Диссертация (1137703), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Расчеты проводились для 3–25 агентов, затемотдельно для 29, 30, 39, 40 и так далее до 99, 100. Это объясняетизменение характера поведения индекса после 25 агентов.Прежде чем приступать к описанию конкретных результатов,укажем на несколько особенностей, многие из которых присущи нетолько данным правилам.Во-первых, наибольшая манипулируемость в среднем достигаетсядля 5-10 агентов в зависимости от правил и метода расширенияпредпочтений. Для меньшего числа агентов меньшая в среднемманипунируемость объясняется тем, что меньшее число агентовнеудовлетворено коллективным выбором.
По мере роста числа агентовколичество "недовольных" растет.73Рисунок 4.1. Индекс Нитцана-Келли для упорядочения Лексимин и 3-хальтернативРисунок 4.2. Индекс Нитцана-Келли для упорядочения Лексимакс и 3-хальтернатив74В то же время наблюдается и обратная тенденция: чем больше агентов,тем меньше возможностей у отдельно взятого участника голосованияповлиять на его исход. Таким образом, на индекс Нитцана-Келлиоказывают влияние две разнонаправленные тенденции, и именнопоэтомуврядеслучаевможновидетьмаксимуммерыманипулируемости.Во-вторых, заметны периоды в изменении значения индекса.Можно условно выделить три группы правил в зависимости отхарактера изменения индексов: правила, для которых длина периодазависит от1) кратности числа агентов числу альтернатив;2) четности/нечетности рассматриваемого числа агентов;3) других факторов.Несмотря на наличие третьей группы, большинство правилукладываются в первые две категории.
Для представленных вышеправил из Рис. 4.1 и 4.2 видно, что к первому типу относятся правилоотносительного большинства, одобряющее и пороговое голосование. Ковторой группе относится процедура Блэка. Это особенно хорошо виднона Рис. 4.1; на Рис. 4.2 это также можно заметить при большом числеагентов. В то же время правило Борда сложно отнести к какой-токатегории.Попробуем обобщить данные наблюдения, выделив характерныечерты, которые влияют на такое поведение индекса.
Зависимостьиндекса от кратности числа агентов числу альтернатив показывает, чторассматриваемаямераманипулируемостисильнозависитотмножественного выбора, так как в зависимости от сочетания числаагентов и числа альтернатив имеется различная вероятность реализацииконкретногомножественноговыбора.Например,дляправилаотносительного большинства и случая трех альтернатив набор {a, b, c}75возможен только тогда, когда число агентов равно трем. В другихслучаях этот исход невозможен, поэтому не будет существовать никакихвозможностей перейти в этот набор путем манипулирования, чтосоответствующимобразомвлияетназначенияиндекса.Дляподтверждения наблюдения на Рис.
4.3 представлено распределениеисходов для правила относительного большинства и трех альтернатив.Разными цветами показана различная мощность исхода среди всехвозможных профилей.Рисунок 4.3. Доля множественного выбора для правила относительногобольшинства и трех альтернатив.На Рис. 4.3 отчетливо видна периодичность в изменениимножественноговыбора.Даннаяособенностьотражаетсявпериодичности изменения значения индекса. Следует также отметить,чтоданныйграфикподтверждаетважностьрассмотрениямножественного выбора.
Как видно из Рис. 4.3 даже для 25 агентов долямножественного выбора является слишком значительной, чтобы еёигнорировать – порядка 12%.76Зависимость значений индекса от четности и нечетности числаагентов также связана с разрешимостью правил (долей множественноговыбора среди всевозможных исходов). Однако в силу особенностей этихправил множественный выбор в них сильно зависит именно от четностии нечетности числа агентов, а не от кратности числу альтернатив. Длярассматриваемой процедуры Блэка это объясняется тем, что онаопределяется с помощью победителя Кондорсе, который находится спомощью мажоритарного графа – отношения простого большинства налюбых парах альтернатив.
Очевидно, что когда имеется нечетное числоагентов, то для любых двух альтернатив всегда можно сказать, какаябудет лучше для большинства. Иначе говоря, не может быть несколькопобедителей Кондорсе. В то же время при четном числе агентоввозможно равенство голосов между альтернативами и, как следствие,несколько победителей Кондорсе.Правило Борда не демонстрирует никакой четко выраженнойпериодичности в изменении индекса.
Этот факт также объясняетсяизменением доли множественного выбора для данного правила. Так какправило Борда основано на суммировании рангов, ни четность, никратность не влияют на значения индекса.В-третьих,манипулируемым,то,какоесильноправилозависитотявляетсяминимальнорассматриваемогометодарасширения предпочтений. Не во всех случаях можно найти правило,которое для данного числа агентов и числа альтернатив будет наименееманипулируемо для всех рассматриваемых расширений. Это опять жесвязано с особенностями рассматриваемых правил. Если правило самопо себе более "консервативно" (направлено в основном на отсутствие ввыборе худших для кого-то альтернатив), то стоит ожидать, что оноизначально даст лучший исход для агентов с "консервативными"предпочтениями, тем самым снижая стимулы к манипулированию. Это,77в частности, объясняет, почему одобряющее голосование q=2 имеет(нестрого) меньшую манипулируемость при расширении Leximin3, чемпри Leximax3.
Как уже отмечалось в главе 3, для трех альтернативодобряющееголосованиеq=2совпадаетсобратнымправиломотносительного большинства, так как голосование за две лучшиеальтернативы равносильно голосованию против одной наихудшей вслучае, когда всего три альтернативы. Поэтому данное правило можносчитать"консервативным",чтопоказываетнестрогоменьшуюманипулируемость для "консервативного" расширения Leximin3, вкотором наборы упорядочиваются с точки зрения наличия в них худшихальтернатив.
В частности, для 6 агентов и упорядочения Leximin3одобряющееголосованиедажеq=2становитсяминимальноманипулируемым.Вернемся к результатам расчета, представленным на Рис. 4.1 и 4.2.Очевидно, что распространенное правило относительного большинстваявляетсясамымманипулируемымвбольшинствеслучаев,заисключением описанных выше. Заметим также, что при достаточнобольшом числе агентов рассматриваемые правила в большинствеслучаев можно упорядочить по убыванию меры манипулируемости.Наименее манипулируемым правилом из рассматриваемых являетсяпроцедура Блэка.
Обобщим результаты в Табл. 4.3.Таблица 4.3 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 3-х альтернатив и первой группы правилАгенты3 4 567 8 9 10 11 12 13 ~ 100Leximin3 Bl Bl Bl2-ABl Bl Bl Bl Bl 2-A Bl ~ BlLeximax3 Pl Bl BlBlBl Bl Bl Bl Bl Bl Bl ~ BlPWorst3 Bl Bl Bl2-АBl Bl Bl Bl Bl Bl Bl ~ BlPBest3Pl Bl Bl Pl*, Bl Bl Bl Bl Bl Bl Bl Bl ~ BlПримечание: 2-A – одобряющее голосование q=2; Bl – Правило Блэка; Pl – Правилоотносительного большинства78Сразу отметим необычный факт: для 6 агентов и расширенияPBest3 наименее манипулируемым является правило относительногобольшинства.
Однако, если взглянуть на значения индексов НитцанаКелли, то для этого случая для правила относительно большинства онравен 0,2463, а для правила Блэка 0,246675. Разница между значениямииндекса составляет 0,000375, что меньше погрешности в вычислениииндекса. Таким образом, мы не можем отвергнуть гипотезу о равенствезначений индексов.
Отметим, что для 12 агентов правило одобряющегоголосования обладает меньшей манипулируемостью, чем правило Блэка,хотя из Рис. 4.1 кажется, что они почти совпадают. Разница в значенияхиндексов составляет 0,007377, что больше длины доверительногоинтервала, и мы можем отвергнуть гипотезу о равенстве индексов.Таким образом, в большинстве случаев наименее манипулируемойявляется процедура Блэка.
Рассмотрим случай большего числаальтернатив и проверим, сохранится ли подобное соотношение для него.Для4-хальтернативимеется10различныхрасширений,полученных с использованием алгоритмов, представленных в Главе 2(см. приложение А). Однако, как и раньше, часть значений совпадаетдля разных методов. Значения индекса Нитцана-Келли для даннойгруппы правил, 4-х агентов и 4-х альтернатив представлены в Табл. 4.4.Как видно из таблицы, несмотря на большое количество методов,в ряде случаев значения индекса совпадают. Ситуация усложняется из-затого, что разные правила могут давать одинаковую манипулируемостьпри разных методах расширения предпочтений. Например, правилоБорда дает одинаковую манипулируемость при Leximax4 и PBest4, в товремя как правило Блэка дает одинаковую манипулируемость приLeximax4 и PWorst4.79Таблица 4.4 – Значения индекса Нитцана-Келли для 4-х агентов и 4-хальтернативМетод7Отн.БольшинствоОдобряющееголосованиеq=2Обратноеправило отн.БольшинстваLeximax4Leximin4ARLmax4AR-Lmin4AR-RA4AR-RL4AR-DCRA4AR-ICRL4PBest4PWorst40,421880,515630,685190,490740,843750,343750,60938 0,475690,58312 0,402130,684680,658420,515630,42130,656250,59006 0,480250,668190,515630,515630,515630,42130,42130,42130,656250,656250,656250,58398 0,45660,58398 0,480250,59006 0,45660,661020,661020,668190,515630,42130,656250,59006 0,480250,668190,515630,42130,656250,583980,45660,661020,421880,515630,685190,490740,843750,343750,60938 0,401690,58312 0,476130,684680,65842ПравилоБордаПравилоБлэкаПороговоеправилоМежду тем, для случая 4-х агентов и рассматриваемых правил впредставленной Табл.
4.4 есть методы, которые совпадают полностью:AR-Lmax4 и AR-DC-RA4, а также AR-Lmin4 и AR-IC-RL4. Это связанос тем, что данные методы отличаются только соотношением наборов{a, d } и {b, c} . То, что значения индексов совпадают, говорит о том, чтоне существует возможного искажения предпочтений, которое обеспечитпереход коллективного выбора из {a, d} в {b, c} или наоборот. Дляупрощенногопредставлениярезультатовмыпредставимлишьнесколько типичных графиков, показывающих соотношения правил.7Для расшифровки названий методов и вида расширенных предпочтений см.приложение А80Рисунок 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
