Диссертация (1137920), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Это значит, чтостоимость облигации вычисляется так, будто эта облигация являетсябезрисковой, но её ставка дисконтирования скорректирована на величинуриска дефолта. Новая ставка дисконта равна сумме безрисковой процентнойставки и интенсивности λ.

Эта параллель между формулами оценкиоблигаций, подвергающихся риску дефолта, и эквивалентными безрисковымиоблигациями является одним из наиболее привлекательных свойствредуцированных моделей.Эти примеры дают общее представление о возможных способахпараметризации интенсивности дефолта. Существует намного большеметодов параметризации, часть которых заимствована из классическихмоделей временной структуры процентных ставок. Это объясняетсясхожестью между срочной структурой дефолтов и процентных ставок.Следующие два подпараграфа как раз и посвящены теме моделей срочнойструктуры ставок.Общее об аффинных моделяхМодели срочной структуры процентных ставок объясняют, какоблигации с различным сроком до погашения оцениваются в каждый моментвремени. Большинство авторов приходят к выводу, что одного фактора недостаточно для описания формы и динамики срочной структуры ставок,поэтому необходимо рассматривать многофакторные модели, получившиеназвание аффинных.В общем виде в отсутствие арбитражных возможностей ценаоблигации со сроком погашения T может быть представлена в следующемвиде:,где– дефлятор цены облигации в момент времени t.В терминах безрисковой ставки цена облигации:,110гдевероятностнаямераназываетсямартингальной мерой (ожиданиериск-нейтральнойилиосновано на физической, реальнойвероятности ).В такой постановке задачи моделирование процентной ставки сводитсяк аффинной (то есть линейной) зависимости от нескольких факторов, чтоозначает экспоненциальную зависимость между ценой облигации и даннымифакторами и, соответственно, линейную – между факторами и доходностью.Чтобы построить срочную структуру процентных ставок, необходимосформулировать три допущения:1)определить стохастическую динамику факторов;2)специфицировать выражение для риска процентной ставки;3)установить функциональную взаимосвязь между процентнойставкой и факторами модели.Аналитическиданныедопущениямогутбытьпредставленыследующим образом:(1)(2)ПП(3).В представленных уравненияхнезависимыхБроуновскихдвижений,неопределённость;векторусловныхразмерности K*K и– это вектор Kсоздающихвмодели– K переменных состояния;средних;–матрицаусловных–дисперсий– вектор рыночной оценки риска (Броуновскогодвижения) размерности K*1, где i-ый элемент вектора соответствует оценкеi-го Броуновского движения.Пусть задановероятностное пространство, отсутствиеарбитража и совершенство рынков.

Предположим, диффузия факторовпроцентной ставки задается процесом Ито следующего вида:,111а процентная ставка определяется суммой таких факторов:.Аффинныемоделинепредполагаюткакой-либострогойпараметризации цены риска, напротив, их эмпирическое тестированиеосновано на предложенных допущениях относительно спецификации такогориска. В общем виде, неопределенность в процессе Ито в выражении вышезадается диффузией на основе реальной (или физической) вероятности,которая не учитывает рыночную цену риска (неопределенности) и можетбыть представлена как разница риск-нейтральной диффузии и дрифта ценыриска:.В рамках такой концепции цена облигации в общем виде может бытьпредставлена:,гдеиТаким образом,неизвестны и могут быть выведены через лемму Ито..Далее определим спецификацию дрифта:112откуда следует, чтоа значит избыточная доходность облигации (сверх уровня процентнойставки):Определивдинамикуфакторовсрочнойструктурыставокифункциональную зависимость цены облигации от них, необходимо такжевывести фундаментальное дифференциальное уравнение цены облигации какфункции от одного фактора – процентной ставки.

Предположим, что процессдиффузии ставки определен в концепции модели CIR и представленследующим выражением (модель CIR описана в следующем подпараграфе):.Чтобыпредставитьданныйпроцесспориск-нейтральнойвероятностной мере Q необходимо расмотреть два допущения. Во-первых,цена риска (то есть соотношение между ожидаемой и фактическойвероятностью) может быть задана как в модели CIR:.Во-вторых, диффузия по новой вероятности Q (риск-нейтральной)может быть преобразована из реальной P с помощью теоремы Гирсанова, аименно:.Подставляя приведенные выше выражения в динамику процентнойставки, получим риск-нейтральную динамику:.В условиях риск-нейтральности ожидаемый дрифт цены облигациипропорционаленпроцентнойставкепроцессом:113(),поэтомуоназадается,гдена данном этапе не известно.Так какявляется функцией процентной ставки и срока до погашения(времени) можно определитьи, воспользовавшись леммой Ито:.Подставляя полученное ранее выражение для ставки, получим:.Следовательно, сравнивая элемент дрифта в двух уравнениях, можнополучить выражение для rt:.Если далее преобразовать выражение, получим фундаментальноедифференциальное уравнение ценообразования облигаций (см.

[41]):.Предположим, что решение данного дифференциального уравненияможет быть представлено в следующей экспоненциальной форме:.Следовательно частные производные будут выражены как:;;.Наконец, подставив выражения для производных в фундаментальноедифференциальное уравнение и разделив на P, получаем:.Чтобы данное уравнение выполнялось для всех значенийнезависящие отчлены и множители114,необходимо приравнять к нулю.Таким образом, мы получаем систему из двух (в общем случае K) уравненийдифференциальных уравнений, а именно:.Таким образом, мы сможем представить цену облигации как функциюотпараметровмодели(которыеможнооценитьпонаблюдаемымфактическим данным), если выведим решения дифференциальных уравненийдляи. Так как выражение дляцелесообразно начать с определениясодержит в себе,.

Для этого достаточно разделитьпеременные и проинтегрировать левую и правую части, получим:.Определим также новую переменную как функцию от исходных (дляупрощения дальнейших преобразований):.Далее получаем:,.Воспользуемся тем, что в момент погашения цена облигации равнаноминалу (то есть фактор дисконта равен нулю) и. Еслииспользовать данное равенство в полученном выше уравнении дляможно найти выражение для,:.Из определенияследует, что; тогдаподставив выражение для константыи преобразовав исходное выражение,получим следующее уравнение для, которое в точности соответствуетуравнению из CIR:115.Прежде чем приступить к поиску решенияположим, что знаменатель выражения длядля упрощенияможно обозначить некоторойфункцией от срока до погашения:.Тогдаможно представить в следующем виде:,,,.Теперь выделим соответствующие переменные и возьмем интеграл отлевой и правой части:,Тогда с учетом нового выражения дляполучим:,и приведем к одному логарифму:,.В результате проведенных преобразований исходное выражение дляцены облигации может быть представлено как функция от срока допогашения, параметризация которой основана на оценке параметровпроцесса соответствующих факторов (в настоящем случае, одного фактора –процентной ставки).

Иначе говоря, обладая наблюдениями цен облигацийможно получить оценки соответствующих параметров, которые затемиспользуются для вычисления срочной структуры процентных ставок.116Такимобразом,предложеннаяметодологияпозволяетоценитьненаблюдаемую кривую доходности для всех возможных сроков.Не вызывает сомнений тот факт, что качественно оценить любуюоблигацию только с помощью одного фактора невозможно (особеннокорпоративные ценные бумаги, которые подвержены в том числе рискудефолта). Поэтому большинство исследователей приходят к выводу онеобходимости учитывать целый набор факторов в ценообразовании бумаг сфиксированной доходностью.

Именно по этой причине аффинные моделиможно назвать одними из самых востребованных в данном направлениинаучной мысли.Ведь они предполагают линейную декомпозициюдоходности на ряд факторов, то есть процентная ставка – это суммафакторовсзаданнойпараметризацией(вданномконтексте,стохастической динамикой).CIR – как экономическое обоснование аффинных моделейМодель срочной структуры процентных ставок CIR основывается наключевыхрезультатахмоделиобщегоравновесияиотражаетэкономическую сущность факторов доходности в рамках аффинныхмоделей. Рассматривается экономика, в которой есть только одно благо и всеоценивается в единицах этого блага. Выделяютсяразличных производств,вектор ожидаемой доходности по каждому из них обозначается какковариационная матрица доходностей какопределяются-мерным вектором.

Функциональноии, который представляет собой уровеньтехнологий и задается случайным процессом. Технологии определяютпроизводственные возможности в экономике в заданный момент времени.Ожидаемое изменениеизменений –обозначается как, а ковариационная матрица.Каждый из идентичных экономических агентов максимизируетцелевую функцию следующего вида:,117где– потребление в момент времени ,Фон Неймана-Моргенштерна,– функция полезности– конечная дата экономической активности.Каждый агент выбирает оптимальный размер потребления, долейблагосостояния, которые инвестирует в каждый из видов экономическойактивности ( ) и условные обязательства ( ). Последние эндогенноопределяются как функция от благосостояния и внешних факторов.

Наконец,с помощью бюджетного ограничения определяется размер благосостояния,направленного на привлечение или выдачу займов по процентной ставке .Решением задачи оптимизации является обратная функция полезности .Равновесие в такой экономике означает, что у агентов не сохраняетсястимулов инвестировать в условные обязательства, так что все богатствонаправляется на финансирование производства. То есть в конечном итоге (вравновесии) достигается состояние, когда все финансовые инструментывыполнили свою функцию, благосостояние перераспределилось и оказалосьвложенным в производство. Авторы приводят выражения для равновеснойпроцентной ставки и равновесной стоимости условных обязательствпоследняядолжнаудовлетворятьследующему,дифференциальномууравнению:,где– функция выплат по условному обязательству, а слагаемые вправой части уравнения представлены следующими выражениями:,.Далее авторы показывают, что при постоянной степени неприязнириска и дисконт-факторе оптимальная пропорция инвестирования иравновеснаяпроцентнаяставказависиттолькоотпеременныхсостояния и не зависит от уровня благосостояния.

Характеристики

Список файлов диссертации