Диссертация (1137765), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Другими словами, предпринимается попытка найти величину ζ,которую рынок неявно использует для оценки «отмеченного» дериватива. Этувеличину ζ и называют предполагаемой волатильностью. Таким образом, расчѐтцены рассматриваемого производного финансового инструмента производится втерминахцены«отмеченного»дериватива.волатильности – улыбка волатильности [28].Криваяпредполагаемой150Цена F(x,t) европейского опциона колл на индекс VIX в момент времени t,удовлетворяющаяуравнению(Д.2)(другимисловами,являющаясяегорешением), задаѐтся формулой Блэка – Шоулза [34;56]:(), (.)-/,((Д.5))-где x – финансовая переменная, описывающая динамику индекса волатильности VIX (впроцентных пунктах); – цена исполнения (в процентных пунктах); t – отрезок времени отмомента заключения опционного контракта до момента его исполнения; T – момент исполненияопциона; – ставка по десятилетним казначейским облигациям США (в процентах годовых);– функция распределения случайной величины x стандартного нормального закона N[0,1] и:()[ .
/() (*]√()(√)где – среднегодовая волатильность индекса волатильности VIX. Таким образом, выражениедля F(x,t) можно записать в следующем виде:. /./. /√√()./√√√.∫/∫√√В формализме (Д.5) определяется разность величин (x – K). Каждаявеличина взвешивается. В качестве весов выступают вероятности.
Вычитаемое –дисконтированная на момент покупки опциона цена исполнения, помноженная навероятность исполнения опциона в момент истечения срока его действия.Ставкаrуказываетсявпроцентахгодовых,волатильностьζ–среднегодовая. Поскольку мы оцениваем шестимесячные опционы, выражение(Д.5) приведено к требуемой доле года:.Формула Блэка – Шоулза для оценки опциона пут на индекс VIX:()./,()-,()-(Д.6)все параметры, переменная и функции определены выше, см. (Д.5).Подставляя значение индекса волатильности VIX в момент t в функциюF(x,t), получаем теоретическую опционную премию в некоторый момент t+ε, сучѐтом временной задержки в обработке данных участниками рынка.151III. Оценка теоретических опционных премий с помощью негауссовскоймодели со смещением, которая основана на функции распределения Цаллиса (Non– Gaussian Option Pricing Model with Skew)Источники:– Borland L., Bouchaud J.-P.
A Non-Gaussian Option Pricing Model with Skew,2008. – 39 p;– Borland L. A Theory of Non – Gaussian Option Pricing, 2008. – 52 p.Финансовая переменная x удовлетворяет statistical feedback process:()()()()()(Д.7)( )где x – случайный ценовой процесс (индекс волатильности VIX); μ – локальная средняяскорость возврата (заданная неслучайная константа); ζ – волатильность процесса (заданнаянеслучайная константа); q – параметр распределения; P(ω) – функция плотности вероятностиЦаллиса (Tsallis), которая служит решением нелинейного уравнения Фоккера – Планка:( )( )и принимает следующий вид:(*(() (∫ (()))((*) ())+)*() () (∫ (())*+Цена F(x,t) европейского опциона колл на индекс VIX в момент времени tзадаѐтся следующей формулой:()∫ ,()( )-()./∫()(Д.8)152где x – финансовая переменная, описывающая динамику индекса волатильности VIX (впроцентных пунктах); – цена исполнения (в процентных пунктах); t – отрезок времени отмомента заключения опционного контракта до момента его исполнения; T – момент исполненияопциона; – ставка по десятилетним казначейским облигациям США (в процентах годовых); ψ– параметр, характеризующий асимметрию распределения;( )Коэффициенты A, B, C, D (коэффициенты Паде) определяются следующим образом (q –параметр распределения, σ – волатильность):*() ( ∫() (*(() *()((((() ( ∫() ())() *() ()+ +(()) (∫ (*)((+ +))()*+()*./+)))()()Границы интегрирования:√√где:.((.//))Ставкаrуказываетсявпроцентахгодовых,волатильностьζ–среднегодовая.
Поскольку мы оцениваем шестимесячные опционы, в выражениидля функции плотности P(ω,t) t заменяется на.Для обеспечения состоятельности решения и в то же время меньшейгромоздкости формальных выкладок, воспользуемся специальным случаем длялюбого значения q и ψ=1 (Non – Gaussian Multiplicative) в формализме (Д.8):153()(∫)(.)/∫ ()(Д.9)где:()*() ( ∫() (())++) ( ∫(()(*[() *() ()++(*()[]]все параметры, переменные и функции определены выше, см. (Д.8).Параметр q установлен равным 1,5.Формулы для оценки опциона пут на индекс VIX:(.)/(∫∫,)()( )-()(Д.10)(.)/∫ ()∫()()все параметры, переменные и функции определены выше, см.
(Д.8, Д.9).Подставляя значение индекса волатильности VIX в момент t в функциюF(x,t), получаем теоретическую опционную премию в некоторый момент t+ε, сучѐтом временной задержки в обработке данных участниками рынка.IV. Оценка теоретических опционных премий с помощью предложенного вовторой главе подхода, но для одномерного случаяВовторойглавеподробнорассмотренновыйподходкоценкетеоретической стоимости производных финансовых инструментов, в основекоторых лежат два ценовых процесса. Воспользуемся предложенным подходомдля оценки опционов на индекс VIX, т.е.
для одномерного случая.В соответствии с формализмом Фейнмана – Каца мы можем представитьобщее решение краевой задачи (Д.1), т.е. функцию F(x,t), которая определяетэволюцию во времени теоретической премии по опциону колл на индекс VIX, ввиде суммы следующего ряда:()∑( ( )./∫( )( )( ))(Д.11)154где ( ) – собственные (базисные) функции;– собственные значения, соответствующиесобственным функциям γ(x); n – номер собственной функции γ(x) и соответствующего ейсобственного значения λ; x – финансовая переменная, описывающая динамику индексаволатильности VIX (в процентных пунктах); T – момент исполнения опциона; t – отрезок,-;времени от момента заключения опционного контракта до момента Т его исполнения,w(x) – весовая функция; ( ) – функция выплат в момент Т исполнения опциона; K – ценаисполнения (в процентных пунктах); b – максимальное значение переменной x врассматриваемом периоде (включая некоторый предшествующий моменту заключенияконтракта период, в процентных пунктах).Весовая функция w(x) в формализме (Д.11) понимается как функцияплотностинегауссовскогоасимметричногораспределениявероятностейслучайной величины x и служит решением дифференциального уравненияЛиувилля первого порядка в спецификации И.
Пригожина и Г. Николиса (далее –«уравнение Пригожина») [17]:(())( )()( )(Д.12)после разделения переменных:()( )( )( )()( )( ) ()(Д.13)()где ( ) – эволюционирующая во времени искомая функция плотности негауссовскогоасимметричного распределения вероятностей случайной величины x, описывающей динамикуиндекса волатильности VIX; E(x) – правая часть уравнения движения; α – собственное значение,соответствующее весовой функции w(x); A – произвольная постоянная.Нестационарным решением линейного однородного дифференциальногоуравнения первого порядка (Д.12) служит функция:( )(∫)( )(Д.14)где E(x), α, А – определены выше, см. (Д.12, Д.13); B – произвольная постоянная.Стационарным решением линейного однородного дифференциальногоуравнения первого порядка (Д.13) служит функция:( )( )∫( )где E(x), α, B – определены выше, см.
(Д.13, Д.14).(Д.15)155В качестве правой части уравнения движения выберем следующуюфункцию E(x):()( )(Д.16)где u – параметр, определяемый численно (см. ниже).Параметр u определяется численно по рыночным значениям базовогоактива – индекса VIX. Для этого воспользуемся процедурой минимизациисреднеквадратичной ошибки [9] (на конечном числе точек, представляющихсобой переоценки и уточнения с учѐтом вновь доступной на рынке информации).Такой вид функции E(x) обеспечивает полиномиальное решение уравненияПригожина (Д.13):( )()Полиномиальная весовая функция w(x) позволяет построить на еѐ моментахсистему ортонормированных полиномов – базисных функций с помощью подходаГамбургера, о чѐм пойдѐт речь ниже. По нашему мнению, степень нелинейности,равная двум, в оценке деривативов на одномерный ценовой процесс являетсякомпромиссной с точки зрения последних трѐх принципов, которыми следуетруководствоватьсяпривыбореправыхчастейуравненийдвижения(Приложение Б).Произвольная постоянная B подбирается такой, чтобы площадь под кривой,которая описывается функцией w(x), на заданном отрезке [a;b] была равнаединице.Базисные функции γ(x) в формализме (Д.11) построим с помощьюопределителей матриц Ганкеля (подхода Гамбургера) моментов() весовойфункции w(x), служащей решением уравнения Пригожина (Д.13):()∫( )(Д.17)где [a;b] – заданный отрезок, на котором площадь под кривой, описываемой функцией w(x),равна единице.
Значения a и b – в процентных пунктах.Формула для ортонормированных многочленов γ(x) записывается в виде:156( )( )√(Д.18)где (значения моментов из формализма (Д.17) обозначены как M):||||||( )(Д.19)||(Д.20)Спектральные значения λ в формализме (Д.11) получим как собственныезначения матрицы, элементы которой – попарные произведения базисныхфункций γ(x), т.е. интегралы:∫ ( )( )(Д.21)Формула для оценки опциона пут на индекс VIX:()∑( ( )./∫( )( )( ))(Д.22)где a – минимальное значение переменной x в рассматриваемом периоде (включая некоторыйпредшествующий моменту заключения контракта период, в процентных пунктах); всеостальные параметры, переменные и функции определены выше, см.
(Д.11).Функция выплат по опциону колл на индекс VIX:( )2где K – цена исполнения (в процентных пунктах).Функция выплат по опциону пут на индекс VIX:( )2где K – цена исполнения (в процентных пунктах).Параметры a и b выбираются как минимальное и максимальное значенияпеременной x в рассматриваемом периоде (включая некоторый предшествующиймоменту заключения опционного контракта период).С учѐтом установленных в формализме (Д.11) для колл и в формализме(Д.22) для пут функции плотности w(x), базисных функций γ(x), собственных157значений λ и весов, которые определяются в виде коэффициентов разложенияфункции выплат Φ(x) по базису на заданном отрезке [K;b] для опциона колл:∫( )( )( )и на заданном отрезке [a;K] для опциона пут:∫( )( )( )получаем искомую функцию F(x,t), определяющую эволюцию во временитеоретической стоимости опциона на индекс VIX.Подставляя значение индекса волатильности VIX в момент t в функциюF(x,t), получаем теоретическую опционную премию в некоторый момент t+ε, сучѐтом временной задержки в обработке данных участниками рынка.Приведѐм в качестве примера первые пять базисных функций γ(x),построенных на моментах функции плотности w(x), которые мы использовали дляоценки одной из участвовавших в эксперименте серии опционов на индекс VIX:( )()( )()Собственные значения λ, которые соответствуют данным собственнымфункциям γ(x):()Пример функции выплат по опциону колл:( ){158V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
