Диссертация (1138224), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Òåïåðü ïðîàíàëèçèðóåì äâà ñëó÷àÿ.Ñëó÷àé 1. 0 ≥ 1 .  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì òðè îáëàñòè. Âíèæíåé îáëàñòè [0, ], êàê ñëåäóåò èç (3.52), ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿâàòåëüíî, ñóùåñòâóþòóðàâíåíèåì (, ) − (Λ + ) (, ) + Λ (1 − , ) = 084(3.55) ∈ {0, 1}äëÿñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì (0, 0) = 0.Ïðèìåíÿÿ ïðåîá-ðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ïîëó÷èì ℒ (, ) − (, 0) = −ãäåΛ ℒ (1 − , ) ℒ (, ) Λ ℒ (, ) ++,ℒ(, ) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà (, ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè-õîäèì ê (1, 0) Λ0 1, 2 0 1 − 0 − 1 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1− (1, 0) 0 1 + (1, 0) 1 + (1, 0) Λ0 1.ℒ (1, ) = − 2 0 1 − 0 − 1 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1ℒ (0, ) = −(3.56)Ðàññìàòðèâàÿ çíàìåíàòåëü êàê êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîì,ìû ìîæåìïåðåïèñàòü (3.56) êàê (1, 0) Λ0,0 ( − ) ( − )− (1, 0) 0 1 + (1, 0) 1 + (1, 0) Λ0 1ℒ (1, ) = −,1 0 ( − ) ( − )ℒ (0, ) = −(3.57)ãäå0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 +=21 0√0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 −, =21 0√(3.58)è = 2 0 2 − 2 2 0 1 + 2 21 − 2 Λ0 0 1 + 2 Λ0 21 ++ 2 Λ1 20 − 2 Λ1 0 1 + Λ20 21 + 2 Λ0 Λ1 0 1 + Λ21 20 .(3.59)Âûâåäåì íåêîòîðûå íåðàâåíñòâà, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàíû äàëåå.Ëåììà 3.2.1.Äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ìîäåëü ñïðàâåä-ëèâû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà.85 < 0 è > 0.22.
−0 − Λ0 1 − Λ1 0 + + Λ0 + Λ1 > 0.23. 0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 − − Λ0 − Λ1 < 0.223224. − 0 −2 Λ1 0 −Λ0 Λ1 1 −Λ1 0 + + Λ0 +2 Λ1 +Λ0 Λ1 +1.Λ21> 0.Äîêàçàòåëüñòâî.1. Íåðàâåíñòâî < 0ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíîêàê√ < −(0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 ).Åñëè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ ïîëîæèòåëüíî, íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî âåðíî. Åñëè îíî îòðèöàòåëüíî, âîçâîäèì â êâàäðàò îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà è ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ïîëó÷àåì4 2 0 1 + 4 Λ0 0 1 + 4 Λ1 0 1 < 0,÷òî âñåãäà âåðíî. Íåðàâåíñòâî>0(3.60)òàêæå ñâîäèòñÿ ê (3.60).2. Ïîäñòàâëÿÿ (3.58), ïîëó÷èì√(0 + Λ0 1 + Λ1 0 ) < 2 20 − 2 0 1 +Λ0 21 + 2Λ1 20 − Λ1 0 1 + Λ20 1 2 + 2 Λ0 Λ1 0 1 + Λ21 20 .Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà âñåãäà ïîëîæèòåëüíî.
Åñëè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â ëåâîé ÷àñòè îòðèöàòåëüíî, äîêàçàòåëüñòâîçàâåðøåíî. Åñëè îíî ïîëîæèòåëüíî, âîçâîäèì â êâàäðàò îáå ÷àñòèíåðàâåíñòâà è ïîëó÷àåì− 4 3 Λ0 20 21 + 4 3 Λ0 0 31 − 4 2 Λ20 20 21 + 4 2 Λ20 0 31 −4 2 Λ0 Λ1 20 21 + 4 2 Λ0 Λ1 0 31 < 0,÷òî âñåãäà âåðíî.3. Ïîäñòàâëÿÿ (3.58), ïîëó÷èì√(0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 ) <2 20 + 2 21 + 2 Λ0 21 + 2 Λ1 0 2 + Λ20 21 + 2 Λ0 Λ1 0 1 + Λ21 2086Åñëè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ îòðèöàòåëüíî, íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.
Åñëè îíî ïîëîæèòåëüíî, âîçâîäèì â êâàäðàò îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà èïîëó÷àåì0 < 4 4 20 21 + 8 3 Λ0 20 21 + 8 3 Λ1 20 21 +4 2 Λ20 20 1 2 + 8 2 Λ0 Λ1 20 21 + 4 2 Λ21 20 21 ,÷òî âñåãäà âåðíî.4. Ïîäñòàâëÿÿ (3.58), ïîëó÷èì(︀ 2)︀ √ 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 < 3 20 − 3 0 1 − 2 Λ0 0 1 +3 2 Λ1 20 − 2 2 Λ1 0 1 + Λ0 Λ1 0 1 + Λ0 Λ1 21 + 3 Λ21 0 2 − Λ21 0 1 +Λ20 Λ1 1 2 + 2 Λ0 Λ21 0 1 + Λ31 20 .Âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà âñåãäà ïîëîæèòåëüíî.
Äåéñòâèòåëüíî, îíî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀)︀Λ0 Λ1 21 + Λ20 Λ1 21 + 3 Λ1 2 − 3 2 Λ1 + 3 + Λ31 20 −(︀)︀− 1 3 + Λ1 2 − 2 Λ0 Λ21 + 2 2 Λ1 0 .(3.61)Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî íåðàâåíñòâà ñîñòîèò âòîì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè20ïîëîæèòåëåí:3Λ21 − 32 Λ1 + 3 + Λ31 > 0.Êóáè÷åñêèé ïîëèíîì â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà èìååò îäèí íîëüΛ1 −√32Λ1ïî,êîòîðûé îòðèöàòåëåí, è ýòîò ïîëèíîì ïîëîæèòå-ëåí äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé,ñëåäîâàòåëüíî îí âñåãäà ïîëîæèòåëåí,è íåîáõîäèìîå óñëîâèå âûïîëíåíî.
Çàìåòèì òàêæå, ÷òî (3.61) ïîëîæèòåëüíî ïðè0 = 00 = 0.Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ïðîèçâîäíàÿ (3.61) âíåïîëîæèòåëüíà, íåðàâåíñòâî äîêàçàíî. Ïðåäïîëîæèì, îíàïîëîæèòåëüíà:−1 3 − Λ21 1 + 2Λ0 Λ21 1 − 22 Λ1 1 > 0.87(3.62)Ìàêñèìóì (3.61) äîñòèãàåòñÿ ïðè(︀ 3)︀222+Λ−2ΛΛ+2Λ1 110 11˜0 =.2323 Λ1 − 3 2 Λ1 + 3 + Λ1Çíà÷åíèå (3.61) â ýòîé òî÷êå åñòü21 ϒ1,−4 3 Λ21 − 3 2 Λ1 + 3 + Λ31(3.63)ãäåϒ = 5 + 4 Λ1 4 + 6 3 Λ21 + 4 2 Λ31 + Λ41 −(︀)︀(︀)︀− 4 Λ1 −3 Λ1 + 2 + 3 Λ21 Λ20 − 4 Λ1 3 − 2 2 Λ1 + 2Λ31 + 5Λ21 Λ0 .Äëÿ òîãî, ÷òîáû (3.63) áûëî ïîëîæèòåëüíî,ϒäîëæåí áûòü îòðè-öàòåëåí, òàê êàê ðàíåå ïîêàçàíî, ÷òî âûðàæåíèå â çíàìåíàòåëå, êàêïîêàçàíî ðàíåå, ïîëîæèòåëüíî. Êîýôôèöèåíò ïðèΛ20âϒîòðèöàòå-ϒ îòðèöàòåëåí ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ Λ0 .
Òåïåðüìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå, Λ0 îïðåäåëåííîå (3.62):ëåí, ñëåäîâàòåëüíîðàññìîòðèìΛ̃0 =Çíà÷åíèåϒâ1 1 3 + Λ21 1 + 2 2 Λ1 1.21 Λ21ýòîé òî÷êå åñòüϒ(Λ̃0 ) = − (3 Λ21 + 2 Λ1 + 2 ) (3 Λ21 − 32 Λ1 + 3 + Λ31 ) (Λ1 + )2< 0.Λ31Îñòàëîñü äîêàçàòü, ÷òî ïðîèçâîäíàÿϒâ òî÷êåΛ*0îòðèöàòåëüíà. Âñàìîì äåëå,ϒ|Λ0 =Λ*0 = −4Λ0(︀2Λ21 + 2 Λ1 + 2)︀ (︀)︀3Λ21 − 3 2 Λ1 + 3 + Λ31< 0.Λ1Ëåììà äîêàçàíà.Òåïåðü îáðàòèì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà â (3.57) è ïîëó÷èì88)︀(︀ (1, 0) Λ0 e − e (0, ) =, ∈ [0, ],0 ( − ))︀(︀ (1, 0) e (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e (1, ) =, ∈ [0, ].0 ( − )Ïîðîãîâîå çíà÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿóñëîâèåì (1, )(︀)︀ (1, 0) e (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e= 1.0 ( − )(3.64)= 1:(3.65)Ïîäñòàâëÿÿ (3.65) â (3.64), ïîëó÷èì(︀)︀Λ0 e − e, ∈ [0, ], (0, ) = e (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) ee (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e (1, ) = , ∈ [0, ].e (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e(3.66)[, ].  íåé ôóíêöèÿ (1, ) = 1.
Èíòåãðèðóÿ åå è èñ-Òåïåðü ðàññìîòðèì ñðåäíþþ îáëàñòü (1, ·)îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìïîëüçóÿ î÷åâèäíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå, ïîëó÷èì (1, ) = − + (1, ), ∈ [, ].Ôóíêöèÿ (0, ·)(3.67)îïèñûâàåòñÿ (3.55). Ïîäñòàâëÿÿ (3.67) â (3.55) è ðå-øàÿ äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì(Λ0 +)(( − + (1, ))( + Λ0 ) + 0 ) Λ00+Ce, ∈ [, ].2(Λ0 + ) (0, ) =(3.68)Ïîñêîëüêó (0, ·)ïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé,ìû íàêëàäûâàåì äâà óñëîâèÿ: (0, − ) = (0, + )è (0, − )= (0, + ), íî îíè îêàçûâàþòñÿ èäåíòè÷íûìè:=−(︀(︀)︀)︀Λ0 (1, 0) (Λ0 + ) e − e + 0 ( − )( − ) (Λ0 + )2e−(Λ0 +)0.(3.69)89Ïîäñòàâëÿÿ (3.69) â (3.68) è òàêæå ïîäñòàâëÿÿ (1, ), íàéäåííîå èç(3.66), ïîëó÷èì(︂)︂e − eΛ0 (0, ) =− + − Λ0 + Λ0 + 0 +Λ0 + e − e(︀)︀Λ0 (−)+(−)Λ0 20 2 e − 2 e0e, ∈ [, ],(Λ0 + )2 (e + e ) + (e + e )ãäå(3.70) = −0 + + Λ0 , = −0 + + Λ0 .Òåïåðü ðàññìîòðèì óñëîâèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ðå-øåíèå.Óñëîâèå 1.
(0, )≥ 1 äëÿ ∈ [0, ]. ×òîáû îáåñïå÷èòü âûïîëíåíèå ýòîãî íåðàâåíñòâà, ìû ìîæåì ïîòðåáîâàòü (0, )|= ≥ 12è2 (0, ) ≤ 0 äëÿ ∈ [0, ]. Ïåðâîå íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòüïåðåïèñàíî êàê(︀)︀Λ0 e − e≥ 1. (0 − − Λ0 ) e + (−0 + + Λ0 ) e(3.71)Ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé, çíàìåíàòåëü ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíêàê(︀)︀(︀)︀0 ( + Λ1 ) e − e + (Λ0 + + Λ1 ) e − e ,è ñëåäî-âàòåëüíî âñåãäà ïîëîæèòåëåí. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî (3.71) ýêâèâàëåíòíî(︀)︀−0 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1 e−+ ++ 0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 ≤ 0.Ïóíêò 2 Ëåììû 3.2.1 óòâåðæäàåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ýêñïîíåíòå âñåãäà ïîëîæèòåëåí.
Ñëåäîâàòåëüíî, ýòî íåðàâåíñòâî ìîæåò áûòüïåðåïèñàíî êàêe−+ ≤ 1* =0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1.0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1Òåïåðü ðàññìîòðèì íåðàâåíñòâîÎíî ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê9022 (0, )≤ 0äëÿ(3.72) ∈ [0, ].(︀)︀0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 e−+ −− 0 − 1 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1 ≥ 0.(3.73)Ïóíêò 3 Ëåììû 3.2.1 óòâåðæäàåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ýêñïîíåíòåâñåãäà îòðèöàòåëåí. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè (3.72) âûïîëíåíî, òî (3.73)òàêæå âûïîëíåíî.
 ñàìîì äåëå,e−+ ≤ e−+ ≤ 1* ,ñëåäîâà-òåëüíî(︀)︀0 + 1 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 e−+ −− 0 − 1 − Λ0 1 − Λ1 0 + 2 + Λ0 + Λ1 >−2 ( + Λ0 + Λ1 ) (0 − 1 + 2 Λ0 0 − Λ0 1 + Λ1 0 )> 0.0 (0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 )Óñëîâèå 2. (1, )≥1äëÿ ∈ [0, ].Ýòî íåðàâåíñòâî ìîæåòáûòü ïåðåïèñàíî êàêe (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e> 1, ∈ [0, ] ≥ 1.e (0 − − Λ0 ) + (−0 + + Λ0 ) e÷òî î÷åâèäíî ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ, ÷òî ôóíêöèÿ â ÷èñëèòåëå èìååòîòðèöàòåëüíóþ ïðîèçâîäíóþ äëÿ âñåõ ∈ [0, ].Ýòî óñëîâèå ïîñëåíåêîòîðûõ óïðîùåíèé ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀)︀−2 0 − 2 Λ1 0 − Λ0 Λ1 1 − Λ21 0 + 3 + 2 Λ0 + 2 2 Λ1 + Λ0 Λ1 + Λ21 ×e−+ ≤ −2 0 − 2 Λ1 0 − Λ0 Λ1 1 − Λ21 0 +3 + 2 Λ0 + 2 2 Λ1 + Λ0 Λ1 + Λ21 , ∈ [0, ].(3.74)×àñòü 4 Ëåììû óòâåðæäàåò, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè ýêñïîíåíòå âñåãäàïîëîæèòåëåí. Åñëè âûðàæåíèå â ñêîáêàõ â ëåâîé ÷àñòè îòðèöàòåëüíî,íåðàâåíñòâî äîêàçàíî.
Åñëè îíî ïîëîæèòåëüíî, âîçâîäèì â êâàäðàòîáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà è ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ïîëó÷àåì0 < −44 Λ0 Λ1 0 31 − 83 Λ20 Λ1 0 31 − 83 Λ0 Λ21 0 31 − 42 Λ30 Λ1 0 31 −− 82 Λ20 Λ21 0 31 − 42 Λ0 Λ31 0 31 ,91÷òî âñåãäà âåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, (3.74) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàêe(−) ≤ 2* =(3.75)(2 0 + 2Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 ) − 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21.(2 0 + 2Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 ) − 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21Óñëîâèå 3.Íåðàâåíñòâî (3.52) â ñðåäíåé îáëàñòè äëÿ=1èìååòñëåäóþùèé âèä:1 − ( + Λ1 ) ( + (1, ) − ) + Λ1 (0, ) ≤ 0. = . ×òîáû ãàðàíòèðîâàòü′ïðè ∈ [, ] äëÿ íåêîòîðîãîÎíî âûïîëíåíî êàê ðàâåíñòâî äëÿâûïîëíåíèå äàííîãî íåðàâåíñòâà′ > ,ìû íàëàãàåì ñëåäóþùåå óñëîâèå + Λ1 (0, ) |= ≤.Λ1Ïîäñòàâëÿÿ (3.70) â ýòî íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì0≤− (0 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 ) e + (0 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1 ) e.Λ1 (2 e 0 − e − e Λ0 − 2 e 0 + e + e Λ0 )Çíàìåíàòåëü ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí êàê(︀)︀(︀)︀)︀Λ1 (︀0 ( + Λ1 ) e − e + ( + Λ0 + Λ1 ) e − e1è ñëåäîâàòåëüíî âñåãäà ïîëîæèòåëåí.
Óñëîâèå, ÷òî ÷èñëèòåëü íåîòðèöàòåëåí, ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî êàê(︀)︀−2 0 − 2 Λ1 0 − Λ0 Λ1 1 − Λ21 0 + 3 + 2 Λ0 + 2 2 Λ1 + Λ0 Λ1 + Λ21 ×e−+ + 2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ1 2 0 −− 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ1 2 ≥ 0,÷òî â òî÷íîñòè åñòüe−+ ≥ 2* .92(3.76)Ñëåäîâàòåëüíî, åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü äëÿ (3.75) è (3.76) áûòüâûïîëíåííûìè îäíîâðåìåííî ñîñòîèò â òîì, ÷òîe(−) = 2* =(2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 ) − 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21.(2 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ21 0 ) − 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21Ýòî óñëîâèå îïðåäåëÿåò îïòèìàëüíûé íèæíèé ïîðîã.(3.77)Òåïåðüìû äîëæíû ïîêàçàòü, ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò Óñëîâèþ 1.
Äëÿ ýòîãîïîêàæåì, ÷òî1* > 2* . ñàìîì äåëå1* − 2* = −2 Λ0 1 ( + Λ0 + Λ1 − − Λ0 − Λ1 ) ×(︀)︀−1× 0 + Λ0 1 + Λ1 0 − 2 − Λ0 − Λ1×(︀ 2)︀−1× 0 + 2 Λ1 0 + Λ0 Λ1 1 + Λ1 2 0 − 3 − 2 Λ0 − 2 2 Λ1 − Λ0 Λ1 − Λ21> 0.Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî âåðõíèé ïîðîã êîíå÷åí.  ñàìîì äåëå,Λ0> 1 è lim→∞ (0, ) = +Λ< 1. Ñëåäîâà0òåëüíî, ñóùåñòâóåò òî÷êà ∈ (, +∞) òàêàÿ ÷òî (0, ) |= =1. Ïðèðàâíèâàÿ (0, ) ê åäèíèöå, ïîëó÷èì óñëîâèå, îïðåäåëÿþùåå : e(0, ) |= =(Λ0 +)0+Λ1Λ1(︀)︀ 2 e 0 − e − e Λ0 − 2 e 0 + e + e Λ0)︂(︂.=−(0 −−Λ0 )(0 −−Λ0 )2200− eΛ0 0 e(3.78)Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîé âûïëàòû äèâèäåíäîâ äëÿ ñëó÷àÿ 1, è ýòî ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîðîãîâûìè óðîâíÿìè (3.77) è (3.78). Òåïåðü ìû äîëæíû ïðîàíàëèçèðîâàòü çíàêè ïîðîãîâ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
