Диссертация (1137765), страница 23
Текст из файла (страница 23)
правых частей уравнений132движения. Параллельно будем давать комментарии к каждому из них. Итак,выделим пять принципов.–Принципметодологическогонатурализма.Длябиологическихсистем(напомним, что за обсуждаемыми здесь формализмами (Б.2) и (Б.3) стоитсубъективное восприятие ценового процесса участниками рынка, работаголовного мозга) характерно периодическое изменение различных характеристик.В фазовом пространстве такому типу поведения соответствует притягивающеемножество (аттрактор), называемое предельным циклом. Предельный цикл естьизолированная замкнутая кривая на фазовой плоскости, к которой в пределе приt→∞ стремятся все интегральные кривые.
Предельный цикл, таким образом, иотражает закон убывания неопределѐнности субъективной картины мира по мерепродвижения мысленного взора к более отдалѐнному будущему (при достаточнобольшом t) – интуитивная картина будущего является более упорядоченной посравнению с субъективной картиной настоящего [83].– Принцип (а точнее, принципы) нелинейной динамики.
Предложенный впараграфе 2.1 универсальный подход к ценообразованию структурированныхпродуктовосновываетсянамногомерномбазовомпроцессе.Намирассматриваются два ценовых процесса, следовательно, минимальная модельдолжна содержать два уравнения. Таким образом, выбор априори более сложногоповедения системы (чем, например, отсутствие всяких временных изменений,хорошо описываемое бифуркациями неподвижных точек, а также поведениесистемы,позволяющеепроводитьлинеаризациюуравненийдвижения)обращается к предельному циклу, требующему двух уравнений, правые частикоторых должны быть представлены нелинейными функциями.
Кроме того,рассматриваемые уравнения движения должны быть приведены к каноническомувиду (данный подход лежит в основе теории катастроф [1;11]).– Принцип «разумной максимизации» степени нелинейности: чем выше порядокнелинейности, тем более широкий класс процессов она может описать.
Двапоследних принципа объясняют границы «разумности».133– Принцип создателя аэродинамики Н.Е. Жуковского: «Механиком является нетот, кто пишет уравнения, а тот, кто пишет их так, что они интегрируются».Нелинейность должна обеспечить возможность решения уравнения Пригожина(9) доступными исследователю способами.– Техническая возможность решения уравнения Пригожина (9) средствамиMathcad, Maple, Matlab, Mathematica. Очевидно, что данный принцип являетсябалансирующим между третьим и четвѐртым принципами.Типичная нелинейность в формализме (10), обеспечивающая бифуркациюПуанкаре – Андронова – Хопфа соответствует всем вышеуказанным принципам.По нашему мнению, степень нелинейности, равная трѐм, является компромисснойс точки зрения последних трѐх принципов.134Приложение В.
Решение двумерного уравнения Пригожина методом РитцаПостроить аналитическое (в смысле, нечисленное) решение 33 уравненияПригожина (9) с выбранными правыми частями уравнений движения (10) непредставляется возможным в силу следующих причин34:– нет готового первого интеграла (principal integral) в справочной литературе [46];–решениечерезнахождениедвухнезависимыхпервыхинтеграловхарактеристической системы:(()().()())/()не обеспечит должным результатом: по ходу решения появятся либо арктангенс,либо симбиоз показательной и степенной функции, когда переменная x или yприсутствует как в основании степени, так и в показателе степени;– решение динамической системы (10), получение x(t), y(t), w(t), принятие w(t) засложную функцию с последующим возвратом к переменным x и y также необеспечит должным результатом в силу причин, описанных в предыдущемпункте;– средства Mathcad, Maple, Matlab, Mathematica не позволяют построитьаналитическое решение.В случае, когда построить решение дифференциального уравненияаналитически не представляется возможным, а также в случае необходимостирешения задачи о собственных значениях и собственных функциях (аналогичнопо смыслу задаче Штурма – Лиувилля), следует поставить вариационную задачуна поиск минимума функционала, являющегося функцией – решением исходногодифференциальногоуравнения.Дляэтогоможновоспользоватьсятакназываемыми прямыми методами, которые позволяют при заданных краевых33В том числе стационарное решение (α=0) уравнения (9) с последующим подбором оператора,позволяющего прийти к нестационарному решению.34Приведѐнный здесь набор причин был установлен в ходе проведѐнного нами эксперимента втретьей главе (получение функции плотности для аналитической оценки сложных продуктов) ине является исчерпывающим.135естественныхусловиях(Feller’sboundary classification[36;37])получатьчисленное решение исходного дифференциального уравнения.Рассмотрим решение двумерного уравнения Пригожина (9) методом Ритца.Шаг 1.
Установим краевые естественные условия и зададим областьинтегрирования.Врамкахпредпосылкичистокфинансовогоустановлениюисследованиякраевыхусловиймывправеослабитьизаданиюобластиинтегрирования, о которых идѐт речь в математической литературе прирассмотрении метода Ритца для двумерных уравнений, в частности, для задачиДирихле.Искомая функция плотности w(x,y) должна удовлетворять в заданнойобласти интегрирования V требованию к объѐму под поверхностью (должен бытьравен единице) и w(x,y) ≥ 0 в силу того, что функция распределениянеубывающая.
Это естественные условия задачи.Область интегрирования должна соответствовать области определенияфинансовых переменных x и y, которые описывают цены базовых активовструктурированного дериватива. Чем ближе верхние и нижние границыинтегрирования расположены к наблюдаемым на рынке ценам базовых активов врассматриваемом периоде времени (периоде, в рамках которого, оцениваетсясправедливая стоимость сложного продукта), тем точнее будет численноерешение.Шаг 2.
Установим вид функционала, в отношении которого ставитсявариационная задача.Задача с естественными краевыми условиями эквивалентна вариационнойзадаче для функционала:, ()-∬ ()()()()()()() (()())(В.1)То есть приближѐнное решение уравнения Пригожина (9) с естественнымиусловиями даѐт минимум функционалу (В.1). Если существует функция θ(x,y),136дающая минимум функционалу (В.1), то эта функция служит приближѐннымрешением уравнения (9).Шаг 3. Выберем систему линейно независимых функций (координатныхфункций).Как и в случае установления естественных условий, при выборекоординатных функций необходимо учесть, что весовая функция θ(x,y),служащая приближѐнным решением уравнения Пригожина (собственная функциязадачи Штурма – Лиувилля), должна обладать свойствами функции плотностивероятностивзаданнойобластиинтегрирования.Приэтом,областьинтегрирования необходимо максимально приблизить к области определения x иy с точки зрения их экономического содержания для более точной оценкикоэффициентов при координатных функциях в численном решении.
В такомслучае, весовую функцию θ(x,y) можно определить как функцию плотностивероятности.Системулинейнонезависимыхкоординатныхфункцийвыберемпроизвольно для удобства расчѐтов и технической возможности получениярешения. В таблице В.1 приведены примеры двух наборов координатныхфункций, которые мы использовали в нашем исследовании.Таблица В.1 – Примеры двух наборов координатных функцийПервый набор координатных функций(())(((())))Второй набор координатных функций(((())))Источник: разработано авторомЗаметим, что методом Ритца можно отыскать (разумеется, приближѐнно)лишь конечное число собственных значений задачи Штурма – Лиувилля (какправило, такие задачи имеют бесконечное множество собственных значений).137Причѐм, чем больше используется координатных функций, тем больше находимсобственных значений и выше точность вычислений.Шаг 4.
Установим вид решения вариационной задачи – функцию плотностиφ(x,y), которая служит приближѐнным решением уравнения Пригожина.Решение вариационной задачи будем искать в виде линейной комбинации,принадлежащей классу допустимых функций при любых постоянных c (т.е.удовлетворяющей естественным краевым условиям):()∑,()-(В.2)где c – коэффициенты при координатных функциях,.Для первого набора базисных функций из таблицы В.1 функция θ(x,y) всоответствии с (В.2) примет следующий вид:()()(()()()())а для второго набора:()()()()()Подставляя выражение (В.2) в функционал (В.1), получим некоторуюфункцию R[θ(x,y)]:, -∬[∑ (*][∑ (*])]* [∑(((В.3)Функции R[θ(x,y)], E(x,y), G(x,y), w(x,y) здесь и далее обозначены в компактном виде: R[θ], E,G, w.Подберѐм теперь коэффициенты,…,так, чтобы функция R[θ] имеламинимум.
Если данная функция существует и даѐт минимум функционалу, то онаи служит решением дифференциального уравнения.Для этого необходимо выполнение следующих условий (дифференцируемпо параметрам,…,под знаком интеграла и приравниваем к нулюпроизводные, j=1,2,...,n):, -∬[∑ (*][∑ (*](*[∑(Другими словами, приходим к следующей системе:)](В.4)138{()()()∑()()()()∑()()()()∑()(В.5)где:()∬((В.6)*Из линейной системы (В.5) и определяются коэффициенты,…,.Подчеркнѐм, что их оценка производится в области определения V финансовыхпеременных x и y, которая максимально приближена к наблюдаемым на рынкеценам базовых активов сложного продукта.Для составления системы (В.5) подсчитаем коэффициенты при неизвестных,…,и свободные члены (,). В силу того, что нами рассматриваетсязадача о собственных значениях и собственных функциях, коэффициенты будутвключать в себя «альфы».Система (В.5) имеет ненулевое решение,…,тогда и только тогда, когдаеѐ определитель равен нулю.
Приравнивая к нулю определитель системы,получим характеристическое уравнение и решим его относительно α. Такимобразом находим приближѐнные собственные значения задачи (по ходу решения,в целях недопущения появления мантиссы с высоким порядком после гауссовскойпроцедуры, следует округлять «альфы» до трѐх знаков после запятой).Далее вновь возвращаемся к системе (В.5) и для каждого собственногозначения α методом Гаусса находим коэффициенты,…,. Подставляянайденные значения коэффициентов в формулу (В.2) получаем собственнуюфункцию θ(x,y) уравнения (9) при данном собственном значении α. Отметим, чтокаждое собственное значение и соответствующая ему собственная функцияформируют полный ортогональный базис гильбертова пространства.Из полученных пар собственных значений и соответствующих имсобственных функций следует выбрать собственное значение, обеспечивающее139максимальную близость к единице (относительная погрешность должна бытьминимальной) объѐму под поверхностью соответствующей ему собственнойфункции.Округлением коэффициентов при координатных функциях добиваемся«единицы под поверхностью» выбранной собственной функции θ(x,y).
Такаяфункция и будет являться приближѐнным решением уравнения Пригожина (9),т.е. функцией плотности w(x,y) совместного негауссовского асимметричногораспределения вероятностей двумерной случайной величины (весовой функцией).Напомним, что на степенных моментах функции плотности строится базис,которыйобеспечиваетэволюциювовременисправедливойстоимостиструктурированного дериватива. Функция плотности также присутствует в явномвиде в формализме (7), позволяющем определить справедливую стоимостьсложного финансового продукта.В качестве примера на рисунке В.1 представлена полученная методом Ритцавесовая функция, которая в заданной области интегрирования (областиопределения финансовых переменных x и y) понимается как плотностьвероятностейсовместногораспределенияценбазовыхактивовструктурированного дериватива, описываемых финансовыми переменными x(отношением процентной ставки EURIBOR 3M к котировке валютной парыEUR/USD) и y (значением процентной ставки LIBOR USD 3M).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
