Диссертация (1137765), страница 24
Текст из файла (страница 24)
На рисунке В.1также приведѐн контур этого распределения.Рисунок В.1 – Поверхность и контур, заданные весовой функцией w1(x,y) (x и yпробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)140Источник: разработано авторомНа рисунке В.2 приведѐн ещѐ один пример полученной методом Ритцавесовой функции – двумерной функции плотности вероятностей.Рисунок В.2 – Поверхность и контур, заданные некоторой весовой функцией –двумерной функцией плотности вероятностей (x и y пробегают значения от 0 до 2с шагом 0,01)Источник: разработано авторомИз рисунка В.1 и рисунка В.2 видно, что совместное распределениеасимметрично. Такой вид плотности гарантирует сохранение нетривиальныхсвойств совмещѐнных процессов.В заключение отметим, что регулируемыми параметрами в решенииуравнения Пригожина методом Ритца являются: область интегрирования;округления(собственныхзначений,коэффициентовприкоординатныхфункциях).
Их выбор (наряду с выбором самих координатных функций)оказывает влияние на численное решение.141Приложение Г. Подход Гамбургера в построении системыортонормированных по двум переменным полиномовВ параграфе 2.1 предлагается построить базис с помощью определителейматриц Ганкеля (подхода Гамбургера) степенных моментов весовой функции(функции плотности вероятности), служащей решением уравнения Пригожина(9).Всякой весовой функции (обозначим еѐ в формализмах ниже как w(x,y))соответствует система степенных моментов, которые определяются по формуле:()∬()(Г.1)где Γ – верхняя граница области интегрирования, соответствующая верхней границе областиопределения весовой функции, рассматриваемой как функции плотности совместногонегауссовского асимметричного распределения вероятностей двумерной случайной величины(т.е.
верхняя граница области интегрирования, в которой объѐм под поверхностью весовойфункции равен единице).Множество этих моментов можно представить в виде треугольной таблицы(здесь и далее значения степенных моментов из формализма (Г.1) обозначены какM):(Г.2)Из моментов (Г.2) составим определители:|||||(Г.3)|142||||Рассмотрим систему линейно независимых функций:(Г.4)В определителе (Г.3) заменим последнюю строку функциями (Г.4).Рассмотрим при n≥1 многочлен:(||)(||)(Г.5)С учѐтом (Г.3) и (Г.5) формула для ортонормированных многочленовзапишется в виде:()(√)(Г.6)(при k = 0 под знаком корня имеем:).С помощью формул (Г.3), (Г.5) и (Г.6) можно вычислять многочлены,ортонормированные по области V с весом w(x,y).
Применяя эти формулы,находим:()()()√√√||||(Г.7)()()√√||||||По этим и аналогичным формулам можно вычислить любое конечное числоортонормированных многочленов, если известны степенные моменты весовойфункции.143Подчеркнѐм, что эволюция раскладываемой по базису функции зависит какот выбранного базиса, так и от количества в нѐм базисных функций. Рассмотримпример.Разложим некоторую произвольно выбранную весовую функцию w(x,y)(которая служит решением уравнения Пригожина и в заданной областиинтегрирования понимается как функция плотности), к примеру:()()()()()в еѐ же базисе, построенном с помощью формул (Г.3), (Г.5) и (Г.6), сначала попяти базисным функциям (рисунок Г.1), затем – по тринадцати (рисунок Г.2).Первые пять ортонормированных многочленов имеют следующий вид:()() 100Рисунок Г.1 – Пространство и контур, заданные весовой функцией w(x,y),разложенной по пяти базисным функциям (ряды приведены к единичномуинтервалу, x и y пробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)Источник: разработано автором144 100Рисунок Г.2 – Пространство и контур, заданные весовой функцией w(x,y),разложенной по тринадцати базисным функциям (ряды приведены к единичномуинтервалу, x и y пробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)Источник: разработано авторомРазложим теперь функцию w(x,y) в другом базисе, построенном намоментах некоторой весовой функции θ(x,y) (которая также служит решениемуравнения Пригожина) с помощью формул (Г.3), (Г.5) и (Г.6), сначала по пятибазисным функциям (рисунок Г.3), затем – по тринадцати (рисунок Г.4).Первые пять ортонормированных многочленов имеют следующий вид:()() 1000Рисунок Г.3 – Пространство и контур, заданные весовой функцией w(x,y),разложенной по пяти базисным функциям (ряды приведены к единичномуинтервалу, x и y пробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)Источник: разработано автором145 100Рисунок Г.4 – Пространство и контур, заданные весовой функцией w(x,y),разложенной по тринадцати базисным функциям (ряды приведены к единичномуинтервалу, x и y пробегают значения от 0 до 1 с шагом 0,01)Источник: разработано авторомВрассмотренныхпримерахполученадвумодальнаяасимметричнаяфункция плотности вероятностей совместного распределения, разложенная побазисным функциям.
Это видно на рисунках Г.1–Г.4.Двумодальность означает, что субъективно ожидаемый сценарий будущегов представлении участника рынка раздваивается на два равноправных сценария,что заведомо влечѐт за собой возрастание неопределѐнности, а следовательно, исложность выработки правильной стратегии поведения.
Вероятнее всего,двумодальность обусловлена слабой взаимосвязью между ценовыми процессами,которые описываются финансовыми переменными x и y.Асимметричностьплотностигарантируетсохранениенетривиальныхсвойств совмещѐнных процессов.Очевидно, что первое свойство плотности и, соответственно, построенныхна еѐ моментах базисных функций, окажет положительное влияние натеоретическуюценусложногофинансовогопродукта,посколькунеопределѐнность приводит к дополнительной рыночной премии за риск. Втораяхарактеристика обеспечит структурированный дериватив новыми свойствами наоснове совместного действия и сложности связей, лежащих в основе базовыхактивов.146Таким образом, приведѐнные в примерах базисы обладают свойствами,необходимыми для работы со сложными процессами.В диссертации для оценки двух предложенных структурированныхдеривативов, базовыми активами которых служат индексы волатильности, былиспользован следующий базис:()()Базис был построен на степенных моментах функции плотности, котораяхарактеризуется асимметричностью, но не является двумодальной (см.
параграф3.2).147Приложение Д. Результативность применения предложенного во второйглаве подхода в оценке стандартизированных биржевых инструментов наодномерный ценовой процессI. Постановка задачиПокажем, что предложенный во второй главе новый теоретический подходкопределениюсправедливойстоимостиструктурированныхдеривативовобеспечивает бóльшую, в сравнении с существующими моделями, точностьоценки теоретических премий по стандартизированным биржевым контрактам –опционам, в основе которых лежит один ценовой процесс.
Оценим надѐжностьвсех параметров, входящих в решение, и убедимся в его устойчивости. В качествемеры точности будем использовать средний квадрат отклонения теоретическихцен опционов от эмпирических премий.Вэкспериментеучаствуютликвидныешестимесячныеопционыевропейского типа колл и пут на индекс волатильности VIX американскогосрочного рынка, действовавшие в 2010–2015 гг.Оценку теоретических опционных премий проведѐм тремя способами:– по модели Блэка – Шоулза (Black – Scholes Option Pricing Model), котораяоснована на гауссовском распределении [56];– с помощью негауссовской модели со смещением, которая основана на функциираспределения Цаллиса (Non – Gaussian Option Pricing Model with Skew);– с помощью предложенного во второй главе подхода, но для одномерногослучая.II.
Оценка теоретических опционных премий по модели Блэка – ШоулзаДля определения цены F(x,t) опциона европейского типа необходиморешить краевую задачу [34]:(,)(( )())( )( )()()(Д.1)148где F(x,t) – искомая функция, определяющая эволюцию во времени опционной премии; ( ) –функция мгновенного смещения; ( ) – функция мгновенной диффузии; r – вещественноечисло (безрисковая процентная ставка); Φ(x) – функция выплат в момент Т исполненияопциона; x – финансовая переменная, описывающая динамику индекса волатильности VIX (вфункции выплат – значение данной финансовой переменной в момент T исполнения опциона, впроцентных пунктах); T – момент исполнения опциона; t – отрезок времени от моментазаключения опциона до момента Т его исполнения.Первый формализм в системе (Д.1) – обратное уравнение Колмогорова(инфинитезимальный оператор Дынкина).Рассмотрим следующие параметризующие функции:( )( )Подставим их в первый формализм системы (Д.1).
Получим уравнениеБлэка – Шоулза [34;56]:(())()(,())(Д.2)( )где ζ – волатильность; F(x,t), Φ(x), r, x, T, t – определены выше, см. (Д.1).Финансоваяпеременнаяудовлетворяетxстохастическомудифференциальному уравнению:()()()()(Д.3)( )где x – случайный ценовой процесс (индекс волатильности VIX); μ – локальная средняяскорость возврата r (заданная неслучайная константа); ζ – волатильность процесса (заданнаянеслучайная константа); W – винеровский процесс; s – значение переменной в момент t=0(начальное условие).Отметим, что уравнению (Д.3) удовлетворяет геометрическое броуновскоедвижение (GBM).В качестве параметра r выберем среднюю ставку по десятилетнимказначейским облигациям США, которая действовала в период оценки опциона.Дляопределенияпараметраζ(волатильность)воспользуемся«исторической волатильностью».Поскольку на рынке волатильность не является постоянной во времени,стандартный подход заключается в использовании исторических данных за149период, равный периоду времени, оставшемуся до момента исполнения опциона.В нашем случае воспользуемся данными о значениях индекса VIX запредшествующиемоментузаключенияконтракташестьмесяцевизапоследующие шесть месяцев (период действия опциона).
На это есть основание:формированиецены опционанарынкепроизводитсясучѐтомвновьпоявляющейся информации о значении волатильности. Наше огрубление – этознание значений индекса VIX на всѐм периоде действия опциона. Соответственно,«разовый» расчѐт волатильности и построение модели на его основе, с учѐтомэтого знания, эквивалентны итерационному (изо дня в день) пересчѐту модели пообновлѐнному значению волатильности [28].
Таким образом, оценка для ζ имеетвид:√∑∑./(Д.4)где – историческая среднегодовая волатильность (стандартное отклонение); n – количествонаблюдений; x – определена выше, см. (Д.1). Выражение в числителе под корнем квадратным –дисперсия за один торговый день. Для расчѐта среднегодовой дисперсии необходимо числительразделить на, где m – количество торговых дней в году.Существует также другой подход к оценке параметра ζ, основанный на«предполагаемойотносительноволатильности»,учитывающейволатильности в периодрыночныеожиданиядействия дериватива.Для этогорассматривается эволюция цены некоторого «отмеченного» производногофинансовогоинструментасаналогичнымиоцениваемомудеривативухарактеристиками. Решается уравнение Блэка – Шоулза (Д.2) относительнонеизвестной ζ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
