Диссертация (1137703), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Обобщаярезультатыизтаблиц4.11-4.13,можноотметить,чтосредимажоритарных правил как минимум одно из следующих четырех, вподавляющембольшинствеслучаевявляетсянаименееманипулируемым: Минимальное недоминируемое множество, правилоФишбурна, Непокрытое множество 2 и правило Коупленда 3. Именноданные правила мы будем рассматривать в дальнейшем для сравнения справилами из других групп.4.1.4. q-Паретовские правилаРассмотрим группу q-Паретовских правил. Результаты оценкистепени манипулируемости этих правил для случая трех альтернативпредставлены на Рис. 4.28, 4.29.Отметим необычное поведение Сильного q-Паретовского правилапростогобольшинства:подостижении10-12агентовмераманипулируемости резко начинает убывать и практически достигаетнуля. Эта особенность объясняется с помощью разрешимости, ужезатронутой при описании правил из предыдущего раздела.
Придостаточно большом числе участников правило просто перестает"работать": для подавляющего большинства случаев в качестве выборадается набор a, b, c , то есть правило не позволяет выбрать ни однуальтернативу или каким-то образом уменьшить выбор, откинув какуюлибо из них.
Разумеется, в этом случае правило становится практически113неманипулируемым,посколькукакбыагентнименялсвоипредпочтения выбор не изменится и останется a, b, c.Рисунок 4.28. Индекс Нитцана-Келли для расширения PBest3Рисунок 4.29. Индекс Нитцана-Келли для расширения PWorst3114Эти данные подтверждаются и расчетами. Доля множественноговыбора для Сильного q-Паретовского правила простого большинства вслучае 3-х агентов составляет 22,2% (из них доля a, b, c – 5,6%), вслучае 10-ти 76% (из них доля a, b, c 31,2%) , а в случае 100 – 99,9% (изних доля a, b, c – 99,8%).
Таким образом, можно сказать, что внекоторомродепротивоположныеразрешимостьдругдругуинеманипулируемостьпонятия.Поэтомуважноэтоприсопоставлении манипулируемости правил проверять их значимость,поскольку меньшая манипулируемость может объясняться также именьшей разрешимостью (большим количеством множественноговыбора среди всех возможных исходов).Как и в предыдущих частях рассмотрим, к каким группамотносятся данные правила с точки зрения периодичности изменениязначения индексов. Из Рис. 4.28, 4.29 видно, что период для Сильного иСильнейшего q-Паретовских правил простого большинства равен двум.Зависимость от четности-нечетности обосновывается как раз тем, что вобоих правилах ключевую роль играют минимальные коалициипростого большинства, размер которых зависит от четности-нечетностичисла агентов.
Например, для случая 10 агентов минимальная коалицияпростого большинства будет состоять из 6 участников, однако дляслучая 11 агентов размер минимальной коалиции будет таким же.Относительно больший размер коалицииправила:дляСильнейшегоснижает разрешимостьq-Паретовскогоправилапростогобольшинства в случае 10-ти агентов доля множественного выборасоставляет 32,5%, тогда как для случая 11-ти – 8%. Как видно изрисунков 4.28, 4.29, Сильное q-Паретовское правило относительногобольшинства имеет период равный количеству альтернатив, так какусиление разрешимости путем подсчета числа коалиций, в которые115входит каждая альтернатива, порождает именно такую периодичность вмножественном выборе.Обобщим результаты в Табл. 4.14.PBest3S-estSqppS-est~S-estS-estPWorst3567~2122Leximax3S-estLeximin34*Sqsm,S-estSqsm,SqppS-estSqsm~SqsmSqsmАгентыSqpp,S-estPBest3Leximin33PWorst3АгентыLeximax3Таблица 4.14 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 3-х альтернатив и q-Паретовских правилSqpp,S-estSqsm,S-estSqpp,S-estS-estSqppS-est~S-estSqsmSqppS-estS-est~S-estS-est23242529303940~100S-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsm~SqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmS-estSqsmS-estS-estSqsmSqsmSqsm~SqsmSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmS-estПримечание: * – все правила группы; S-est – Сильнейшее q-Паретовское правилопростого большинства; Sqpp – Сильное q-Паретовское правило относительногобольшинства; Sqsm – Сильное q-Паретовское правило простого большинстваКак видно из Табл.
4.14 с ростом числа агентов Сильное qПаретовскоеправилопростогобольшинствастановитсяменееманипулируемым, однако в силу описанных выше обстоятельств этопроисходит лишь за счет низкой разрешимости.Рассмотрим ситуацию 4-х альтернатив на Рис. 4.30–4.32.116Рисунок 4.30. Индекс Нитцана-Келли для расширения PBest4Рисунок 4.31. Индекс Нитцана-Келли для расширения PWorst4117Рисунок 4.32. Индекс Нитцана-Келли для расширения AR-Lmax4Здесь стоит отметить несколько особенностей. Во-первых,Сильное q-Паретовское правило простого большинства не становитсянаименее манипулируемым даже при достаточно большом числеучастников.
Несмотря на то что оно по-прежнему обладает низкойразрешимостью (длясоставляет73,5%),ста агентов долянаблюдаетсямножественногобольшоеразнообразиевыборатиповмножественного выбора, и случаев, когда правило совсем "не работает",чрезвычайно мало: лишь в 0,07% случаев выбором является a, b, c, d .Во-вторых, отметим необычные изменения в периодичностииндекса Нитцана-Келли для Сильного и Сильнейшего q-Паретовскихправил простого большинства. Несмотря на то что период все равноостается равным двум, по достижении некоторого количества агентовчисло агентов, для которого наблюдается минимальное значение, ичислоагентов, для которого наблюдается максимальное значение,меняются местами.
Это четко видно на Рис. 4.31 для Сильного q118Паретовского правила простого большинства (сначала минимум длячетного числа агентов, потом для нечетного) и на Рис. 4.32 дляСильнейшего q-Паретовского правила простого большинства (сначаламинимум для нечетного числа агентов, потом для четного). Причинаданного явления кроется в особенностях правил и выходит за рамкиданного диссертационного исследования. Можно лишь отметить, чтосам момент перехода и его наличие зависит от метода расширенияпредпочтений.В Табл.
4.15 обобщены данные результаты.Таблица 4.15 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 4-х альтернатив и q-Паретовских правилАгентыLeximin4Leximax4PWorst4PBest4AR-Lmin4,AR-RA4,AR-IC-RL4AR-Lmax4,AR-DCRA4AR-RL43S-estS-estS-estSqsm,Sqpp4S-estS-estSqpp56S-est S-estS-est S-estS-est S-est~~~~5059чет нечетS-est S-est S-est S-estS-est S-est S-est S-estS-est S-est S-est S-est100S-estS-estS-estS-estSqpp S-est~S-est S-est S-estS-estS-estS-estSqsm S-est S-est~S-est S-est S-estS-estS-estSqppS-est S-est~S-est Sqpp S-estSqppS-estSqppS-est S-est~S-est S-est S-estS-estS-estSqsm,SqppSqsm,SqppПримечание: * – все правила группы; S-est – Сильнейшее q-Паретовское правилопростого большинства; Sqpp – Сильное q-Паретовское правило относительногобольшинства; Sqsm – Сильное q-Паретовское правило простого большинстваРассмотрим случай пяти альтернатив на Рис.
4.33, 4.34.119Рисунок 4.33. Индекс Нитцана-Келли для расширения PBest5Рисунок 4.34. Индекс Нитцана-Келли для расширения PWorst5120Как видно из графиков в случае пяти альтернатив сноваактивизируется эффект низкой разрешимости Сильного q-Паретовскогоправила простого большинства: для 100 агентов доля множественноговыбора составляет 91,7% из них 80,2% - это ситуация, когда правило неработает и дает a, b, c, d , e в виде коллективного выбора.Обобщим результаты в Табл. 4.16.S-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmSqsm, SqppS-estSqppS-estS-estS-estS-estS-estSqppS-estSqppS-estS-estS-estS-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmS-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsmSqsmSqsm~Sqsm121AR-RL5S-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmSqsm, SqppAR-RA5100AR-Lmax5,AR-DC-RA5,AR-DC-RL5S-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsm~SqsmAR-Lmin5,AR-IC-RA5,AR-IC-RL516~20нчч25293039404950596069707980~Sqsm, SqppS-estSqppS-estSqppS-estSqppS-estSqppS-estSqppS-estS-estS-estPBest5S-estS-estS-estSqppS-estS-estS-estPWorst5Leximin534567чнчLeximax5АгентыТаблица 4.16 – Минимально манипулируемые правила согласно индексуНитцана-Келли для 5-и альтернатив и четвертой группы правилSqsm, SqppSqsmS-estS-estS-estS-estS-estS-estSqppS-estSqppS-estS-estS-estS-est~S-estSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmS-est~S-estS-estS-estS-estS-estS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmS-est~S-estS-estS-estS-estSqsmS-estSqsmS-estSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsmSqsm~SqsmSqsmS-estS-estS-estS-estS-estПримечание: * – все правила группы; S-est – Сильнейшее q-Паретовское правилопростого большинства; Sqpp – Сильное q-Паретовское правило относительногобольшинства; Sqsm – Сильное q-Паретовское правило простого большинстваКак видно из таблицы, на определенном этапе Сильное qПаретовское правило простого большинства становится наименееманипулируемым.Таким образом, из группы q-Паретовских правил стоит выделитьСильнейшее q-Паретовское правило простого большинства, которое вбольшинстве случае демонстрирует наименьшую манипулируемость вданном классе правил.
В силу низкой разрешимости Сильное qПаретовское правило простого большинства не будет рассматриватьсяприпоискеминимальноманипулируемыхправил,которыерассматриваются в итоговой части данного раздела.4.1.5. Минимально манипулируемые правилаРассмотрим следующие правила, которые являются наименееманипулируемыми в большинстве случаев, из описанных в предыдущихразделах: процедуры Хара, Нэнсона, Минимальное недоминируемоемножество, Непокрытое множество 2, правила Коупленда 3 иФишбурна, а также Сильнейшее q-Паретовское правило простогобольшинства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
