Диссертация (1137920), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Таким образом,118выражение для цены условного обязательства можно упростить ипредставить в следующем виде:.Чтобы применить ее для оценки срочной структуры ставок авторыформулируют три допущения:1) изменение производственных возможностей может вызыватьединственный фактор;2) среднее и дисперсия нормы доходности по каждому видудеятельности пропорциональны уровню фактора(в такихобстоятельствах ни среднее, ни дисперсия нормы доходности небудет играть решеющей роли в условиях высоких значений3) динамика);задается стохастическим процессом:,гдеиконстанты,ивектор размерностикаждый элемент которого константаВрезультатединамика,.процентнойследующим изменением за промежуток времениставкиописывается:.Экономическая сущность такой модельной зависимости состоит втом,чтодляположительногопроцентнаяставказадаетсяавторегрессионным процессом, в рамках которого она случайно колеблетсяи с определенным коэффициентом конвергенции стремится к некоторомудолгосрочному среднему значению.

Модельная ставка обладает следующимисвойствами: ставка не может быть меньше нуля; как только ставка достигает нуля, она стремится к росту; дисперсия ставки возрастает при росте самой процентной ставки; существует равномерное распределение процентной ставки.Авторы приводят первый и второй моменты распределения:119,.Такая форма распределения позволяет авторам получить интуитивноожидаемые взаимосвязи. Так, с ростом коэффициента конвергенциидобесконечности, средняя ставка стремится к долгосрочному значению, адисперсия – к нулю. Еслидостигает нуля, условное среднее сходится ктекущему уровню ставки, а дисперсия –.

С ростом срочностисреднее принимает значение долгосрочного уровня , а дисперсия –.Риск-премия может быть представлена в следующем виде:.Так что фундаментальное уравнение ценообразования условногообязательства (облигации) принимает форму:.В рамках модели CIR цену безрисковой облигации можно представитькак экспоненциальную функцию от процентной ставки:.Рассчитавсоответствующиепроизводныеиподставиввфундаментальное уравнение можно получить следующие решения пои, представленные в предыдущем параграфе:,,.Предложеннаяконцепциямоделипредусматриваетвозможностьзадавать различную спецификацию процесса процентной ставки безсущественных изменений результирующей функции.

В общем виде,процентную ставку можно представить как120, где–стохастическая динамика процентной ставки,– функция, формирующаяположительную нижнюю границу процентной ставки. Любая такая модель,сформулированная в рамках концепции рациональных ожиданий,заключает в себе всю полноту информации, позволяющей однозначнооценить вероятность распределения будущих процентных ставок.Модель Даффи-СинглтонаМодельДаффи-Синглтонаявляетсяключевойвкатегорииредуцированных и во многом основывается на результатах модели CIR.Предполагается, что в каждый момент времени есть некоторая вероятность,что компания объявит дефолт по своим обязательствам.

Вероятность дефолтаи норма возмещения изменяются во времени согласно стохастическомупроцессу, который определяет оценку кредитного риска. В моделяхсокращённой формы предполагается, что данный стохастический процесс независит от стоимости активов компании, отсюда и название – модели«сокращённой формы».В качестве исходной точки рассматривается условное обязательство, покоторому предусмотрена выплата в размере X в момент времени T, если небыло дефолта. В рамках безарбитражной концепции риск-нейтральнойвероятности уровень риска дефолта в момент времени t задается процессом, аобозначает потери в терминах доли от рыночной стоимостиобязательства в случае дефолта в момент времени t с учетом всейинформации, доступной к моменту t. В таком случае его рыночнуюстоимостьможноописатькакбезрисковыйинструмент,еслискорректировать процесс мгновенной процентной ставки на вероятностьпотерь при дефолте,.

Ниже представлено выражение цены такогоусловного обязательства номиналом X:где– риск-нейтральное условное ожидание в момент времени t.121Важным следствием такой постановки задачи является то, чтоэкзогенность процесса риск-нейтральной нормы средних потерь при дефолтепозволяет применять к оценке рискованных обязательств стандартныемодели срочной структуры безрисковых ставок за счет замены безрисковойставки на скорректированную.Чтобы доказать обоснованность такой формулировки цены облигациирассматриваетсядискретныйпроцессценообразования.условное обязательство, по которому обещан платежи ничего до датывремениРассмотримв дату погашения.

Исходные допущения для любого момента:– условная вероятность дефолта в течение периода от s до s+1в момент времени s по риск-нейтральной мере Q, исходя издоступной на момент s информации, и при условии отсутствиядефолта к моменту s;обозначает возмещение в случае дефолта в момент s как долюот стоимости обязательства;– мгновенная безрисковая процентная ставка.При условии, что не было дефолта до момента t, рыночная ценаобязательстваравна сумме приведенной стоимости, в случаенаступления дефолта в промежутке t и t+1, и приведенной стоимости(стоимость рассматриваемого обязательства в следующий дискретныймомент времени), если дефолта не было.

Аналитически это можно описатьследующим выражением:,гдеобозначает ожидание по Q с учетом доступной информации кмоменту t.Рекурсивное решение данного выражения до момента погашенияобязательства позволяет выразить формулу его стоимости следующимобразом:122Оценка такого процесса стоимости обязательства осложнено тем, чтонеобходимо учитывать совместное распределение,ина различныхвременных горизонтах. Значительно упростить оценку этого выражениеможно,еслипредположить,чторазмервозмещенияпридефолтеопределяется как доля от рыночной цены обязательства (recovery of marketvalue – RMV).

Она задается процессом L (с максимальным значением 1),таким что ожидание возмещения равно:Если подставить это выражение в формулу цены обязательства,получим:где.Учитывая свойство экспоненциальной функциидля малыхc, скорректированная ставка приближенно может быть выражена как.Полученное выражение цены обязательства фактически означает, чтоего стоимость описывается стоимостью обещанного (по сути безрискового)платежа в размере, приведенного к настоящему моменту поскорректированной на вероятность дефолта процентной ставкеобразом, с учетом экзогенности процессови. Такимдля оценки условногообязательства можно применять методы оценки срочной структурыбезрисковой процентной ставки, только вместо безрисковой использоватьставку, скорректированную на вероятность дефолта.

То есть123можноописать как многофакторную модель процентной ставки аффинного класса,например, [41].Эмпирические исследования показывают, что интенсивность дефолтакоррелирует с динамикой бизнес-цикла: дефолты чаще происходят во времярецессии, когда уровень процентных ставок и норма возмещения обычнониже долгосрочных значений. То есть в модели необходимо учитыватьотрицательную корреляцию процесса вероятности дефолта и безрисковойпроцентной ставки. Следует отметить, что часто исследователи допускаютотсутствие корреляции между этими показателями, чтобы не повышатьсложностьрасчетовинтенсивности(например,дефолтаисм.нормы[44]).Допускаявозмещениязависимостьоттекущихмакроэкономических условий, вместе с тем процесс дефолта не задаетсявозможностями эмитента погасить обязательства, в отличие от структурныхмоделей ([28], [96]), хотя и соответствует оценке по структурным моделям.Для формулировки модели в непрерывном времени необходимо задатьвероятностное пространствои семейство -алгебры с фильтрацией, удовлетворяющих стандартным условиям (например, см.

Protter,1990). Условное обязательство представляет собой совокупность двухпроцессов: случайной величины Z и даты фиксации, когдавыплачивается Z. Процесс цены любого условного обязательстваопределяется как:дляидляобозначает ожидание по риск-нейтральной мере Q, учитывая().Рисковую облигацию можно представить как взаимосвязанную паруусловных обязательствэмитента заплатить суммуи. Первое характеризует обязательствов дату . Второе определяет барьерное времякогда эмитент банкротится и инвестор получает платеж в размере,.

То естьрассматриваемое условное обязательство описывается выражениями:– то есть процессом времени;наступления «события» (дефолта) и процессом возмещаемой суммы124(номинала – если не было дефолта, и нормы возмещения – в случаебанкротства).1) Время наступления дефолтаЧтобы описать время наступления дефолта необходимо рассмотретьпроцесс риск-нейтральной интенсивности дефолтакоторого переменная, в рамкахпринимает значение 0 до наступлениядефолта, а после – 1, то есть, и может быть описанаследующей динамикой:,гдепредставляет собой мартингал порассматриватькакинтенсивностьв.

То естьмоментможновременираспределенной по Пуассону величины, первое событие которойнаблюдается в момент дефолта. На основании имеющейся намоментинформацииусловная риск-нейтральная вероятностьдефолта в течениепри условии отсутствия дефолта доприблизительно равнодля малых .2) Выплата при дефолте.В качестве допущения выплата при дефолта задается как доля отцены обязательства непосредственно перед дефолтом:,где– это цена обязательства перед дефолтом, а–случайная величина, обозначающая долю потерь при дефолте.Предполагается, что верхняя границазадана единицей, а значениепеременной можно определить на основании доступной до моментаинформации.Благосостояние инвестора (номинал плюс совокупные выплаты придефолте), продисконтированное по безрисковой ставке, должно описыватьсямартингалом по. Таким образом, его можно описать следующимвыражением:125Первое слагаемое – это дисконтированная цена обязательства (в случаененаступления дефолта), а второе – дисконтированная стоимость возмещенияпри дефолте.

Характеристикакак мартингала пои условиеобеспечивают безарбитражность описанного выше ценообразования.Следующим шагом является допущение о том, что парметры моделиэкзогеннозадаютсядинамикойнепрерывныхМарковскихпеременных состояния. Переменные состояния (параметры модели)описываются Марковским процессомпо мартингальной вероятностноймере Q. Размер условного обязательства задается функцией от переменныхсостояния в формеВ таком случае, также как ставка дисконтирования:.цена условного обязательства может описыватьсяследующим выражением:Моделирование ставки дисконтирования как функции от рядапеременных состояния позволяет использовать методологию оценки срочнойструктуры безрисковой процентной ставки при ценообразовании условныхобязательств.

Допустим, что вектордля любого n являетсярешениемуравнениястохастическогодифференциальногоследующейформы:,гдепредставляет собой стандартное Броуновское движениефильтрациимере, ав пространстве действительных чиселиопределенные функции на пространствесоответственно. Тогда существует функциярешениемпо вероятностнойдифференциальногоуравнения, которая являетсявчастныхследующего вида:,,126ипроизводныхс ограничением,,где:.Именновценообразованиярамкахданнойоблигаций,концепцииподверженныхформируетсярискумодельдефолта.Дляспецификации такой модели необходимо определить характер отдельныхпараметров, в том числе: тип нормы возмещения при дефолте и корреляциямежду интенсивностью дефолта и динамикой безрисковой ставки.Учесть в модели все тонкости процесса интенсивности дефолта инормы возмещения невозможно, поэтому необходимо сделать определенныедопущения о характере их функциональной формы. Помимо нормывозмещения рыночной стоимости (recovery of market value – RMV) можнорассматривать также норму возмещения номинала (recovery of face value –RFV) и возмещение как пропорция казначейских облигаций (recovery oftreasury – RT)., гдеRT:–ценаэквивалентной– экзогенный процесс нормы возмещения, абезрисковойоблигации(данныйподходиспользован в модели Джэрроу-Тернбула)., то есть предусмотрена компенсация случайнойRFV:долиот каждой единицы номинала облигации (использовался вработах [31] и [52]).Если инкорпорировать методологию RT напрямую в общую модельоценки условных обязательств, значительно повышается вычислительнаясложность оценки.

Характеристики

Список файлов диссертации