Диссертация (1138224), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Óñëîâèå2* > 1, > 0 î÷åâèäíî ýêâèâàëåíòíî÷òî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ1 2 00 1)︀ √< 0.Ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïðèõîäèì ê óñëîâèþ ïîëîæèòåëüíîñòè ïîðîãîâ:( + Λ1 )2 0 + Λ0 Λ1 1 > 0.93(3.79)0 < 1 . Ìû ñíîâàíèæíåé îáëàñòè [0, ], êàê èÑëó÷àé 2.ñòè. Âäîëæíû ðàññìîòðåòü òðè îáëàâ ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ôóíêöèÿîïèñûâàåòñÿ (3.55), ÷òî ïðèâîäèò ê (3.64), íî ãðàíè÷íîå óñëîâèåòåïåðü èìååò âèä (0, )= 1:(︀)︀ (1, 0) Λ0 −e + e= 1.0 ( − )Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (3.64), ïîëó÷èì (0, ) =e − ee (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e.,(1,)=−e + eΛ0 (−e + e )(3.80)Äëÿ ñðåäíåé îáëàñòè, àíàëîãè÷íî Ñëó÷àþ 1, èìååì (0, ) = − + (0, ), ∈ [, ].Ôóíêöèÿ (1, ·)(3.81)îïèñûâàåòñÿ (3.55).

Ïîäñòàâëÿÿ (3.81) â (3.55) è ðå-øàÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì (1, ) =(+Λ1 )( (0, ) + Λ1 (0, ) − + − Λ1 + Λ1 + 1 ) Λ11.+e( + Λ1 )2(3.82)Ñíîâà (1, − )íàëîæèì=äâàóñëîâèÿ: (1, − )= (1, + )è (1, + ), íî îíè îêàçûâàþòñÿ èäåíòè÷íûìè:˜ − e˜ ) − (+Λ1 )Λ1 1 − (+Λ 1 ) (1, 0) (e1=−+e 1 ,2e(−)(+Λ)( + Λ1 )01˜ = −0 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1 è ˜ = −0 − Λ1 0 + 2 +Λ0 + Λ1 . Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â (3.82), ïîëó÷èìãäå(︃)︃(︀)︀( + Λ1 ) e − eΛ1− + − Λ1 + Λ1 + 1 + (1, ) =−e + e( + Λ1 )2(︁)︁˜ + e˜ 1 −e(+Λ1 )(−)1e.2( + Λ1 ) Λ0 (e − e )(3.83)94Òåïåðü ðàññìîòðèì íåêîòîðûå óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðåøåíèå, è ïîêàæåì, ÷òî îíè íåñîâìåñòíû.Óñëîâèå 1. (1, )|=≥1ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê (0 − − Λ0 ) e + (−0 + + Λ0 ) e≥ 1.Λ0 (−e + e )Çíàìåíàòåëü âñåãäà ïîëîæèòåëåí, ñëåäîâàòåëüíî íåðàâåíñòâî ìîæåòáûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀)︀−0 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1 e−+ +0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 ≥ 0,÷òî åñòü â òî÷íîñòèe−+ ≥ 1* .Óñëîâèå 2.

Íåðàâåíñòâî (3.52) â ñðåäíåé îáëàñòè äëÿ = 0 ìîæåòáûòü ïåðåïèñàíî êàê (1, ) ≤Λ0 + 0( − + (0, )) − .Λ0Λ0(3.84)Óñëîâèå 3. Êîíå÷íîñòü ñðåäíåé îáëàñòè:−+−Λ1 +Λ1ΘΛ11, (1, ) = −e+1 ( + Λ1 ) Λ0 (e − e ) + Λ1ãäåΘ = e 2 0 + 2 e Λ1 0 + e Λ0 Λ1 1 + e Λ1 2 0 − e 2 0 − 2e Λ1 0 −− e Λ0 Λ1 1 − e Λ21 0 − e 3 − e 2 Λ0 − 2 e 2 Λ1 − e Λ0 Λ1 − e Λ21 ++ e 3 + e 2 Λ0 + 2 e 2 Λ1 + e Λ0 Λ1 + e Λ21 .Åñëè ìû õîòèì, ÷òîáû ñðåäíÿÿ îáëàñòü áûëà êîíå÷íà, ìû äîëæíûïîòðåáîâàòü, ÷òîáû êîýôôèöèåíò ïðè ýêñïîíåíòå áûë îòðèöàòåëåí,÷òî âëå÷åòΘ < 0,÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀)︀−2 0 − 2 Λ1 0 − Λ0 Λ1 1 − Λ21 0 + 3 + 2 Λ0 + 2 2 Λ1 + Λ0 Λ1 + Λ21 ×e−+ + 2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 −− 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21 ≤ 0.95e−+ ≤ 2* .Ýòî â òî÷íîñòèÍî óæå ïîêàçàíî, ÷òî1* > 2* ,ñëåäîâàòåëüíî Óñëîâèÿ 1 è 3 íå ìîãóò áûòü âûïîëíåíû îäíîâðåìåííî. Óñëîâèå 1 íå ìîæåò áûòü íàðóøåíî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàðóøàåòñÿ óñëîâèå 3, òî åñòü âåðõíåãî ïðåäåëà íå ñóùåñòâóåò.

Íî åñëèïîëîæèòåëüíà, (1, )Θâîçðàñòàåò ýêñïîíåíöèàëüíî, ñëåäîâàòåëüíî.Óñëîâèå 2 íàðóøåíî äëÿ áîëüøèõÓñëîâèå 2 íå ìîæåò áûòü íà-ðóøåíî äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, ñëåäîâàòåëüíî ìû ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî â Ñëó÷àå 2 ðåøåíèé óðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà íåò. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì êÒåîðåìà 3.2.2. Ïóñòü ïàðàìåòðû ìîäåëè òàêîâû, ÷òî (3.79) âûïîëíåíî. Òîãäà ïîðîãè è , îïðåäåëåííûå óðàâíåíèÿìè (3.77) è (3.78)ñîîòâåòñòâåííî, ïîëîæèòåëüíû, è ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíàßêîáè-Áåëëìàíà (3.54) åñòü (0, ) =⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨Λ0 (e −e ), ≤ ,−e(︁+eΛ0e −e− + Λ0 + e −e22Λ0 0 ( e −2 e ))︁− Λ0 + Λ 0 + 0 +(Λ0 +)(−)0, ∈ (, ],2 +e + e +e)0 +) (e⎪)︁(︁ ) ( ⎪⎪Λ0e −e⎪ − + Λ0 + e −e − + − Λ0 + Λ0 + 0 +⎪⎪⎪⎪(Λ0 +)( −)⎪Λ0 20 (2 e −2 e )⎪0⎩ +, > ,e(Λ0 +)2 (e +e )+(e +e )e+ (Λ(3.85){︃ (1, ) =ãäå−e +e, ∈ [0, ],−e +e−e +e − + −e +e , (3.86)> , = −0 ++Λ0 , = −0 ++Λ0 è ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòðàòåãèÿâûïëàòû äèâèäåíäîâ åñòü () = ( − ) 1{=1} + ( − ) 1{=0} +*++∫︁1 1{()=1,()=} .0Òàêèìîáðàçîì,îïòèìàëüíàÿîïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïîðîãàìèñòðàòåãèÿè96.âûïëàòûäèâèäåíäîâ îáëàñòè íèæåôèðìàíå äîëæíà ïëàòèòü äèâèäåíäîâ â ëþáîì ñîñòîÿíèè ìèðà.

 îáëà-èâûøå óðîâíÿâ êà÷åñòâå äèâèäåíäîâ, åñëè ñîñòîÿíèå ìèðà åñòüñòè ìåæäóôèðìà äîëæíà íåìåäëåííî âûïëàòèòü èçëèøåê1, è íå ïëàòèòü äèâèäåíäîâ, åñëè ñîñòîÿíèå ìèðà åñòü 0. Ýòî ìîæåòâûãëÿäåòü íåñêîëüêî êîíòðèíòóèòèâíî â ñîñòîÿíèè 0 ôèðìà òåðÿåòäåíüãè, è êîãäà ñîñòîÿíèå ìèðà ïåðåêëþ÷àåòñÿ â 1, îíà ïëàòèò èçëèøåê âûøå.Ïî÷åìó íå âûïëàòèòü äèâèäåíäû äî ïåðåêëþ÷åíèÿ?Îòâåò ñîñòîèò â òîì, ÷òî â ñëó÷àå âûïëàòû äèâèäåíäîâ äî ïåðåêëþ÷åíèÿ, ôèðìà äàëåå íåñåò ïîòåðè, òàê êàê ñîñòîÿíèå ìèðà åñòü 0, à âñëó÷àå âûïëàòû â ìîìåíò ïåðåêëþ÷åíèÿ ôèðìà îêàçûâàåòñÿ â ïîðîãîâîì çíà÷åíèè è â ñîñòîÿíèè ìèðà 1, è ñëåäîâàòåëüíî, çàðàáàòûâàåòåùå íåêîòîðóþ ñóììó äî ñëåäóþùåãî ïåðåêëþ÷åíèÿ. Íàêîíåö, åñëèêîëè÷åñòâî äåíåã ôèðìû ïðåâîñõîäèò,â îáåèõ ñîñòîÿíèÿõ ìèðàîíà äîëæíà íåìåäëåííî âûïëàòèòü èçëèøåê íàä óðîâíåìñòâå äèâèäåíäîâ (à çàòåì òàêæå èçëèøåê íàäâ êà÷å-, åñëè ñîñòîÿíèå ìèðàåñòü 1).3.2.3ÂÏðîâåðêà ðåøåíèÿýòîìïàðàãðàôåìûïîêàçûâàåì,÷òîðåøåíèÿóðàâíåíèÿÃàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, îïèñàííîå â Òåîðåìå 3.2.2, äåéñòâèòåëüíî îïðåäåëÿåò ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîé âûïëàòû äèâèäåíäîâ.Òåîðåìà 3.2.3.Ïóñòüåñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà (3.54).

Òîãäàåñòü öåëåâàÿ ôóíêöèÿ çàäà÷è (3.49)è àññîöèèðîâàííàÿ ñòðàòåãèÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ îïòèìàëüíà.Äîêàçàòåëüñòâî.Ïóñòü(·) íåêîòîðîå äîïóñòèìîå óïðàâ-Φ, è ïóñòü () = () = () − () ñîîòâåòñòâåííî÷àñòè . Òàêæå îáîçíà÷èì (, , ) =ëåíèå. Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî åãî ðàçðûâîâ∑︀∈Φ,≤ ((+ )− ())èðàçðûâíàÿ è íåïðåðûâíàÿe− (, ).Èìååì97E, (, (), ()) =]︂[︂ (, (), ()) ()+() (, (), ()) + (, (), ()) −[ (, (), (+ )) − (, (), ())]∈Φ +[−Λ() (, (), ()) + Λ() (, 1 − (), ())] =e− [(() − − Λ() )((), ()) + Λ() (1 − (), ())]−− e− ((), ()) () + e− [((), (+ )) − ((), ())]∈Φ .Èíòåãðèðóÿ ýòî âûðàæåíèå, ïîëó÷èì−(∧ )e∫︁∫︁(( ∧ ), ( ∧ )) = (, ) +∧e− ()−0∧0+e− ((), ()) ()+∑︁e− (((), (+ )) − ((), ())) ,0≤≤∧,∈Φ() = () ((), ())−((), ())−Λ() ((), ())+Λ() (1−(), ()). Âçÿâ óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, ïîãäåëó÷èì[︀]︀E, e−(∧ ) (( ∧ ), ( ∧ ))]︂]︂[︂∫︁ ∧[︂∫︁ ∧−− ((), ()) () += (, ) + E,e () − E,e00[︃]︃∑︁E,e− (((), (+ )) − ((), ())) .0≤≤∧,∈ΦÍåðàâåíñòâî (3.52) ãàðàíòèðóåò, ÷òî ïîäûíòåãðàëüîå âûðàæåíèå âïåðâîì èíòåãðàëå íåïîëîæèòåëüíî, è íåðàâåíñòâî (3.53) ãàðàíòè- ∈ Φ ((), (+ )) − ((), ()) ≤(+ ) − () = () − (+ ).

Òàêæå èç (3.53) ñëåäóåò, ÷òîe− ((), ()) ≥ e− . Ñëåäîâàòåëüíî,ðóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî[︁−(∧ )E, e[︂∫︁]︁(( ∧ ), ( ∧ )) ≤ (, )−E,098∧e−]︂() .Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ñòðàòåãèè âûïëàòû äèâèäåíäîâ ,àññîöèè-ðîâàííîé ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà, ýòîíåðàâåíñòâî ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì. Â ñàìîì äåëå, äëÿ ýòîé ñòðàòåãèè() = 0ïî÷òè âñþäó, ñëåäîâàòåëüíî, ïåðâûé èíòåãðàë ðàâåí íóëþ.Íåïðåðûâíûé ïîòîê äèâèäåíäîâ ñîîòâåòñòâóåò() = è = 1,è (1, ())|()== 1.

Íàêîíåö, â òî÷êàõ ðàçðûâà ((), (+ )) − ((), ()) = (+ ) − (). Ñëåäîâàòåëüíî,âçÿâ ïðåäåë → +∞, ïîëó÷èììû òàêæå çíàåì, ÷òî[︂∫︁∧(, ) ≥ E,−e]︂()0äëÿ ïðîèçâîëüíîé ñòðàòåãèè âûïëàòû äèâèäåíäîâ, ïðè÷åì èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî äëÿ ñòðàòåãèè, àññîöèèðîâàííîé ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-Áåëëìàíà (3.54). Òåîðåìà äîêàçàíà.Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ â ìîäåëè, â êîòîðîé êàïèòàë ôèðìû îïèñûâàåòñÿ òåëåãðàôíûì ïðîöåññîì, èìååò ïîðîãîâûé òèï, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðåçóëüòàòàìäëÿ ìîäåëåé ñ äèôôóçèåé è ìàðêîâñêèì ïåðåêëþ÷åíèåì ðåæèìîâ.Îäíàêî, äëÿ âûâåäåíèÿ ïîðîãîâ íàì ïðèøëîñü ïðîâåñòè äîâîëüíîòùàòåëüíûé àíàëèç âàðèàöèîííûõ íåðàâåíñòâ, áåç ÷åãî óäàåòñÿ îáîéòèñü â ìîäåëÿõ ñ äèôôóçèåé.3.3Äèíàìèêà ôèðìû â ìîäåëè c òåëåãðàôíûì ïðîöåññîì èçìåíåíèÿ êàïèòàëà3.3.1Òåëåãðàôíûé ïðîöåññ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè ñ ïîãëîùàþùåé íèæíåé ãðàíèöåé è îòðàæàþùåé ñ çàäåðæêîé âåðõíåé ãðàíèöåéÐàññìîòðèì òåëåãðàôíûé ïðîöåññ[0, ]()â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè > 0.

Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïàðàãðàôó,âîçìîæíû äâà ðåæèìà () ∈ {0, 1}, îïðåäåëÿåìûõ ñêîðîñòÿìè äðåéôà 0 < 0 äëÿ ðåæèìà = 0 è 1 > 0 äëÿ ðåæèìà = 1. ×àñòîòûñìåí ðåæèìà îáîçíà÷èì Λ0 > 0 (äëÿ ïåðåêëþ÷åíèÿ èç ðåæèìà 0 âäëÿ íåêîòîðîãî99ðåæèì 1) andΛ1 > 0(äëÿ ïðîòèâîïîëîæíîãî ïåðåêëþ÷åíèÿ). Ïðî-öåññ íà÷èíàåòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå(0) ∈ [0, ] â íåêîòîðîì ðåæèìå(0) ∈ {0, 1}. Êîãäà () âïåðâûå ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíîé, ïðîöåññîñòàíàâëèâàåòñÿ.

Êîãäà () ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì , ïðîöåññ íàõîäèòñÿ â äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîèñõîäèò ïåðåêëþ÷åíèå â ðåæèì 0. Äëÿòîãî, ÷òîáû îïèñàòü ýâîëþöèþ ïðîöåññà, ââåäåì ôóíêöèè (, ) = (() ≥ , () = ).(3.87)Îïðåäåëåíèå ïðîöåññà âåäåò ê ñëåäóþùåìó îïèñàíèþ äèíàìèêè: ( + Δ, ) = (1 − Λ Δ) (, − Δ) +Λ1− Δ1− (, ) + (Δ), ∈ {0, 1}äëÿ ìàëûõΔ,(3.88)÷òî ïðèâîäèò ê ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-íèé{︃ 0 (, ) 1 (, )= −0 0 (, ) − Λ0 0 (, ) + Λ1 1 (, ) ,= −1 1 (, ) − Λ1 1 (, ) + Λ0 0 (, ) .(3.89)=0è=â0 (, − 0 Δ) = 0.×òîáû âûâåñòè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ïîäñòàâèì(3.88) è çàìåòèì, ÷òî1 (, −1 Δ) = 1 (, 0)èÏîñëå íåñëîæíûõ âû÷èñëåíèé ïîëó÷èì1 (, 0) = 0, 0 (, ) = 0.(3.90)Íàøà öåëü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðåøèòü ñèñòåìó (3.89) ñ ãðàíè÷íûìèóñëîâèÿìè (3.90).

Äëÿ ýòîãî ìû óìíîæàåì îáà óðàâíåíèÿ íàíåêîòîðîãî ïðîèçâîëüíîãî{︃ 0 (, ) 1 (, )è èíòåãðèðóåì èõ ïîe−Aäëÿ:∫︀ = −0 0 e− 0 (, ) d − Λ0 0 (, ) + Λ1 1 (, ) ,∫︀ − = −1 0 e 1 (, ) d − Λ1 1 (, ) + Λ0 0 (, ) ,(3.91)ãäå∫︁ (, ) =e− (, ) d, ∈ {0, 1}.0100(3.92)Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì è èñïîëüçóÿ âåðõíåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå, ïîëó÷èì{︃ 0 1(, ) = 0 () − 0 0 (, ) − Λ0 0 (, ) + Λ1 1 (, ) ,(, ) = −1 e− () + 1 () − 1 1 (, ) − Λ1 1 (, ) + Λ0 0 (, ) ,(3.93)ãäå0 (, 0) = () , 1 (, ) = () , 1 (, 0) = () .Ïðèìåíÿÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïîê(3.93), ïîëó÷èì˜ () Λ1 1 e− Λ1 1 ˜ ()(1 + + Λ1 ) 0 ˜ ()˜ 0 (, ) = − +++( − ) ( − ) ( − ) ( − )( − ) ( − )(1 + + Λ1 ) 0 (0, )Λ1 1 (0, )+,( − ) ( − )( − ) ( − )˜ () 1 (0 + + Λ0 ) e− 1 (0 + + Λ0 ) ˜ ()˜1 (, ) = −++( − ) ( − )( − ) ( − )Λ0 0 ˜ ()(0 + + Λ0 ) 1 (0, )Λ0 0 (0, )++,( − ) ( − )( − ) ( − )( − ) ( − )ãäå(3.94)(3.95) åñòü ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, òèëüäà îçíà÷àåò ïðåîá-ðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñîîòâåòñòâóþùåé ôóíêöèè è√√−0 − 1 − − Λ0 − Λ1−0 − 1 + − Λ0 − Λ1=, =,22 = 2 20 − 2 2 0 1 + 2 21 + 2 Λ0 0 − 2 Λ0 1 − 2 Λ1 0 + 2 Λ1 1 +(3.96)Λ20 + 2 Λ0 Λ1 + Λ21 .Äîêàæåì ïðîñòîåÓòâåðæäåíèå 3.3.1.àáñîëþòíûõ çíà÷åíèÿõ2.1.

Характеристики

Список файлов диссертации