Диссертация (1138224), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

ïîëîæèòåëüíî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.îòðèöàòåëüíî äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèéè ëþáûõ çíà÷åíèé ïà-ðàìåòðîâ ìîäåëè.Äîêàçàòåëüñòâî. = +∞,1. Ðàñêëàäûâàÿïîëó÷èì âûðàæåíèå101â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè ≈ −0 − Λ0 −Λ0 Λ1, (0 − 1 )êîòîðîå ïîëîæèòåëüíî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé.Ðàñêëàäûâàÿâ ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòè = −∞,ïî-ëó÷èì âûðàæåíèå ≈ − 1 − Λ1 +Λ0 Λ1, (0 − 1 )êîòîðîå ñíîâà ïîëîæèòåëüíî äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ îòðèöàòåëüíûõçíà÷åíèé.2. Íåðàâåíñòâî<0ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê−0 − 1 − Λ0 − Λ1 <√.(3.97)Åñëè âûðàæåíèå â ëåâîé ÷àñòè îòðèöàòåëüíî, íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.Ïðåäïîëîæèì, îíî ïîëîæèòåëüíî:0 + 1 + Λ0 + Λ1 < 0.(3.98)Âîçâåäÿ â êâàäðàò îáå ñòîðîíû (3.97), ïîëó÷èì(0 1 + Λ0 1 + Λ1 0 ) < 0.Ïðåäïîëîæèì,0 + 1 > 0.(3.99)Òîãäà èç (3.98) ñëåäóåò<−Λ0 − Λ1< 0.0 + 1Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé ìíîæèòåëü â (3.99) îòðèöàòåëåí.

Ðàññìîòðèìâòîðîé:0 1 +Λ0 1 +Λ1 0 > 0 1Λ0 21 + Λ1 20−Λ0 − Λ1+Λ0 1 +Λ1 0 => 0,0 + 10 + 1ñëåäîâàòåëüíî (3.99) ñïðàâåäëèâî. Àíàëîãè÷íî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî0 + 1 < 0.Òîãäà èç (3.98) ñëåäóåò>−Λ0 − Λ1> 0.0 + 1102Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé ìíîæèòåëü â (3.99) ïîëîæèòåëåí. Ðàññìîòðèì âòîðîé:0 1 +Λ0 1 +Λ1 0 < 0 1Λ0 21 + Λ1 20−Λ0 − Λ1+Λ0 1 +Λ1 0 =< 0,0 + 10 + 1ñëåäîâàòåëüíî (3.99) ñïðàâåäëèâî. Î÷åâèäíî, åñëè0 + 1 = 0, (3.98)íå ìîæåò áûòü âûïîëíåíî.

Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.Îáðàùàÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà â (3.95), ïîëó÷èìΛ1 1 e− e Ω () Λ1 1 e− e Ω ()−+0 (, ) =− + − +)︂(︂1 Ψ () Λ1 0 ( 1 + + Λ1 ) Φ () −−e +− + − + )︂(︂1 Ψ () Λ1 0 ( 1 + + Λ1 ) Φ () +e +− + − + (︂)︂Λ1 eΛ1 e+−1 (0, ) +− + − + (︂)︂( 1 + + Λ1 ) e ( 1 + + Λ1 ) e−+0 (0, ) ,− + − + Ω () 1 (0 + + Λ0 ) e− ++1 (, ) = −− + 1 (0 + + Λ0 ) e− + Ω ()+− + (︂)︂Λ0 0 Φ () 1 (0 + + Λ0 ) Ψ () −−e +− + − + )︂(︂Λ0 0 Φ () 1 (0 + + Λ0 ) Ψ () +e +− + − + (︂ )︂e Λ0e Λ0−0 (0, ) +− + − + )︂(︂(0 + + Λ0 ) e (0 + + Λ0 ) e1 (0, ) ,−+− + − + ∫︀ −0 ( ) e ∈ {, }.

Ïîñêîëüêó ïðîöåññ îñòàíàâëèâàåòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1, 0 è 1 ñòðåìÿòñÿ êíóëþ ïðè ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïðè âñåõ . Ââèäó ÓòâåðãäåΠ () =däëÿ ∈ {, , }(3.100)èæäåíèÿ 1, íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýòîãî ñîñòîèò â òîì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðèemtñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðèñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñèñòåìå äâóõ óðàâíåíèé, îäíî èç êîòîðûõ îêàçûâàåòñÿ òîæäåñòâîì, à âòîðîå èìååò ñëåäóþùèé âèä:103( 1 + + Λ1 ) 0 (0, )−Λ1(3.101)0 ( 1 + + Λ1 ) Φ− − 1 Ψ + 1 eΩ ,Λ1∫︀ ∞−ãäå Π =d . Òåïåðü ðàññìîòðèì íèæíåå ãðàíè÷íîå0 ( ) eóñëîâèå.

Äâàæäû èíòåãðèðóÿ (3.92) äëÿ = 1 ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì1 (0, ) = −1 (, 0) = 2 1 (, ) + 1 (, ) e− − 1 (, 0) +)︂∫︁ (︂ 2− 1 (, ) −1 (, ) e− d.e200=Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó î ñðåäíåì äëÿ èíòåãðàëà, ïîëó÷èì1 (, 0) = 2 1 (, ) + 1 (, ) e− − 1 (, 0) +(︁)︁ e− 2(︁)︁1 2− ^^1 (, ) −1 , (, ) +1 , (, )e 2 20=äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè^ (, ).Óñòðåìëÿÿê+∞,ïîëó÷èì(︀)︀0 = lim 2 1 (, ) − () .→∞(3.102)Ïîäñòàâëÿÿ (3.101) â (3.100), ïîëó÷èìΩ () 1 (0 + + Λ0 ) e− + 1 (0 + + Λ0 ) e− + Ω ()1 (, ) = −++−+−+(︂)︂Λ0 0 Φ () 1 (0 + + Λ0 ) Ψ () −−e +− + − + )︂(︂ )︂(︂Λ0 0 Φ () 1 (0 + + Λ0 ) Ψ () e Λ0e Λ0+e +−0 (0, ) +− + − + − + − + (︂)︂(0 + + Λ0 ) e (0 + + Λ0 ) e−+− + − + (︂)︂( 1 + + Λ1 ) 0 (0, ) 0 ( 1 + + Λ1 ) Φ− −−− 1 Ψ + 1 eΩ .Λ1Λ1(3.103)104Òåïåðü èñïîëüçóåì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå êàæäîãî èíòåãðàëà: (0) ′ ( )e− ( ) e−+−+20′ (0) ′′ () ′′ () e−+−, ∈ {, ∞}.233∫︁ ( ) e− d = −Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (3.103) è ïðèìåíÿÿ ðàçëîæåíèå â ðÿäÒåéëîðà äëÿ,ïîëó÷èì () 1 − () Λ1 + () Λ0 − ′ ()1 (, ) ≈1 2(3.104)Ïîäñòàâëÿÿ (3.104) â (3.102), ïîëó÷èì () Λ1 − () Λ0 + ′ () = 0.(3.105)Ïîäñòàâëÿÿ (3.105) â (3.101) è èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëó÷èì1 (0, ) =(0 1 + 0 + 0 Λ1 ) (0) − 0 (0, ) Λ0 1 − 0 (0, ) Λ0 − 0 (0, ) Λ1 Λ0−Λ0 Λ1∫︀ ∞( 0 1 + Λ1 0 1 + 2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 ) 0 ( ) e− d+Λ0 Λ1∫︁ ∞− 1 e ( ) e− d.0(3.106)Òåïåðü èñêëþ÷èìèç (3.106).

Äëÿ ýòîãî âûðàçèì÷åðåçèç(3.96). Ýòî ìîæåò áûòü ïðîäåëàíî äâóìÿ ñïîñîáàìè:−0 − 1 − Λ0 1 − Λ1 0 +1 =20 1√0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 +, 2 = −20 1√, = 2 20 − 2 2 0 1 + 2 21 − 2 Λ0 0 1 + 2 Λ0 21 + 2 Λ1 20 − 2 Λ1 0 1 +Λ20 21 + 2 Λ0 Λ1 0 1 + Λ21 20 .(3.107)Ââåäåì òàêæå105√√ = 0 +1 +Λ0 1 +Λ1 0 − , = 0 +1 +Λ0 1 +Λ1 0 + .(3.108)Ïîäñòàâëÿÿ (3.107) â (3.106), ïîëó÷èì:)︂(︂−2 0 (0) − 2 0 (0) Λ1 + (0)=−+1 0, −20 12Λ0 Λ1(︂)︂∫︁ ∞−2 0 − 2 Λ1 0 + −20 10 0, −+ ( ) ed +1 e2Λ1 020 10∫︀ ∞(−2 2 0 − 4 Λ1 0 − 2 Λ0 Λ1 1 − 2Λ21 0 + + Λ1 ) 0 ( ) e− d,2Λ0 Λ1(︂)︂−2 0 (0) − 2 0 (0) Λ1 + (0)1 0, −=−+20 12Λ0 Λ1)︂(︂∫︁ ∞−2−2Λ+010− ( ) ed +1 e 20 1+0 0, −2Λ1 020 10∫︀ ∞(−2 2 0 − 4 Λ1 0 − 2 Λ0 Λ1 1 − 2Λ21 0 + + Λ1 ) 0 ( ) e− d.2Λ0 Λ1(3.109)Ýòî ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè.

Ìû ïîëó÷àåì ååðåøåíèå êàê êîìáèíàöèþ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé.  ñàìîì äåëå,0 () è 0 () ðåøåíèÿ (3.109) ïðè 0 (0, ) = 0, 1 (0, ) = () è (0) = 0, 1 () è 1 () ðåøåíèÿ (3.109) ïðè 0 (0, ) = (), 1 (0, ) = 0, (0) = 0, 2 () and 2 () ðåøåíèÿ (3.109) ïðè0 (0, ) = 0, 1 (0, ) = 0. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå (3.109) ìîæåò áûòüïóñòüíàéäåíî êàê∫︁() =∫︁0 () =0 ( )0 (0, )∫︁+0 ( )0 (0, ) +0∫︁ 0 1 ( )1 (0, ) + 2 ( ),1 ( )1 (0, ) + 2 ( ).0(3.110)Ïîäñòàâëÿÿ0 (0, ) = 0, 1 (0, ) = ()ðåøàÿ ñèñòåìó, ïîëó÷èì106è(0) = 0â (3.109) è(︁∞∫︁0 ( ) e−ed =20 1(︁ Λ0 − e20 1)︁ Λ0)︁ ,0 e 20 1 2 + 1 e 20 1∫︀ ∞ ∫︁ ∞−2ΛΛd 2 1010−0 0 ( ) ee 0 1+ ( ) ed =20Λ0 (0 − 1 − Λ0 1 + Λ1 0 + ) 2 e 0 1.−2 00Ïîäñòàâëÿÿ0 (0, ) = (), 1 (0, ) = 0è(0) = 0(3.111)â (3.109) èðåøàÿ ñèñòåìó, ïîëó÷èì(︁1 ( ) e−20 1e(︁∞∫︁d =20 11)︁20 1)︁ ,2 + 1 e∫︀ ∞ 1∫︁ ∞−2ΛΛd 2 2Λ1 Λ0 2 1011−0 ( ) ee 01−e 0 1.

( ) ed =22001 e2 + e20 1(3.112)Ïîäñòàâëÿÿ0 (0, ) = 0 è 1 (0, ) = 0 â (3.109) è ðåøàÿ ñèñòåìó,ïîëó÷èì∫︁∞ 2 ( ) e− d = (︁0∫︁2(0)e20 12 + 1 e 20 1)︁ ,∞ 2 ( ) e− d =0− (0) (−2 0 − 2 Λ1 0 + ) e 20 1 + (0) (−2 0 − 2 Λ1 0 + ) e 20 1(︁ )︁.e 20 1 2 + 1 e 20 1(3.113)Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ1 , 2 , 2 ,ìû äîëæíû íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå îáðàòíûå ïðåîáðà-çîâàíèÿ Ëàïëàñà â (3.111), (3.112) è (3.113). Ïîñëå ýòîãîáûòü íàéäåíû èç (3.110) èýòîãî0è0 , 0 , 1 ,1èìîãóòìîæåò áûòü íàéäåíà èç (3.105).

Ïîñëåìîãóò áûòü íàéäåíû èç (3.100), ÷òî äàåò ïîëíîå îïèñà-íèå äèíàìèêè ïðîöåññà.1073.3.2Èññëåäîâàíèå çàâèñèìîñòè ïðèáûëè ôèðìû îò êîýôôèöèåíòà ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèéÏðåæäå âñåãî, äîêàæåì ñëåäóþùååÓòâåðæäåíèå 3.3.2. Îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ïîðîãà , îïðåäåëåííîå â (3.77), óáûâàåò ïðè óâåëè÷åíèè êîýôôèöèåíòà ìåæâðåìåííûõïðåäïî÷òåíèé.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïðîèçâîäíàÿïîìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíàêàê(︀ d)︀d d () − d ()3=−+,2( () − ()) 1 2( () − ())ãäå(3.114)åñòü ëîãàðèôì èç (3.77),1 = () 2 0 + 2 () Λ1 0 + () Λ0 Λ1 1 + () Λ1 2 0 −3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ1 2 ,2 = () 2 0 + 2 () Λ1 0 + () Λ0 Λ1 1 + () Λ1 2 0 −3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ1 2 ,Λ0 Λ1 1 ( + Λ0 + Λ1 ) √,3 = 20 = 2 0 2 − 2 2 0 1 + 2 21 − 2 Λ0 0 1 + 2 Λ0 21 + 2 Λ1 20 −2 Λ1 0 1 + Λ0 2 21 + 2 Λ0 Λ1 0 1 + Λ21 20 è = −2 0 + 2 1 − 2 Λ0 0 +2 Λ0 1 +Λ20 1 +Λ0 Λ1 0 +Λ0 Λ1 1 +Λ21 0 .

Èç óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòèïðåäåëà î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî > 0. Êðîìå òîãî, èç Ïðåäëîæåíèÿñëåäóåò, ÷òî 1 < 0. Äàëåå, ïîêàæåì, ÷òî 2 < 0. Ýòî íåðàâåíñòâîãäåìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â ñëåäóþùåì âèäå:(︀)︀ √− 2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 < 3 20 − 3 0 1 −2 Λ0 0 1 + 32 Λ1 20 − 22 Λ1 0 1 + Λ0 Λ1 0 1 + Λ0 Λ1 21 +3 Λ21 20 − Λ21 0 1 + Λ20 Λ1 21 + 2 Λ0 Λ21 0 1 + Λ31 20 .108Åñëè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî, íåðàâåíñòâî äîêàçàíî, òàêêàê âûðàæåíèå ñïðàâà ïîëîæèòåëüíî. Åñëè îíî îòðèöàòåëüíî, âîçâåäåì â êâàäðàò îáå ñòîðîíû è ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ïîëó÷èì44 Λ0 Λ1 0 31 + 83 Λ20 Λ1 0 31 + 83 Λ0 Λ21 0 31 + 42 Λ30 Λ1 0 31 +82 Λ20 Λ21 0 31 + 42 Λ0 Λ31 0 31 < 0.Ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíåíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè.Äàëåå,dd () − () =dd2 − 2 0 1 + 21 − Λ0 0 1 + Λ0 21 + Λ1 20 − Λ1 0 1√> 0.− 00 1Íàêîíåö, äîêàæåì, ÷òî > 0,3 < 0.Ýòî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíîêîòîðîå ìû äîêàæåì, èñïîëüçóÿ óñëîâèÿ ïîëîæèòåëüíîñòèïîðîãîâ: = −2 0 + 2 1 − 2 Λ0 0 + 2 Λ0 1 + Λ0 2 1 + Λ0 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 +Λ1 2 0 > −2 2 0 + 2 1 − 2 Λ0 0 + 2 Λ0 1 − 2 Λ1 0 + Λ0 2 1 +Λ0 Λ1 0 > −2 2 0 + 2 1 − 3 Λ0 0 + 2 Λ0 1 − 2 Λ1 0 > 0. ñîâîêóïíîñòè äîêàçàííûå íåðàâåíñòâà ãàðàíòèðóþò èñòèííîñòü(3.114).Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî ïðîâåñòè àíàëèç çàâèñèìîñòè ñóììàðíîé ïðèáûëè ôèðìû îò ïîðîãà.

Çàìåòèì, ïîñêîëüêó ñðåäíåå âðåìÿ,, ïðîïîðöèîíàëüíî 1/Λ , òî ñðåä01ïðîïîðöèîíàëåíΛ0 + Λ1 . Åñòåñòâåííîêîòîðîå ôèðìà ïðîâîäèò â ðåæèìåíèé ïîòîê ïðèáûëè ôèðìûîæèäàòü, ÷òî ïîâåäåíèå ôèðìû áóäåò çàâèñåòü îò çíàêà ýòîé âåëè÷èíû. È äåéñòâèòåëüíî, ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî åñëèΛ0 1 + Λ1 0 > 0(ýòî ñîîòíîøåíèå ñëåäóåò èç óñëîâèÿ ïîëîæèòåëü-íîñòè ïîðîãîâ), òî ïðèáûëü ôèðìû óâåëè÷èâàåòñÿ ñ ðîñòîì ïîðîãà(â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòà ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé, â ìîäåëèâûãîäíà äîëãîñðî÷íàÿ ñòðàòåãèÿ).109Ãðàôèê 3.3: Çàâèñèìîñòüäèñêîíòèðîâàííîéïðèáûëè îò ïîðîãà ïðè0 = 0.5, 1 =1, Λ0 = 1, Λ1 = 1.ïàðàìåòðàõÏîëó÷åííûå â ýòîì ïàðàãðàôå ðåçóëüòàòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,÷òî äèíàìèêà îòðàñëè, â êîòîðîé ýâîëþöèÿ äåíåæíûõ ðåçåðâîâ îïèñûâàåòñÿ òåëåãðàôíûì ïðîöåññîì, õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì æå ñòðóêòóðíûì ñäâèãîì, ÷òî è â ìîäåëè, îïèñàííîé â êîíöå ïàðàãðàôà 3.1.110Çàêëþ÷åíèå ðàáîòå ðàññìîòðåíà ñðàâíèòåëüíàÿ ñòàòèêà è äèíàìèêà ìîäåëåéìîíîïîëèñòè÷åñêîé êîíêóðåíöèè.

Характеристики

Список файлов диссертации