Диссертация (1138224), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Ñëåäîâàòåëüíî, íèæíÿÿ ãðàíèöà òàêæå íå èìååò âêëàäà â ñðåäíèé ïîòîê äèâèäåíäîâ. Äëÿ âåðõíåé ãðàíèöû, ðàññìîòðèì èíòåãðàëèç (3.40) íà2 2[ − 22 , ] äëÿ íåêîòîðîãî . Òîãäà èíòåãðàë ìîæåò áûòüïåðåïèñàí â ñëåäóþùåì âèäå:750√∫︁2 2 − 22 0 () () = 2 e 2d+ () ()√∫︁∫︁2 3 2 − 22 0 () 2 2 − 22 0 () erf () e2 2e 2d − 2 e d−()2 () ()√∫︁∫︁ 02 () 2 2 − 22 0 () erf () e 2√e 2d − 2 d+() () ()√√∫︁∫︁22 3 2 − 22 0 () erf () e 3 3 2 − 22 0 () e 2 √ e 2d + √ e 2d() () ()()√∫︁∫︁22 2 − 22 0 () e2 3 2 − 22 0 () erf () e √ e 2d + 2 e d+()()()2√√∫︁∫︁22 2 2 − 22 0 () e 3 2 − 22 0 () e 3√d − 2 √ e 2d,e 2 ()() ()()2∫︁ ()erf () d −()√ãäå√=−2 2 2 +∫︁(︁)︁2 22(−) + 2 , ()= −2 , ,22 2 .
Èãíîðèðóÿ íèçêèå ïîðÿäêè , ïîëó÷èì()= () =−2 2 ()erf () + 2 2 () d ≈021 2 2 (, ) e− √+ (, ) erf () + 2 (, ) 2 − 2 (, ) 2 erf () −2)︂)︂(︂(︂ (, )13 444 44 (, )|=− +|=− − erf () + erf ()+−24(︃ (,))︃2 4 |=− (2 2 + 3) e−1√.22 Óñòðåìëÿÿ√ê áåñêîíå÷íîñòè êàêln ,ïîëó÷èì1 () = 2 (, ) .2Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñóììàðíàÿ äèñêîíòèðîâàííàÿ ñòîèìîñòüäèâèäåíäîâ è îæèäàåìîå âðåìÿ áàíêðîòñòâà óæå èçâåñòíû äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ åñòü ôóíêöèÿ Äèðà-êà, è îíè ñîãëàñîâàíû ñ Òåîðåìîé.
Íàïðèìåð, â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå() = (),ñóììàðíàÿ äèñêîíòèðîâàííàÿ ñòîèìîñòü äèâèäåíäîâôèðìû ðàâíà∫︁∞exp(−)() =0∞∑︁2 8 2=076=, = 8 4 + 2 2 6 2 + 2 2 2 4 2 − 6 2 + 2 4 2 2 −2 3 4 + 4 4 − 3 3 2 . Ýòî â òî÷íîñòè òî æå çíà÷åíèå, êîòîðîåãäåíàéäåíî â [47] è [48].Àíàëèç (3.25) è (3.35) â îáùåì âèäå çàòðóäíèòåëåí, ïîýòîìó ìûñêîíöåíòðèðóåìñÿ íà ñïåöèàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Åñòåñòâåííàÿ èäåÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññìîòðåòü ñïåöèàëüíóþ íà÷àëüíóþ ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì ìû ïðèõîäèì êÑëåäñòâèå.Ïóñòü ïàðàìåòðû, è òàêîâû,÷òî2> 1.(3.41)Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ôèðìïî êàïèòàëó:() = ∫︀ 0ãäå0 ()0 () exp0 () exp(︀ )︀2(︀ )︀2,(3.42)åñòü íóëåâàÿ ãàðìîíèêà â (3.34). Òîãäà1.
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ êîëè÷åñòâà ôèðì åñòü2 4 + 2 2 (, ) = 0exp0 4(︂−20 4 − 2 2 + 2 2 2 2 2)︂sin(︁ )︁0.2. Âåðîÿòíîñòü ôèðìû ñóùåñòâîâàòü ê ìîìåíòó âðåìåíè(︀)︀ )︃ 20 4 + 2 2. () = exp −2 2 2(3.43) ðàâíà(︃(3.44)3. Ñðåäíèé ïîòîê äèâèäåíäîâ, ïîëó÷åííûé ôèðìîé âîçðàñòà,ðàâåí(20 4 + 2 2 ) sin (0 ) () =exp20 2Äîêàçàòåëüñòâî.(︂)︂−20 4 − 2 2 + 2 3 .2 2 2(3.45)Çàìåòèì, ÷òî åñëè (3.41) èìååò ìåñòî, òî ïåð-âûé ïîëîæèòåëüíûé êîðåíü (3.27) ìåíüøå ÷åì77.Òàê êàê ∈ [0, ],ÿñíî, ÷òî0 ∈ [0, ],ñëåäîâàòåëüíî ôóíêöèÿ ∈ [0, ]øå èëè ðàâíà íóëþ äëÿ ëþáûõexp(︀ )︀20 ()áîëü-è, ïîäõîäÿùèì îáðàçîìíîðìàëèçîâàííàÿ, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà êàê ïëîòíîñòü íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ôèðì ïî êàïèòàëó.1.
Ïîäñòàâëÿÿ (3.42) â (3.26), ïîëó÷èì∫︁2 =(︁ 1− 2 4 2 + 2 2)︁0 () () d, ∈ N.(3.46)0 = 0, ∈ N. Ïîñëå íåêîòîèñïîëüçóþùèõ (3.27), 0 ìîæåò áûòüÏîñîëüêó âñå ãàðìîíèêè îðòîãîíàëüíû,ðûõ ñòàíäàðòíûõ óïðîùåíèé,ïðåäñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:0 =20 4 + 2 2.0 4(3.47)Ïîäñòàâëÿÿ (3.47) â (3.25), ïîëó÷èì (3.43).2. Àíàëîãè÷íî Òåîðåìå 3.1.2,∫︁ () = (, ) =0(︂)︂∫︁ 2 4(︁ )︁0 + 2 2−20 4 − 2 2 + 2 2 0expsin =4220 2 0(︃(︀ 2 4)︀ )︃2 2 0 + exp −.2 2 23. Ïîäñòàâëÿÿ (3.43) â (3.35), ïîëó÷èì (3.45).Ìû ïðîâîäèì ÷èñëåííûé àíàëèç çàâèñèìîñòè êëþ÷åâûõ ïîêàçàòåëåé ôèðìû, à èìåííî âåðîÿòíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè è ñóììàðíàÿ ïðèáûëü, îò êîýôôèöèåíòà ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé.Ìû ðàññìàòðèâàåì íåñêîëüêî íà÷àëüíûõ ðàñ-ïðåäåëåíèé èñïîëüçîâàííîå â Ñëåäñòâèè, ôóíêöèÿ Äèðàêà è ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðåçóëüòàò îäèíàêîâ óâåëè÷åíèåâåäåò ê óìåíüøåíèþ âåðîÿòíîñòè ôèðìû ñóùåñòâîâàòü âìîìåíò âðåìåíè , êðîìå òîãî, óâåëè÷åíèå78 âåäåò ê óìåíüøåíèþ êàêäèñêîíòèðîâàííîé, òàê è íåäèñêîíòèðîâàííîé îæèäàåìîé ñóììàðíîéïðèáûëè∞∫︁∞∫︁e− () − (0).() − (0), Π2 =Π1 =0Çàâèñèìîñòü0 ()èΠ1îòäëÿ íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èñ-ïîëüçîâàííîãî â Ñëåäñòâèè ïðè íåêîòîðûõ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõèïîêàçàíû íà ãðàôèêàõ 3.1 è 3.2 (ãðàôèê äèñêîíòèðîâàííîéñóììàðíîé ïðèáûëè âûãëÿäèò àíàëîãè÷íî ãðàôèêó 3.2.). Çàìåòèì,÷òî ñëèøêîì ìàëåíüêèåíå ðàññìàòðèâàþòñÿ, ïîñêîëüêó îíè íàðó-øàþò (3.41).Ãðàôèê 3.2:Ãðàôèê 3.1: ÂåðîÿòíîñòüÍåäèñêîíòèðîâàííàÿñóùåñòâîâàòü ê äàííîìóñóììàðíàÿ ïðèáûëü êàêôóíêöèÿâðåìåíè..Àíàëèç ñëó÷àÿ ôóíêöèè Äèðàêà òàêæå íåñëîæåí. Ïðåæäå âñåãî,çàìåòèì, ÷òî íàøà ìîäèôèêàöèÿ ìîäåëè Ðàäíåðà-Øåïïà ñ öåëåâîéôóíêöèåé (3.2) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé äâóõýòàïíîé çàäà÷å.
Íà ïåðâîì ýòàïå ôèðìà íàõîäèò îïòèìàëüíóþ ñòðàòåãèþ âûïëàòû äèâèäåíäîâ. Ýòî â òî÷íîñòè òà æå çàäà÷à, êîòîðàÿ ðàññìîòðåíà â [47]. Íàâòîðîì øàãå ôèðìà íàõîäèò îïòèìàëüíûé óðîâåíü íà÷àëüíîãî êàïèòàëà. Åñëè ìû îãðàíè÷èìñÿ ôóíêöèÿìè Äèðàêà, òî öåëåâîé ôóíêöèîíàë ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí êàê79Π2 = ((0)) − (0),ãäååñòü ôóíêöèÿ Áåëëìàíà äëÿ ïåðâîãî øàãà. Ïîðîãóäîâëåòâîðÿòü (ñì. [47]) óñëîâèþ ′ () = 1,äîëæåíïðè÷åì ýòî åäèíñòâåí-íàÿ òî÷êà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ äàííîìó óñëîâèþ.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû,îïòèìàëüíûé óðîâåíü íà÷àëüíîãî êàïèòàëà (ðåøåíèå âòîðîãî øàãà),(Π2 )′ = ′ ((0)) − 1 = 0.óðîâåíü (0) îïðåäåëÿþòñÿ îä-î÷åâèäíî ìîæåò áûòü íàéäåí èç óñëîâèÿÑëåäîâàòåëüíî,è îïòèìàëüíûéíèì è òåì æå óñëîâèåì è ñëåäîâàòåëüíî ñîâïàäàþò. Êàê óæå áûëîçàìå÷åíî,ôóíêöèè () = , ñëåäîâàòåëüíî Π2 = − . Ïðîèçâîäíàÿ ýòîéïî îòðèöàòåëüíà, ÷òî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî îòðèöà-òåëüíîé çàâèñèìîñòè äèñêîíòèðîâàííîé ïðèáûëè îò êîýôôèöèåíòàìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé â ñëó÷àå, êîãäà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íà÷àëüíîãî óðîâíÿ äåíåæíûõ ðåçåðâîâ åñòü ().Òàêèì îáðàçîì, â ñëåãêà ìîäèôèöèðîâàííîé ìîäåëè ÐàäíåðàØåïïà, ìû íàøëè äèíàìèêó ðàñïðåäåëåíèÿ êàïèòàëà ôèðìû. Ýòîïîçâîëÿåò íàì íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ôèðìà ñóùåñòâóåò ê äàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè, à òàêæå äèñêîíòèðîâàííóþ è íåäèñêîíòèðîâàííóþ ïðèáûëü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êàïèòàëà ôèðìû. Ýòè ðåçóëüòàòû çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿþò íàøè çíàíèÿ îìîäåëè Ðàäíåðà-Øåïïà, ïîñêîëüêó â ñóùåñòâóþùåé ëèòåðàòóðå èçâåñòíû òîëüêî äèñêîíòèðîâàííàÿ ïðèáûëü è îæèäàåìîå âðåìÿ áàíêðîòñòâà äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå êàïèòàëà ôèðìûîïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé Äèðàêà.
Ïðîâåäåí ÷èñëåííûé àíàëèç çàâèñèìîñòè èíäèêàòîðîâ ôèðìû îò êîýôôèöèåíòà ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé è ñäåëàí âûâîä î òîì, ÷òî ôèðìû ñ áîëåå íèçêèì êîýôôèöèåíòîì ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé ñóùåñòâóþò äîëüøå è çàðàáàòûâàþò áîëüøå, êàê â ñìûñëå äèñêîíòèðîâàííîé, òàê è íåäèñêîíòèðîâàííîé ïðèáûëè.Èç ïîëó÷åííûõ â äàííîì ïàðàãðàôå ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî â ìîäåëè îòðàñëè, â êîòîðîé ôèðìû îïèñûâàþòñÿ ïî Ðàäíåðó-Øåïïó, áóäåò ïðîèñõîäèòü ñòðóêòóðíûé ñäâèã â ñìûñëå êîëè÷åñòâà è ãåíåðèðóåìîãî ïîòîêà ïðèáûëè ê ôèðìàì, èìåþùèì áîëåå íèçêèé êîýôôèöè80åíò ìåæâðåìåííûõ ïðåäïî÷òåíèé.  ñàìîì äåëå, ïóñòü â ýêîíîìèêåäåéñòâóåò àãðåãèðîâàííûé ïîòðåáèòåëü è äîñòàòî÷íî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ôèðì, ôèíàìèêà ïðèáûëè êîòîðûõ îïèñûâàåòñÿ (3.1).
Ïóñòüêîýôôèöèåíòûèäëÿ âñåõ ôèðì îäèíàêîâû, àåñòü ðåàëèçà-öèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îäèíàêîâîé äëÿ âñåõ ôèðì. Îáîçíà÷èì ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû êàê(·).Òîãäà èç ðåçóëüòàòîâ äàííîãî ïàðàãðàôà ñëåäóåò, ÷òî íàáëþäàåìîåâ ýêîíîìèêå ðàñïðåäåëåíèå ôèðì ïî êîýôôèöèåíòó ìåæâðåìåííûõïðåäïî÷òåíèé áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî ôóíêöèåé(·), ñìåùåíèåì â ñòîðîíó áîëåå íèçêèõ çíà÷åíèé.813.2Îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ âûïëàòû äèâèäåíäîâ ïðè äèíàìèêå êàïèòàëà, îïèñûâàåìîé òåëåãðàôíûì ïðîöåññîì(Ω, ℱ, P) âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî è ôèëüòðàöèÿ ℱ()ïðåäñòàâëÿåò èíôîðìàöèþ, äîñòóïíóþ ê ìîìåíòó âðåìåíè . Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êàïèòàë ôèðìû () îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåìÏóñòü∫︁() − (),() = +(3.48)0ãäå() ∈ {0, 1} åñòü ñîñòîÿêîýôôèöèåíòû äðåéôà è () ∈ ℱ() åñòü íà÷àëüíûé óðîâåíü ðåçåðâîâ,0 < 0íèå ìèðà,è1 > 0ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî äèâèäåíäîâ, âûïëà÷åííûõ ê ìîìåíòó âðåìåíè,êîòîðîå äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì è íåóáûâàþùèì, à òàêæåïðåäïîëàãàåòñÿ íåïðåðûâíûì ñëåâà ñ êîíå÷íûìè ïðàâîñòîðîííèìèïðåäåëàìè.
Ïåðåêëþ÷åíèÿ ìåæäó ñîñòîÿíèÿìè ìèðà îïðåäåëÿåòñÿ÷àñòîòàìèΛ0 > 0èΛ1 > 0:åñëè ñîñòîÿíèå ìèðà åñòü 0, òî âåðî-ÿòíîñòü ïåðåêëþ÷åíèÿ â ñîñòîÿíèå 1 çà ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíèΔðàâíàΛ0 Δ,àíàëîãè÷íî äëÿ ñîñòîÿíèÿ 1. Òàêèì îáðàçîì, âðåìå-íà ïåðåêëþ÷åíèÿ åñòü ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûåâåëè÷èíû ñ ïàðàìåòðàìèΛ0èΛ1 .Öåëü ôèðìû ñîñòîèò â ìàêñèìè-çàöèè îæèäàåìîãî ñóììàðíîãî êîëè÷åñòâà äèâèäåíäîâ, âûïëà÷åííûõ , êîòîðîå ïðîèñõîäèò, êîãäà óðîâåíü ðåçåð-äî ìîìåíòà áàíêðîòñòâàâîâ ôèðìû âïåðâûå ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì:[︂∫︁(, , (·)) = ]︂e− ()|(0)=,(0)= → max .(·)0(3.49)Îáîçíà÷èì äîïóñòèìóþ ñòðàòåãèþ âûïëàòû äèâèäåíäîâ, êîòîðàÿìàêñèìèçèðóåò(, (·))÷åðåç*è ïóñòü (, ) = (, , * (·)).3.2.1Âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà ýòîì ïàðàãðàôå ìû âûâîäèì âàðèàöèîííûå íåðàâåíñòâà, êîòîðûì ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äîëæíî óäîâëåòâî82[0, ].
Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé ,óïðàâëåíèå (·), òàêîå ÷òî äëÿ ëþáûõðÿòü. Ðàññìîòðèì ìàëûé èíòåðâàëè ðàññìîòðèì äîïóñòèìîå>0è ∈ {0, 1}E(, , , (·)) ≥ (, ) − .Ïóñòü () = + () .{︃ () =Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óïðàâëåíèå:0, < ,(), () ( − ), ≥ .Òàêèì îáðàçîì, ôèðìà íå ïëàòèò äèâèäåíäîâ äî ìîìåíòà,à çàòåìïåðåêëþ÷àåòñÿ íà ñóáîïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Ïîëó÷èì (, ) ≥ e E [ ((), ()) − ] .(3.50)Ïî îïðåäåëåíèþ òåëåãðàôíîãî ïðîöåññà ((), ()) = (1−Λ ) (, + )+Λ (1−, )+().Èñïîëüçóÿ (3.51) è ôàêò ïðîèçâîëüíîñòè,(3.51)(3.50) ìîæåò áûòü ïåðå-ïèñàíî êàê (, ) ≥ (1 − )[(1 − Λ ) (, + ) + Λ (1 − , )].Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî (, ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà è èñïîëüçóÿðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà, ïîëó÷èì (, ) ≥ (1 − )[(1 − Λ )( (, ) + Óïðîùàÿ ýòî âûðàæåíèå è óñòðåìëÿÿ (, )) + Λ (1 − , )].ê íóëþ, ïîëó÷èì ïåðâîå âà-ðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî: (, ) − (Λ + ) (, ) + Λ (1 − , ) ≤ 0, ∈ {0, 1}.83(3.52), () =×òîáû ïîëó÷èòü âòîðîå âàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî, çàôèêñèðóåì > 0 è îáîçíà÷èì = − . Ðàññìîòðèì + − (), êîòîðîå ïðåäïèñûâàåò ìãíîâåííîå−èñïîëüçîâàòü óïðàâëåíèå .
Ïîëó÷èìóïðàâëåíèåâûïëàòèòü,à çàòåì (, ) ≥ + (, − ) + .Ñíîâà èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà è ôàêò ïðîèçâîëüíîñòè,ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âàðèàöèîííîå íåðàâåíñòâî (, ) ≥ 1.(3.53)Îáúåäèíÿÿ (3.52), (3.53) è î÷åâèäíîå ãðàíè÷íîå óñëîâèå (0, 0) = 0,ïðèõîäèì êÒåîðåìà 3.2.1.Ïóñòü ôóíêöèÿíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà.Òîãäà îíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ Ãàìèëüòîíà-ßêîáèÁåëëìàíà: (, ) − (Λ + ) (, ) + Λ (1 − , ), 1 − (, )} = 0, ∈ {0, 1}, (0, 0) = 0.max{(3.54)3.2.2Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ãàìèëüòîíà-ßêîáè-ÁåëëìàíàÑòàíäàðòíûì îáðàçîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî (, ·)âîãíóòà. Ñëåäî- , ∈ {0, 1}, òàêèå ÷òî (, ) > 1 äëÿ (, ) = 1 äëÿ ≥ . Îáîçíà÷èì = min(0 , 1 ) è < è = max(0 , 1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
