Диссертация (1137765), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Его решение и определяет поле уравнения Дынкина, линейное поH(x,y).Итак, мы показали, что выбранная функция ψ(w(x,y),x,y) удовлетворяетдвумерному уравнениюСоответственно,Гамильтонауравнение–ПригожинаЯкоби(9)дляуравненияпредставляетДынкина.собойполе(совокупность траекторий) для уравнения Дынкина (А.1). С учѐтом (А.3), (А.5),(А.6) функции H(x,y) и w(x,y) соотносятся между собой следующим образом:()()()()()То есть:()(())(А.8)В параграфе 2.3, при рассмотрении разложенияфункциивыплатструктурированного дериватива по базису, даѐтся пояснение тому, какую рольвыполняет функция:()(())Поскольку уравнение Пригожина представляет собой поле для уравненияДынкина и с учѐтом соотношения (А.8) функций H(x,y) и w(x,y), мы вправеиспользоватьрешениеуравненияПригожинаw(x,y)впредставленииэволюционирующей во времени стоимости дериватива (7).
Другими словами,решение уравнения Дынкина (5) тождественно выражению (7), в основе котороголежит плотность вероятности w(x,y), как решение уравнения Пригожина (9).127Приложение Б. Уравнение Пригожина и принципы выбора правых частейуравнений движения: теория динамических систем в аналитической оценкеструктурированных деривативов с двумя базовыми активамиВ дополнение к рассмотренной в Приложении А связи между уравнениемПригожина и уравнением Дынкина в контексте теории поля, приведѐмобоснованиевыборатеоретическоговоподходавторой главек(посвящѐннойаналитическойоценкеразработкеновогоструктурированныхдеривативов) уравнения Пригожина (а не, например, Фоккера – Планка, решениемкоторого также служит функция плотности вероятности и которое сопряжено суравнением Дынкина) с точки зрения современной теории динамических систем.Предложены также принципы, которыми следует руководствоваться при выбореправых частей уравнений движения (динамической системы) в уравненииПригожина.В силу сложности и нетривиальности связей, лежащих в основе базовыхактивов, структурированные деривативы являются предметом исследованиянелинейной динамики, теории динамических систем [11–14;38].
За счѐтсовместного действия структурированный дериватив наделяется некими новыми«свойствами», которые интересно как с академической, так и с практическойточек зрения исследовать и сравнить со «свойствами» отдельно взятых частейпродукта. В этой связи, важно сопоставить выигрыш (в том числе с позиции егополучателя)вобоихслучаяхисделатьвыводыобэкономическойцелесообразности (или об еѐ отсутствии) наличия на рынке структурированныхпродуктов.
Разложение функции выплат по базису (см. параграф 2.1) и,соответственно, оценка позволяют выявить «свойства» инструмента (сравниваяего теоретическую цену с суммой (либо же разницей – в зависимости отспецификации функции выплат) цен составных частей, с одновременнойвариацией всей совокупностью параметров продукта) и осуществить подобноесопоставление выигрыша.128Обратимся к проблеме сложного с точки зрения современной теориидинамических систем.
Цель теории – исследовать типы поведения систем,описываемых взаимосвязанными нелинейными уравнениями. В монографии [17]рассматриваются минимальные условия возникновения сложного поведения иосновные особенности решений соответствующих уравнений. Кроме того,обсуждаются некоторые механизмы, посредством которых нелинейная система,отклонѐнная от равновесия, может порождать неустойчивости, приводящие кбифуркациям, нарушению симметрии и внезапному появлению хаотическойдинамики – естественной тенденции широкого класса систем (в частности,финансовых рынков) к переходу в состояния, в которых обнаруживаются какдетерминистическое поведение, так и непредсказуемость.Динамические системы обычно задают в виде уравнений движения [13].Последние позволяют по точке x в момент времени t найти точку, отвечающуюследующему моменту времени (t+1 – для дискретного времени, t+dt – длянепрерывного времени), и так – шаг за шагом.
Одна из основных задачхаотической динамики и состоит в том, чтобы по уравнениям движенияисследовать свойства отображения – дискретной группы преобразованийфазового пространства.Рассмотрим динамические системы с конечным числом переменных.Динамические уравнения для систем с конечным числом степеней свободы имеютвид [17]:(* + )(Б.1)где i = 1,..,n; X – состояния системы.Подразумевается,чтов оператореFнетявнойзависимости отпространственной координаты. Мы ограничиваемся случаем автономных систем,для которых F не содержит явной зависимости от времени, вследствие чеготраектории в фазовом пространстве инвариантны [17].Эволюциюдинамическойсистемыможнорассматриватькакпреобразование, отображающее фазовое пространство само в себя.
В процессе129этого преобразования траектории, выходящие из определѐнной части фазовогопространства, образуют сложное движение. Одна из возможностей его описаниясостоит в полном задании состояния системы ( ,..,) в любой момент времени,позволяющем предсказывать еѐ состояние во все последующие времена. В такомслучае, решение динамических уравнений (Б.1) однозначно. Однако, когдадвижение в фазовом пространстве становится чрезвычайно сложным, как в случаехаотическогорежима–нетривиальносвязанныхслучайныхпроцессов(описывающих динамику цен базовых активов, формирующих сложныйфинансовый продукт), такой подход не имеет смысла.
Здесь рассуждать на языкеотдельных траекторий вообще бессмысленно. Очевидно, что необходим другойспособ описания.Одним из наиболее распространѐнных способов описания являетсявероятностный подход. Установим вид уравнения для плотности вероятности ρ сцелью получения возможности предсказывать вероятность появления в системетех или иных значений определѐнных финансовых переменных. Для этоговоспользуемся некоторыми рассуждениями, весьма близкими к тем, которыеиспользуются в механике жидких сред – методологическом основаниирассматриваемого здесь подхода.В результате получим следующее уравнение [17]:∑(*(Б.2)Алгебраическая сумма второго слагаемого в круглых скобках (без ρ) –дивергенция вектора F, компоненты которого отражают скорость изменениясоответствующих переменных X.
Смысл уравнения состоит в том, что плотностьвероятности ρ при движении в фазовом пространстве сохраняется (теоремаЛиувилля). ρ – вероятность обнаружения в момент времени t некоторого члена«ансамбля» (ансамбль Гиббса – очень большое число идентичных систем,находящихся в одних и тех же макроскопических условиях) в элементе объѐмафазового пространства, содержащего внутри себя состояние X.130Уравнение (Б.2) используется для описания процессов, протекающиххаотично, т.е. в тех случаях, когда детерминистическое поведение носит взначительной мере случайный характер.Итак,структурированныепроизводныефинансовыеинструментыпокрывают сложные явления, возникающие в финансовой системе.
Мыустановилиметодологическоеоснованиедляиханалитическойоценки:дифференциальное уравнение Лиувилля с частными производными первогопорядка в спецификации И. Пригожина и Г. Николиса (Б.2). Решением уравненияслужит функция плотности вероятности, которая лежит в основе формализма (7),описывающегоэволюциювовременисправедливойстоимостиструктурированного дериватива.В структуре уравнения Пригожина – правые части уравнений движения.Для двумерного случая – два уравнения движения:()()()(Б.3)()Выражение (Б.3) и есть динамическая система – автономная системадифференциальных уравнений, анализируемая с точки зрения поведения еѐтраекторий в фазовом пространстве.
В нашем исследовании правые частиуравнений движения отвечают за субъективное восприятие ценового процессаучастниками рынка и описывают мгновенное смещение процесса. Заметим, что впредлагаемомнамитеоретическомподходеканалитическойоценкеструктурированных деривативов динамическая система является заданной.Итак, мы определили динамическую систему как ценовой процесс, длякоторого однозначно определено понятие состояния как совокупности значенийфинансовой переменной в заданный момент времени и задан оператор,определяющийэволюциюначальногосостояниявовремени.Намирассматривается автономная система дифференциальных уравнений с двумястепенями свободы (двумерное фазовое пространство).
Предлагаемый здесь131подход легко переносится на более высокие порядки степеней свободы(многомерные фазовые пространства под многомерные распределения).Коль скоро количество возможных правых частей уравнений движенияостаѐтся слишком большим, необходимо выработать подход к установлению ихвида.Очевидно, что структура будет весьма специфически зависеть от характерарассматриваемой системы, а также от типа протекающих в ней процессов. Внашемисследованииправыечастиуравненийдвиженияотвечаютзасубъективное восприятие ценового процесса участниками рынка. Как раз здесь иначинает играть особую роль представление о нелинейности. Именно онаотвечает за множественность решений и, следовательно, за диверсификациютипов поведения системы.
На финансовом рынке нелинейностей, пожалуй, неменьше чем в механике жидких сред. Последняя, кстати, служит для насотличным«прототипомсложного»: скорость изменениятойилиинойхарактеристики среды, помимо прочих факторов, зависит от переноса этойхарактеристики за счѐт течения среды, скорость которого является одной изпеременных данной задачи.В научной литературе по теории динамических систем выделены средивозможных правых частей уравнений движения типичные модели [11–14;38],исследование которых даѐт информацию о широком классе объектов.
Кроме того,разработанаполнаяклассификациявсех структурно-устойчивых фазовыхпортретов систем, эволюционирующих в двумерном фазовом пространстве.Лейтмотивом нашего исследования (см. параграф 2.1) стала бифуркациярождения (исчезновения) предельного цикла из сложного фокуса конечномернойдинамической системы: бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа [13;14].Наметив общий подход к заданию динамической системы, сформулируемтеперь строго принципы, которыми следует руководствоваться при выборенелинейности (или, выражаясь на языке нелинейной динамики, типичнойбифуркации нелинейных динамических систем), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
