàê, ÷òî ýêîíîìèêà íå ñëèøêîì ìàëåíüêàÿ), òî ** < 1.Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ëþáîì ïîëîæèòåëüíîì íà÷àëüíîì êîëè÷åñòâåôèðì ýêîíîìèêà íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò.Ïðè > 1/2,íàîáîðîò, 0 íåóñòîé÷èâûé êîðåíü, ** óñòîé-÷èâûé.
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñèñòåìà èç ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷êè ñòàáè- ** . = 1/2 ìûëèçèðóåòñÿ êÏðèèìååì â ïðàâîé ÷àñòè äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-íåíèÿ ëèíåéíóþ ôóíêöèþ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñïðàâåäëèâî (2.15),òî ñèñòåìà íåîãðàíè÷åííî ðàñòåò, èíà÷å ñòàáèëèçèðóåòñÿ â òî÷êå = 0,òî åñòü ïðåêðàùàåò ñâîå ñóùåñòâîâàíèå. Óòâåðæäåíèå äî-êàçàíî.Òàêèì îáðàçîì, ìû îáíàðóæèëè ïðèíöèïèàëüíîå îòëè÷èå ìîäåëèñ çàòðàòàìè ïðîäóêòà îò ìîäåëè ñ çàòðàòàìè òðóäà â ìîäåëè ñ çàòðàòàìè òðóäà íåò ìåõàíèçìîâ ýíäîãåííîãî ðîñòà, ýêîíîìèêà ïðèõîäèòê ñòàöèîíàðíîìó ñîñòîÿíèþ è ñóùåñòâóåò â íåì ñêîëü óãîäíî äîëãî. ìîäåëè ñ çàòðàòàìè ïðîäóêòà, íåñìîòðÿ íà îòñóòñòâèå ýêçîãåííûõôàêòîðîâ ðîñòà, íàõîäèòñÿ ìåõàíèçì, îáåñïå÷èâàþùèé ðîñò.Òåïåðü èññëåäóåì âîïðîñ îá ýôôåêòèâíîñòè ðàâíîâåñèÿ â ýòîéìîäåëè.59Óòâåðæäåíèå 2.4.2.
Ïóñòü > 1/2 è ñïðàâåäëèâû ïðåäïîëîæåíèÿA1', A2', A3, A4'. Òîãäà ðàâíîâåñèå â ìîäåëè ñ çàòðàòàìè ïðîäóêòàíåýôôåêòèâíî.Äîêàçàòåëüñòâî.Ñîñòàâèì çàäà÷ó öåíòðàëüíîãî ïëàíèðîâùèêà: → max, = 1/ , = + ,= ,= .Ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, íàõîäèì(︂eff =(1 − ))︂ 2−1> ** .Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Äàëåå, ðàññìîòðåííûå ìîäåëè ìîæíî òðàêòîâàòü êàê îïèñàíèÿäâóõ ðàçëè÷íûõ òåõíîëîãèé (A1 è A1'), êîòîðûå ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ â îäíîé è òîé æå ýêîíîìèêå A2', A3, A4'. Ïîýòîìó ëîãè÷íî çàäàòüâîïðîñ êàêàÿ òåõíîëîãèÿ ëó÷øå â ñìûñëå îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ? Îòâåò äàåò ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 2.4.3.Ïðè ëþáûõ ïàðàìåòðàõ ýêîíîìèêè, îïèñû-âàåìîé ïðåäïîëîæåíèÿìè A2', A3, A4' è óäîâëåòâîðÿþùåé íåðàâåíñòâó (2.15), òåõíîëîãèÿ ñ çàòðàòàìè ïðîäóêòà, îïèñûâàåìàÿ ïðåäïîëîæåíèåì A1', ëó÷øå â ñìûñëå îáùåñòâåííîãî áëàãîñîñòîÿíèÿ, ÷åìòåõíîëîãèÿ ñ çàòðàòàìè òðóäà, îïèñûâàåìàÿ ïðåäïîëîæåíèåì A1.Äîêàçàòåëüñòâî.ßñíî,÷òîäîñòàòî÷íîñðàâíèòüêîëè÷åñòâîôèðì, ñóùåñòâóþùèõ ïðè äàííîé òåõíîëîãèè.
Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òîïðè ≤ 1/2òåõíîëîãèÿ ñ çàòðàòàìè ïðîäóêòà çàâåäîìî ëó÷øå, ïî-ñêîëüêó ïîçâîëÿåò ýêîíîìèêå íåîãðàíè÷åííî ðàñòè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé > 1/2.è òîëüêî òîãäà, êîãäà1/2 < < 1. * è ** , ïîëó÷àåì, ÷òî ** > * òîãäà2−1 > 1. Ðåøàÿ ýòî íåðàâåíñòâî, ïîëó÷àåìÑðàâíèâàÿÓòâåðæäåíèå äîêàçàíî.60Ãëàâà 3Äèíàìèêà îòðàñëè â ìîäåëÿõ ñ ôóíêöèîíàëîì ôèðìû òèïàÐàäíåðà-Øåïïà3.1Äèíàìèêà ôèðìû â ìîäåëè Ðàäíåðà-Øåïïà3.1.1Ìîäåëü Ðàäíåðà-ØåïïàÏóñòü(Ω, ℱ, P) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî.
Êàê â [47], ìûïðåäïîëàãàåì, ÷òî äåíåæíûå ðåçåðâû ôèðìû îïèñûâàþòñÿ àääèòèâíûì áðîóíîâñêèì äâèæåíèåì:() = + () − (), ≥ 0,ãäå () ñòàíäàðòíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåñññ,()(3.1) äåíåæíûå() ïðîöåññ âûïëàòû äèâèäåíäîâ, êîòîðûé ïðåäñòîèò íàéòè. Ïàðàìåòðû > 0 è > 0 ïîëàãàþòñÿ ôèêñèðîâàííûìè.ðåçåðâû ôèðìû,Öåëü ôèðìû ñîñòîèò â ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîé äèñêîíòèðîâàííîéïðèáûëè:[︂∫︁]︂exp (−) () − (0) ,(3.2)0ãäå>0 êîýôôèöèåíò ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé, âðåìÿáàíêðîòñòâà, êîòîðîå ïðîèñõîäèò, êîãäà êàïèòàë ôèðìû âïåðâûå ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì. Òàêæå ââåäåìíèÿ íà÷àëüíîãî êàïèòàëà() ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëå-(0).
Èíòåðïðåòàöèÿ äàííîé ìîäèôèêàöèèöåëåâîãî ôóíêöèîíàëà î÷åíü ïðîñòà íà÷àëüíûé êàïèòàë ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äîëã, êîòîðûé äîëæåí áûòü âîçâðàùåí. Ýòà ìîäèôèêàöèÿ äåëàåò áîëåå ðåàëèñòè÷íûì ñðàâíåíèå ïðèáûëåé ôèðì ñ ðàçíûìè êîýôôèöèåíòàìè ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé, êîòîðîå áóäåò61ïðîâåäåíî â êîíöå ñëåäóþùåé ñåêöèè.
Î÷åâèäíî, îíà íå èìååò âëèÿíèÿ íà îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ âûïëàòû äèâèäåíäîâ, êîòîðàÿ, êàêáûëî ïîêàçàíî â [47], õàðàêòåðèçóåòñÿ ïîðîãîâûì óðîâíåì2 = √︀ln2 + 2 2 Êîãäà êàïèòàë ôèðìû() − ñóììó()(︃)︃√︀22 + + 2 √︀.− + 2 + 2 2 ïðåâîñõîäèò,(3.3)îïòèìàëüíî âûïëàòèòüâ êà÷åñòâå äèâèäåíäîâ, à êîãäà()ìåíüøå,ôèðìà íå äîëæíà ïëàòèòü äèâèäåíäîâ.3.1.2Àíàëèç ìîäåëèÌû çàèíòåðåñîâàíû â áîëåå ïîëíîì îïèñàíèè äèíàìèêè êàïèòàëà (, ) = (() ≤ , < ) è (, ) =òàêèì îáðàçîì, (, ) è (, ) àíàëîãè÷-ôèðìû ñî âðåìåíåì. Ïóñòü (, ). Îïðåäåëåííûåíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåéñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäóþùàÿ Ëåììà ïîêàçûâàåò, ÷òî (, )ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ äðåéôîì ñ ïîãëîùàþùåéíèæíåé ãðàíèöåé è ÷àñòè÷íî îòðàæàþùåé âåðõíåé ãðàíèöåé.
Äëÿòîãî ÷òîáû ïîëó÷èòü ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ìû èñïîëüçóåì ðåãóëÿðèçàöèþ áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ ñ äðåéôîì, êîòîðàÿ, íàñêîëüêî íàìèçâåñòíî, ÿâëÿåòñÿ íîâîé â ëèòåðàòóðå. Ñòðîãî ãîâîðÿ, ýòîò ðåçóëüòàòÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ñòàíäàðòíûì è ìîæåò áûòü ïîëó÷åí áåç ïðåäëîæåííîé ðåãóëÿðèçàöèè, íî îíà òàêæå ïîçâîëèò íàì äàëåå ïîëó÷èòüôîðìóëó ñðåäíåãî ïîòîêà äèâèäåíäîâ.Ëåììà 3.1.1.Ïóñòü()åñòü ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êàïèòà-ëà ôèðìû â íà÷àëüíûé ìîìåíò=0ñ íîñèòåëåì[0, ],äåíåæíûåðåçåðâû ôèðìû ïîä÷èíÿþòñÿ (3.1), ñòðàòåãèÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâîïðåäåëÿåòñÿ ïîðîãîâûì óðîâíåì (, ),îïðåäåëåííûì â (3.3).
Òîãäàåñòü ðåøåíèå ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ äèôôóçèîí-íîãî óðàâíåíèÿ:62⎧(︀ )︀⎪(,)=−(,)+⎪⎪⎪⃒)︁(︁⎪⎪⎨ (, ) − 2 (︀ (, ))︀ ⃒⃒222(︁22 )︁(, ) , ∈ (0, ),= 0,=⎪⎪ (, )|=0 = 0,⎪⎪⎪⎪⎩ (, )| = ().=0(3.4)Äîêàçàòåëüñòâî.Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ðåãóëÿðèçàöèþ (3.1):() = ˜(()) + () − (), ≥ 0,(3.5)ãäå⎧⎪⎪−, () < 0,⎪⎨˜(()) = , () ∈ [0, ],⎪⎪⎪⎩−, () > .Êîãäàñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, äëÿ(3.6) ∈ [0, ]ïðîöåññ, îïèñû-âàåìûé (3.5) (3.6) ñòàíîâèòñÿ ïðîöåññîì, îïèñûâàåìûì (3.1).Ïóñòü() íåêîòîðàÿ äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíàÿ (íåïðåðûâíî äèô-ôåðåíöèðóåìàÿ íóæíîå êîëè÷åñòâî ðàç) ôóíêöèÿ.
Ïîñêîëüêó ïðèðàùåíèå ñòàíäàðòíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ íà√îïèñàíî êàê Δ,ãäå(, +Δ) ìîæåò áûòüèìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäå-ëåíèå, óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà äëÿ ïðîöåññà, îïèñûâàåìîãî (3.5) (3.6), åñòü∫︁∞∫︁−∞∞−∞ãäå() ( + Δ, ) () d =∫︁ ∞(︁√ )︁ (, ) () + ˜ () Δ + Δ d d,−∞ ïëîòíîñòü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Èñ-ïîëüçóÿ ïðèáëèæåíèå Òåéëîðà äëÿ ìàëûõΔ, ìû ïîëó÷àåì63∞∞ (︂)︂ (, ) () d = (, ) () d + Δ−∞−∞ ∫︁ ∞∫︁ ∞∫︁ ∞√ ∫︁ ∞ (, ) () d + Δ () d (, ) ′ () d+ () d−∞−∞−∞−∞∫︁ ∞∫︁ ∞ () d (, ) ′ () ˜ () d+Δ−∞−∞∫︁ ∞∫︁ ∞22 (, ) ′′ () d. () d1/2Δ∫︁∫︁−∞−∞Ïîñêîëüêó∫︀ ∞−∞ () d = 1,∫︀ ∞−∞ () d = 0è∫︀ ∞−∞ () 2 d = 1,èìååì∞2 (, ) () ˜ () d +2)︂∫︁−∞∞ (︂ (, ) () d = 0.−∞ ∫︁′∫︁∞ (, ) ′′ () d−−∞(3.7)() = (èëè, áîëååàêêóðàòíî, ðàññìàòðèâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ðåãóëÿðíûõ ôóíêöèé ñ ïðåäåëîì ), ïîëó÷àåìÈíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è ôîðìàëüíî ïîäñòàâëÿÿ2 (, ) =2(︂)︂2′(,)−˜()(,)−˜() (, ) .2(3.8)˜() = äëÿ ∈ (0, ), ìû ïîëó÷àåìäèíàìèêó (, ) äëÿ ∈ (0, ).Èñïîëüçóÿ òîò ôàêò, ÷òîíåíèå, îïèñûâàþùååóðàâ-Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ðàññìîòðèì íåêîòî- ∈ R è ðàçîáúåì÷àñòè (−∞, ) è (, +∞):ðóþ ïðîèçâîëüíóþ òî÷êóâ (3.7) íà äâå64ðåãèîí èíòåãðèðîâàíèÿ∫︁2 (, ) ()˜()d +1 = (, ) ′′ () d−2−∞−∞)︂∫︁ (︂2 (, ) () d = ˜(− ) (, − ) () + (, − ) ′ () −2−∞ 2 () (, )|=− +2]︂∫︁ [︂2 2−˜ () (, ) () + (, ) () − (, ) () d =2 2−∞22˜(− ) (, − ) () + (, − ) () − () (, )|=− ,22∫︁′ãäå ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî èñïîëüçóåò (3.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
