Главная » Просмотр файлов » Kiritchenko_Summary_2018_title

Kiritchenko_Summary_2018_title (1136187), страница 4

Файл №1136187 Kiritchenko_Summary_2018_title (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова) 4 страницаKiritchenko_Summary_2018_title (1136187) страница 42019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Here s1 and s2 denote the reflections associated with the shorter and longer simple roots, respectively. One can show thatthis polytope is defined by 8 inequalities and moreover one can choose coordinates(y1 , y2 , y3 , y4 ) in R4 so that precisely 4 inequalities become homogeneous, namely,0 ≤ y1 , 0 ≤ 2y4 ≤ y3 ≤ 2y2 [9, Example 3.4], [8, Example 2.9]. However, Pλ iscombinatorially different from the string and FFLV polytopes [10, Section 3.4]. Thefaces of Pλ that contain 0 can be encoded by the following diagram:+ ⇐⇒ 0 = y1+ ⇐⇒ 0 = y4+ ⇐⇒ y4 = y23 , e.g.

{y1 = 0, y3 = 2y2 } is encoded by +.+ ⇐⇒ y3 = 2y2+13Geometric mitosis reduces to a simple combinatorial rule. According to this rule theSchubert cycles on Sp4 /B can be represented by the following unions of faces of Pλ .+++ , Ss1 =Sid = {0} =+++∪ +S s1 s2 =+++ , Ss2 = + + ,+, Ss2 s1 =++ , Ss1 s2 s1 =∪ +, Ss2 s1 s2 s1 = Pλ =+,+Ss2 s1 s2 =+ ∪.+4.3. Newton–Okounkov polytopes of flag varieties. Fix the decompositionw0 = (s1 )(s2 s1 )(s3 s2 s1 ) . .

. (sn−1 . . . s1 ) of the longest element w0 ∈ Sn . Here si :=(i i + 1) is the i-th elementary transposition(simple reflection in the case of thenWeyl group Sn ). Denote by d := 2 the length of w0 .Fix a complete flag of subspaces F • := (F 1 ⊂ F 2 ⊂ . . . ⊂ F n−1 ⊂ Cn ) (thisamounts to fixing a Borel subgroup B ⊂ GLn ). Also fix a basis e1 ,.

. . , en in Cncompatible with F • (or a maximal torus in B), that is, F i = he1 , . . . , ei i. In whatfollows, w` for ` = 1,. . . , d denotes the subword of w0 obtained by deleting the first `simple reflections in w0 , and w` denotes the corresponding element of Sn . Considerthe flag of translated Schubert subvarieties:−1−1w0 Xid ⊂ w0 wd−1Xwd−1 ⊂ w0 wd−2Xwd−2 ⊂ . . . ⊂ w0 w1−1 Xw1 ⊂ GLn /B,(∗)where Schubert subvarieties are taken with respect to the flag F • , i.e., Xw =BwB/B. Recall that the open Schubert cell C with respect to F • is defined asthe set of all flags M • that are in general position with the standard flag F • ,i.e., all intersections M i ∩ F j are transverse. Let y1 , .

. . , yd be coordinates onthe open Schubert cell C (with respect to F • ) that are compatible with (∗), i.e.,w0 w`−1 Xw` ∩ C = {y1 = . . . = y` = 0}.For instance, we can identify the open Schubert cell C with an affine space Cd bychoosing for every flag M • a basis v1 ,. . . , vn in Cn of the form:v1 = en + xn−1en−1 + . . . + x11 e1 ,1v2 = en−1 + xn−2en−2 + . . . + x12 e1 ,2..., vn−1 = e2 + x1n−1 e1 ,vn = en ,so that M i = hv1 , . . .

, vi i. Such a basis is unique, hence, the coefficients (xij )i+j<nare coordinates on the open cell. It is not hard to check that the coordinates(y1 , . . . , yd ) := (x1n−1 ; x1n−2 , x2n−2 ; . . . ; x11 , x21 , . . . , x1n−1 ) are compatible with (∗). In14other words, every flag M • ∈ C gets identified with a triangular matrix: 1x1 x12 . . . x1n−1 1 x21 x22 . . .10 .., ....0xn−1 1 . . .0011000and we order the coefficients (xij )i+j<n of this matrix by starting from column (n−1)and going from top to bottom in every column and from right to left along columns.In [10, Section 2.2] we give another example of coordinates compatible with (∗).The latter coordinates are more natural from the geometric viewpoint and are relatedto geometry of the Bott–Samelson variety associated with w0 .Fix the lexicographic ordering on monomials in coordinates y1 , .

. . , yd so thaty1  y2  . . .  yd . Let v denote the lowest order term valuation on C(Xw0 ) =C(GLn /B) associated with these coordinates and ordering. Let Lλ be the linebundle on GLn /B corresponding to a dominant weight λ := (λ1 , . . . , λn ) ∈ Znof GLn . Denote by ∆v (GLn /B, Lλ ) ⊂ Rd the Newton–Okounkov convex bodycorresponding to GLn /B, Lλ and v.Theorem 4.4. [10, Theorem 2.1] The Newton–Okounkov convex body∆v (GLn /B, Lλ ) coincides with the Feigin–Fourier–Littelmann–Vinberg polytopeF F LV (λ).We now recall the definition of F F LV (λ). Label coordinates in Rd correspondingto (y1 , .

. . , yd ) by (u1n−1 ; u2n−2 , u1n−2 ; . . . ; un−1, un−2, . . . , u11 ). Arrange the coordinates11into the tableλ1λ2λ3...λn...u1n−1u12u11u21...u2n−2(F F LV )......un−21u1n−1u2n−2The polytope F F LV (λ) is defined by inequalities ulm ≥ 0 andXulm ≤ λi − λj(l,m)∈Dfor all Dyck paths going from λi to λj in table (F F LV ) where 1 ≤ i < j ≤ n.For instance, the computation of the polytope ∆v (GLn /B, Lλ ) for n = 3 andλ = (1, 0, −1) is illustrated in Examples 1.4, 1.7, 2.3.References[ACK] B. H. An, Yu. Cho, J.

S. Kim, On the f -vectors of Gelfand–Cetlin polytopes, EuropeanJ. of Comb., 67 (2018), 61–7715[B75] D.N. Bernstein, The number of roots of a system of equations, Funct. Anal. Appl., 9(1975), 183–185[BGG] I.N. Bernstein, I.M. Gelfand, S.I. Gelfand, Schubert cells, and the cohomology ofthe spaces G/P , Russian Math. Surveys 28 (1973), no. 3, 1–26.[BE] P. Bressler, S. Evens, Schubert calculus in complex cobordism, Trans. Amer. Math. Soc.,331 (1992), no. 2, 799–813[Br89] M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietes spheriques, DukeMath J. 58 (1989), no.2, 397–424[BJ] M. Brion, R. Joshua, Equivariant Chow ring and Chern classes of wonderful symmetricvarieties of minimal rank, Transform.

Groups 13 (2008), no. 3-4, 471–493[CP83] C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect. Notes in Math.996, Springer, 1983[CP85] C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties II Intersection theory,Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), Algebraic groups and related topics, 481–513[CZZ] B. Calmès, K. Zainoulline, C. Zhong, Equivariant oriented cohomology of flag varieties, Documenta Math.

Extra Volume: Alexander S. Merkurjev’s Sixtieth Birthday (2015),113–144[D] M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Collection of articlesdedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70th birthday, I. Ann. Sci. École Norm. Sup.4 7 (1974), 53–88[FaFL] X. Fang, Gh.

Fourier, P. Littelmann, Essential bases and toric degenerations arisingfrom generating sequences, Adv. in Math. 312 (2017), 107–149[FN] N. Fujita and S. Naito, Newton-Okounkov convex bodies of Schubert varieties and polyhedral realizations of crystal bases, Math. Z. 285 (2017), 325–352[KaKh] K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Newton convex bodies, semigroups of integral points,graded algebras and intersection theory, Ann. of Math.(2) 176 (2012), no.2, 925–978[KaKh2] K. Kaveh, A.G.

Khovanskii, Convex bodies associated to actions of reductive groups,Moscow Math. J. 12 (2012), no. 2, 369–396[KaKh3] K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Complete intersections in spherical varieties, SelectaMath. 22 (2016), no. 4, 2099–2141[Kaz] B.Ya. Kazarnovskii, Newton polyhedra and the Bezout formula for matrix-valued functions of finite-dimensional representations, Functional Anal.

Appl. 21 (1987), no. 4, 319–321[Kh78] A.G. Khovanskii, Newton polyhedra, and the genus of complete intersections, FunctionalAnal. Appl. 12 (1978), no. 1, 38–46[Ko] M. Kogan, Schubert geometry of flag varieties and Gelfand–Cetlin theory, Ph.D. thesis,Massachusetts Institute of Technology, Boston 2000[Kou] A.G. Kouchnirenko, Polyèdres de Newton et nombres de Milnor, Invent. Math.

32 (1976),no.1, 1–31[LM] R. Lazarsfeld, M. Mustata, Convex Bodies Associated to Linear Series, Annales Scientifiques de l’ENS 42 (2009), no. 5, 783–835[O97] A. Okounkov, Note on the Hilbert polynomial of a spherical variety, Functional Anal.Appl. 31 (1997), no. 2, 138–140[O98] A. Okounkov, Multiplicities and Newton polytopes, Kirillov’s seminar on representationtheory, Amer.

Math. Soc. Transl. Ser. 2, 181 (1998), 231–244E-mail address: vkiritch@hse.ruLaboratory of Algebraic Geometry and Faculty of Mathematics, National Research University Higher School of Economics, Russian Federation, Usacheva str.6, 119048 Moscow, Russia16Institute for Information Transmission Problems, Moscow, Russia.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее