Диссертация (1138126), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

На основании выбранного в п. 5 распределения G  S | H 0  вычисляют значениеP  S  S*   g  s | H  ds  1  G  S0*| H0 S*гдеG  S | H 0  – распределение статистики критерия при справедливости гипотезы H 0 .7. Если P  S  S *    , где  – задаваемый уровень значимости, то нет оснований дляотклонения проверяемой гипотезы. В противном случае проверяемая гипотеза H 0отвергается. Можно вычисленное значение статистики S * сравнить с критическимзначением S , определяемым из условия g  s | H  ds0S.Гипотеза о согласии отвергается, если значение статистики попадает вкритическую область, т.

е. при S*  S .2.3. Критерии, используемые для проверки сложных гипотез2.3.1. Критерий  2 Фишера172Данный критерий позволяет проверять согласие как с дискретными, так и снепрерывными распределениями.Предварительная обработка состоит в группировке данных в некоторые множества Ai ,i  1,m и подсчете числа наблюдений ni в каждом множестве.

Для устойчивой работыкритерия должно быть n  50 , ni  5 . При этом, строго говоря, разбиение на множестваAi надо делать, не глядя на выборку.В качестве оценки параметра  (в общем случае векторного) берется оценкамаксимального правдоподобия ̂ . Опираясь на эту оценку, вычисляются гипотетическиеmвероятности появления множествm p   1i 1pi  P  Ai | H 0  i  1,m 0. Посколькуni 1in, имеем0i.mСтатистикой критерия Фишера являетсяраспределение12  m  k  1 2  m  k  1S*  i 1 n  np  0i2inpi0, которая имеет примерно. Тогда критическое значение- квантиль распределения 2  m  k  1S  12  m  k  1, где*уровня 1   .

Если S  S , тогипотезу о том, что распределение наблюдений может принадлежать классуF  x,  ,следует отвергнуть, поскольку даже с «лучшим» распределением в этом классе согласие*плохое. Если S  S , гипотезу H 0 можно принять при выбранном уровне значимости  .22.3.2. Критерий типа  Мизеса (Андерсона-Дарлинга)Критерий предназначен для проверки согласия в случае непрерывных функцийраспределенияF  x,  . Это, разумеется, является ограничением по сравнению с2критерием  Фишера, но в то же время не производится группировка данных, которая влюбом случае ведет к потере информации.

Практика показывает, что для непрерывныхфункцийF  x,  такие критерии, как критерий Андерсона-Дарлинга или критерийКолмогорова-Смирнова, работают точнее. Их общим недостатком является то, что нужноиметь возможность использовать специальные таблица для каждого типа проверяемых173распределений, но при пользовании качественными пакетами обработки данных такойпроблемы не возникает.Оценка параметра  может вычисляться методом максимального правдоподобия илиминимизацией приведенной ниже статистики критерияn 2i  1 2i  1 S *  n  2 ln  F  xi ,    1  ln 1  F  xi ,  2n i 1  2nЗначения S при использовании оценок максимального правдоподобия приведены втабл.

1Таблица 1. Критические значения S при использовании ОМП для критерияАндерсона-ДарлингаРаспределениеУровень значимости 0.050.01Коши1,22312,0845Лапласа1,00151,5188Логнормальное0,74981,0897Логистическое0,65890,8909Нормальное0,74711,0698Вейбулла-Гнеденко0,76081,0956Гипотеза о согласии отвергается, если S*  S .2.3.3.

Критерий КолмогороваКак и предыдущий, предназначен для проверки согласия при непрерывной функцииF  x,  . Оценивание неизвестного параметра  производится методом максимальногоправдоподобия либо минимизацией статистики критерияSS* 6nDn  1гдеDn  max  Dn , Dn 6 ni  1iDn  max   F  xi ,    Dn  max  F  xi ,   i 1,n  ni1,nn  . Значения,,при использовании оценок максимального правдоподобия приведены в табл.

2Таблица 2. Критические значения S при использовании ОМП для критерияКолмогороваРаспределениеУровень значимости 0.050.01174КошиЛапласаЛогнормальноеЛогистическоеНормальноеВейбулла-Гнеденко0,87720,94970,97310,80360,90420,90691,03501,12061,22340,92611,05991,0684Как и в предыдущем случае, гипотеза отвергается, если S*  S .2.3.4. Критерий СмирноваПо назначению и применению похож на критерий Колмогорова. Статистикой критерияявляетсяS* 6nDn 129nОценивание параметра производится методом максимального правдоподобия либо*минимизацией статистики S .

Критические значения S приведены в табл. 3.Таблица 3. Критические значения S при использовании ОМП для критерияСмирноваРаспределениеУровень значимости 0.050.012,76334,0668Коши3,01604,4495Лапласа3,18505,0813Логнормальное2,26793,0761Логистическое2,81024,0581Нормальное2,6923,8129Вейбулла-Гнеденко*При S  S гипотеза о согласии отвергается.Поскольку критерии Колмогорова и Смирнова опираются на близкие статистики,часто говорят о критерии Колмогорова-Смирнова.22.3.5.

Критерий типа  Мизеса (Крамера-Мизеса-Смирнова)По назначению и применению похож на критерии Андерсона-Дарлинга, Колмогороваи Смирнова, но опирается на статистикуn12i  1 S    F  xi ,   12n i 1 2n 2*Неизвестный параметр  может быть найден методом максимального правдоподобия*Sили минимизацией статистики S . Критические значения  приведены в табл.

4.175Таблица 4. Критические значения S при использовании ОМП для критерияКрамера-Мизеса-СмирноваРаспределениеУровень значимости 0.050.010,16180,2706КошиГамма0,15040,2529Лапласа0,14580,2449Логнормальное0,09820,1379Логистическое0,12210,1756НормальноеРавномерное0,1263Вейбулла-ГнеденкоПри S*  S гипотеза о согласии отвергается.При проверке гипотезы о согласии с гамма-распределением критические значения Sв критериях Андерсона-Дарлинга, Колмогорова, Смирнова и Крамера-Мизеса-Смирновазависят от значений оцениваемого параметра  , соответствующие таблицы критическихзначений см.

http://www.ami.nstu.ru/%7Eheadrd/applied/nepar/2_2_5.htm.2.4. Анализируемые параметрические распределения вероятностейПри проверке сложных гипотез в качестве альтернативных используются следующиераспределения, которые по своим характеристикам в той или иной мере могутсоответствовать анализируемым массивам.2.4.1. Распределение КошиЭто распределение имеет плотность видаp  x     x  m22где m - параметр положения, являющийся модой и медианой, а  - параметр формы.Моменты распределения бесконечны.

В частности, это означает, что привычныестатистические оценки X 1 n1 n2длясреднегоиXS Xi  X in  1 i 1n i 12для разбросабессмысленны. Распределение часто встречается в задачах с «тяжелыми хвостами»,поскольку его плотность убывает как x 2 .На рис.1 представлены примеры графиков p  x  с разными значениями параметров m(Mode) и  (Scale).176Cauchy Distribution0.4Mode,Scale10,110,515,115,5density0.30.20.10-10010203040xРис. 1. Плотность распределения Коши при разных значениях параметров.2.4.2. Гамма-распределениеЗадается плотностью распределения вида    1   xx e , x0p  x      0 , x  0и зависит от двух параметров  (Shape) и  (Scale). Первые два момента выражаютсячерез них следующим образом: E , D  2 . Это распределение безграничноделимо и является непрерывным аналогом отрицательного биномиального распределенияиегочастнымислучаямираспределение  2  n  (  образом,анализраспределениймоделируетявляютсяэкспоненциальное(   1 ),распределение1n,   ) и распределение Эрланга (   n ,   n ).

Таким22гамма-распределенияпозволяетисключитьотдельныйанализ 2  n  , Эрланга и экспоненциального. Это распределение хорошомассивы,убывающиеэкспоненциальноспоправкойнамедленновозрастающий коэффициент. Вид плотности распределения при разных значенияхпараметров представлен на рис.2.177Gamma Distribution0.4Shape,Scale20,120,315,115,3density0.30.20.1001020304050xРис. 2. Плотность гамма-распределения при разных значениях параметров2.4.3. Распределение Лапласа (двойное экспоненциальное)Задается плотность распределения видаp  x 2e  x mи описывается двумя параметрами m (Mean) и  (Scale), через которые выражаютсямоменты распределения ( E  m , D 22).

Распределение широко используется примоделировании сумм случайного числа случайных слагаемых. Зависимость плотностираспределения от параметров представлена на рис.3.Laplace Distribution1.5Mean,Scale10,110,315,115,3density1.20.90.60.305811141720xРис. 3. Плотность распределения Лапласа при разных значениях параметров1782.4.4.

Логнормальное распределениеИмеет плотность распределения вида 1  ln x  m 2 exp  , x  02p  x    x 220 , x  0и зависит от двух параметров – параметра положения m (Mean) и параметра формы (Standard deviation). Первые два момента выражаются через эти параметры как E  eиD  e4me41 .Распределениевозникаеткакраспределение1 4 m2экспонентынормальной случайной величины, т.е. случайная величина   ln   имеет нормальноераспределение N  m, 2  .

Применяется для моделирования процессов, в которых темпыприроста пропорциональны текущему значению величины. Зависимость плотностираспределения от параметров представлена на рис. 4.Lognormal Distribution0.5Mean,Std. dev .10,110,315,115,3density0.40.30.20.10051015202530xРис. 4. Плотность логнормального распределения при разных значениях параметров2.4.5. Логистическое распределениеЗадается плотностью распределения видаp  x  exp    x  m 3      x  m   3 1  exp    3    1792зависящей от двух параметров – параметра положения m (Mean) и параметра формы (Standard deviation).

Числовые характеристики: E  m , D   2 . Распределение малоотличается от нормального, что хорошо видно на рис., но лучше аппроксимируетданные с ненулевой асимметрией. Зависимость плотности распределения от параметровпредставлена на рис. 5.Logistic Distribution0.5Mean,Std. dev .10,110,315,115,3density0.40.30.20.10-55152535xРис. 5.

Плотность логистического распределения при разных значениях параметров2.4.6. Нормальное (гауссовское) распределениеСамое популярное распределение с плотностью  x  m 2 1p  x exp  22 2гдеm – параметр положения (Mean) и  – параметр формы (Standard deviation).Числовые характеристики: E  m , D   2 . В силу центральной предельной теоремытеории вероятностей часто возникает в задачах суммирования случайных величин.Распределениебезграничноделимо,являетсяосновойдлямногихалгоритмовстатистического моделирования.

Примеры графиков плотностей распределения приразных значениях параметров представлены на рис.6.180Normal Distribution0.4Mean,Std. dev .10,110,315,115,3density0.30.20.10-55152535xРис. 6. Плотность нормального распределения при разных значениях параметров2.4.7. Равномерное распределениеИмеет плотность распределения 1, x   a,b p  x  b  a0, x   a,b и представляет собой непрерывный аналог дискретного равномерного распределения.Числовые характеристики выражаются через параметрыD aиb:E 1 a  b ,212 b  a  .

Характеристики

Список файлов диссертации