Диссертация (1137765), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Полученные результатыРезультаты оценок тремя способами участвовавших в экспериментешестимесячных опционов европейского типа колл и пут на индекс волатильностиVIX американского срочного рынка, действовавших в 2010–2015 гг., сведены втаблицу Д.1.Таблица Д.1 – Результаты оценок опционов на индекс волатильности VIX(отрезок времени: 2010–2015 гг.)№п/пСпособ оценки12Средний квадрат отклонениятеоретических цен опционов отэмпирических премий31Модель Блэка – Шоулза/формализмы (Д.5, Д.6)/1,262Негауссовская модель со смещением, основанная нафункции распределения Цаллиса/формализмы (Д.9, Д.10)/0,6593Применение предложенного во второй главеподхода для одномерного случая/формализмы (Д.11, Д.22)/0,282Источник: разработано авторомНа рисунке Д.1 представлены кривые, которые описывают эволюцию вовремени теоретической премии F(x,t) по одному из участвовавших в экспериментеопциону колл на индекс VIX (см.
спецификацию контракта ниже), оценѐнной по:– предложенной нами модели (кривая Aut) для одномерного случая с помощьюформализма (Д.11);– модели Блэка – Шоулза (кривая Black) с помощью формализма (Д.5);– негауссовской модели со смещением, основанной на функции распределенияЦаллиса (кривая Tsallis), с помощью формализма (Д.9).На рисунке Д.1 также представлена кривая Emp, описывающая эволюциюво времени фактически наблюдаемой на рынке премии по оценѐнному намишестимесячному опциону колл на индекс волатильности VIX с датой заключения15920.11.2014, датой истечения 20.05.2015, страйком 15 процентных пунктов – TickerVIX UO 05/20/15 C15 Index (позиция трейдера buy call) [122].По оси ординат – опционная премия в процентных пунктах.12,011,010,09,08,07,06,05,04,03,02,01,00,011.
201412. 201401. 2015Aut02. 2015Emp03. 2015Black04. 2015TsallisРисунок Д.1 – Кривые, описывающие эволюцию во времени опционной премииИсточник: разработано автором; [122] – в части эмпирических данныхКаквидноизтаблицыД.1,приложениедляоценкиопционоврассмотренного во второй главе нового подхода к определению справедливойстоимости структурированных производных финансовых инструментов, показалоуспешные результаты. Средний квадрат отклонения теоретических цен опционовна индекс VIX, действовавших в 2010 – 2015 гг., от эмпирических премийсоставил 0,28, что в 2,3 раза ниже полученного результата по модели, основаннойна функции распределения Цаллиса, и в 4,5 раза ниже Блэка – Шоулза.Следует подчеркнуть, что предложенное решение для одномерного случаяустойчиво по Ляпунову.В заключение отметим, что негауссовская модель со смещением,основанная на функции распределения Цаллиса, обеспечивает бóльшую, посравнению с моделью Блэка – Шоулза, точность оценки теоретических премий поопционам.160VI.
ВыводыЗаложив в основу подхода к определению справедливой стоимости опционапредположение о негауссовском характере ценовых процессов и оценивая опционв виде разложения функции выплат по базису, построенному на моментахфункции плотности, которая служит решением уравнения Пригожина, получаемсущественное повышение точности аналитической оценки по отношению кэмпирическим премиям. Иными словами, предложенный во второй главе подходдля двумерного случая показывает успешные результаты для одномерного случая.Мы также убедились в том, что негауссовская модель со смещением,основанная на функции распределения Цаллиса, обеспечивает бóльшую, посравнению с моделью Блэка – Шоулза, точность оценки теоретических премий поопционам.
Это дополнительное подтверждение негауссовской природы индексаVIX, лежащего в основе участвовавших в эксперименте опционов.Отметим, что индекс VIX и фьючерсы на индекс VIX служат базовымиактивами разработанной в третьей главе продуктовой линейки. Продуктыоцениваются с помощью предложенного подхода на основе двумерныхнегауссовских асимметричных совместных распределений вероятностей ценбазовых активов.161Приложение Е. Сравнительный анализ индексов S&P 500 иEURO STOXX 5035№п/п11234535ХарактеристикаS&P 500EURO STOXX 502Дата, начиная с которойдоступны историческиезначения индексаДата, начиная с которойпубликуется индекс (foundation,inception date)3403.01.195031.12.198604.03.195726.02.1998Оператор (индексныйпровайдер)Количество компаний (акций),входящих в индекс (constituents)Тип индекса с точки зренияспособа оценки (weightingmethod)6Формула расчѐта индекса7Базовое значение индекса (basevalue), базовая дата/период(base date/period)S&P Dow Jones Indeces – совместноепредприятие McGraw Hill Financial Inc.,CME Group Inc.
и News Corporation502STOXX Limited – дочерняя компанияDeutsche Börse Group50взвешенный по рыночной капитализации с учѐтом free-float (free-float marketcapitalization, float-adjusted market cap-weighted)∑()где:t – момент расчѐта индекса;– значение индекса на момент t расчѐта;– рыночная капитализация (free-float) по состоянию на момент t расчѐтаиндекса;– значение делителя, учитывающего корпоративные события (выплатудивидендов, дробление акций, консолидацию акций, права выкупа, обратныйвыкуп, выделение организации и т.д.) на момент t расчѐта индекса;n – количество компаний, входящих в индекс;– цена акции (в национальной валюте) компании i на момент t расчѐта индекса;– общее количество акций компании i на момент t расчѐта индекса;– коэффициент free-float (отношение количества акций в свободном обращениик общему количеству акций компании i на момент t расчѐта индекса);– весовой коэффициент (коэффициент, ограничивающий долю капитализациикомпании i на момент t расчѐта индекса);– курс, по которому цена акциикомпании i на момент t расчѐта индекса,номинированная в национальной валюте, приводится к валюте индекса (расчѐтнойвалюте36);– рыночная капитализация (free-float) по состоянию на момент t-1 расчѐтаиндекса;– значение делителя на момент t-1 расчѐта индекса;– разница между рыночной капитализацией, рассчитанной по ценам закрытия(closing market capitalization), и рыночной капитализацией, рассчитанной поскорректированным ценам закрытия (adjusted closing market capitalization): длякомпании i с корпоративными событиями, произошедшими к моменту t расчѐтаиндекса, рыночная капитализация (free-float)рассчитывается исходя изскорректированной цены закрытия, нового количества акций и коэффициента freefloat за вычетом рыночной капитализации (free-float), рассчитанной исходя изцены закрытия, количества акций и коэффициента free-float в момент t-1 расчѐтаиндекса.10 процентных пунктов,1941 – 1943 гг.1 000 процентных пунктов,31.12.1991 г.Информация по состоянию на 31.08.2015 г.Здесь и далее расчѐтная валюта – это валюта, в которой номинированы акции компаний,участвующих в расчѐте индекса.
Соответственно, рыночная капитализацияв формулерасчѐта индекса представлена в расчѐтной валюте.36162Продолжение таблицы189102Расчѐтные валюты (calculationcurrencies)3USD, AUD, BRL, CAD, CHF, EUR,GBP, HKD, JPY, MXN, SGDПериодичность публикациииндекса (calculation frequency)в режиме реального временив режиме реального времени каждые 15секунд с 9:00 до 18:00 (CET37); времязакрытия (close): 18:00 (CET)Частота пересмотра спискакомпаний, участвующих врасчѐте индексаежеквартально (третья пятницапоследнего месяца квартала, послезакрытия); при этом ежемесячно поразличным причинам некоторыекомпании исключаются, взамендобавляются новыеежегодно (сентябрь)Источник: разработано автором по данным [118;119]37Центрально-европейское время.4EUR, USD, AUD, CAD, CHF, GBP, JPY163Приложение Ж.
Динамика индексов S&P 500 и EURO STOXX 50Примечания:1) исторические значения индексов S&P 500 и EURO STOXX 50 доступны насайтепровайдерафинансовойинформацииYahoo!Finance:http://finance.yahoo.com/ с наименованиями S&P 500 (^GSPC) и ESTX50 EUR P(^STOXX50E) соответственно [125];2) значения индексов в графиках A–D представлены на конец торгового дня(close);3) пунктирной линией в графиках A и C обозначена дата, начиная с которойпубликуется индекс (foundation); до этой даты индекс рассчитан по методологии,действовавшей на момент его первичной публикации.A.
Динамика индекса S&P 500 с 03.01.1950 г. по 31.08.2015 г. (в процентныхпунктах, расчѐтная валюта – USD)2 5002 0001 5001 0005000B. Динамика индекса S&P 500 в 2000–2015 гг. (в процентных пунктах, расчѐтнаявалюта – USD)2 5002 0001 5001 00050001. 200005. 200009. 200001. 200105. 200109. 200101. 200205.
200209. 200201. 200305. 200309. 200301. 200405. 200409. 200401. 200505. 200509. 200501. 200605. 200609. 200601. 200705. 200709. 200701. 200805. 200809. 200801. 200905. 200909. 200901. 201005. 201009. 201001. 201105. 201109. 201101. 201205. 201209. 201201. 201305. 201309. 201301. 201405. 201409.
201401. 201505. 20150164C. Динамика индекса EURO STOXX 50 с 31.12.1986 г. по 31.08.2015 г. (впроцентных пунктах, расчѐтная валюта – EUR)6 0005 0004 0003 0002 0001 0000D. Динамика индекса EURO STOXX 50 в 2000–2015 гг. (в процентных пунктах,расчѐтная валюта – EUR)6 0005 0004 0003 0002 0001 00001. 200005. 200009. 200001. 200105. 200109. 200101. 200205. 200209. 200201. 200305. 200309. 200301. 200405.
200409. 200401. 200505. 200509. 200501. 200605. 200609. 200601. 200705. 200709. 200701. 200805. 200809. 200801. 200905. 200909. 200901. 201005. 201009. 201001. 201105. 201109. 201101. 201205. 201209. 201201. 201305. 201309. 201301. 201405. 201409. 201401. 201505. 20150E. Накопленная доходность с 31.12.1986 г.
по 31.08.2015 г. – накопленнаяразность натуральных логарифмов значений индексов (S&P 500 – сплошнаякривая, EURO STOXX 50 – пунктирная кривая) в момент t и предшествующиймомент t–12,52,01,51,00,50,0-0,5-1,0Источник: графики построены автором по данным [125]165Приложение И. Методология расчѐта индекса волатильности VIXамериканского срочного рынкаИндекс VIX измеряется в процентных пунктах и рассчитывается покотировкам опционов на фондовый индекс S&P 500 в режиме реального временипо следующей формуле:√*()(()+)(И.1)где (символом j ниже обозначены опционы с ближайшим (j=1) и последующим(j=2) исполнением, далее по тексту – типы опционов; см. также описаниеобозначений в таблице И.1):((И.2))(И.3)( )+∑*((*(И.4))(И.5)()(И.6)Формулу (И.1) можно записать в следующем виде:√*()()+(И.7)Описание обозначений в формулах (И.1) – (И.7) представлено в таблице И.1Таблица И.1 – Описание обозначений в формулах (И.1) – (И.7)№п/п1ОбозначениеОписание23Время до истечения срока (т.е.
до даты экспирации) опционов соответствующего типа (в долях календарного года)1Количество минут в 30-ти днях (30 × 1 440 = 43 200)234()Количество минут в невисокосном (високосном) году (365 × 1 440 = 525 600;366 × 1 440 = 527 040)Количество минут от момента расчѐта VIX до полуночи дня расчѐта VIX166Продолжение таблицы И.115678910111213143823Количество минут от полуночи расчѐтного дня (settlement day) до временирасчѐтов по опционам соответствующего типаКоличество минут между днѐм расчѐта VIX и расчѐтным днѐм (settlement day)по опционам соответствующего типа (не включая эти дни)Дисперсия для цен опционов соответствующего типа ( – подразумеваемаяволатильность опционов соответствующего типа)Безрисковая процентная ставка (эквивалентная облигационная доходностькраткосрочных казначейских векселей Министерства финансов США T-bills сосроками погашения максимально близкими к срокам исполнения опционовсоответствующего типа)Форвардное значение индекса S&P 500. Вычисляется по рассматриваемой длярасчѐта VIX выборке опционов38 соответствующего типа по формуле (И.6)Цена исполнения опционов соответствующего типа, при которой абсолютноезначение разницы между средней арифметической ценой опционов колли опционов путв момент расчета VIX самое минимальное врассматриваемой для расчѐта VIX выборке опционов соответствующего типаСредняя арифметическая цена опционов колл соответствующего типа в выборкев момент расчѐта VIX.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
