Лекция по сходимости почти наверное (1134069), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

,[∞> δ,Pω : |ξnk (ω) − ξ(ω)| > ε0s = 1, 2, . . . ,k=sи, в силу (3.4),P lim sup ω : |ξnk (ω) − ξ(ω)| > ε0 = lim Ps→∞k→∞[∞> δ > 0.ω : |ξnk (ω) − ξ(ω)| > ε0k=sЭто означает, что для подпоследовательности {ξnk }k=1,∞ и, следовательно, для всейпоследовательности {ξn }n=1,∞ неверно, что они сходятся к случайной величине ξс вероятностью единица.Усиленный закон больших чисел. Напомним, что если случайные величиныξ1 , ξ2 , .

. . попарно некоррелированы, cov(ξi , ξj ) = 0 при любых i 6= j, и дисперсииэтих случайных величин ограничены в совокупности, Dξk 6 σ 2 для всех k = 1, 2, . . . ,то при n → ∞n1XP(ξk − M ξk ) → 0.nk=1Это утверждение носит название закон больших чисел (в форме Чебышёва) и вытекает из неравенства Чебышёва: X Xnn1 n1 Xnσ 21n → ∞.(ξk − M ξk ) > ε 6 Dξk = 2Dξk 6 2 2 → 0,P nnnn εk=1k=1k=1В частности, если M ξk = µ для всех k = 1, 2, .

. . , тоn1XPξk → µ.nk=1Докажем, что в этом случае имеет место и сходимость с вероятностью единица.Эта теорема носит название усиленный закон больших чисел.Теорема 3.1. Если ξ1 , ξ2 , . . . некоррелированы, cov(ξi , ξj ) = 0 при любых i 6= j ,и M ξk = µ, Dξk 6 σ 2 < ∞ для всех k = 1, 2, . . . , тоn1 X п. н.ξk → µ.nk=1Сделав замену ξk 7→ ξk − µ, мы будем считать, что µ = 0. Поскольку доказательство довольно длинное и в большой степени техническое, разобъём его на двечасти.6Теорема 1.1.

Пусть случайные величины αm и βm с вероятностью единицапринимают неотрицательные значения и11,P (βm > ε) 6 O,(3.11)P (αm > ε) 6 Om2m2т. е. вероятность можно оценить сверху некоторой величиной, которая имеетпорядок O(1/m2 ) при m → ∞. Для любого n = 1, 2, . . . выберем натуральное число mn так, чтобы m2n < n 6 (mn + 1)2 . Если для всех ω ∈ Ω верна оценка X1 n(3.12)ξk (ω) 6 αmn (ω) + βmn (ω),nk=1тоn1 X п. н.ξk → 0.nk=1Доказательство. В силу условия (3.11) имеем∞X∞XP (αm > ε) < ∞,m=1P (βm > ε) < ∞,m=1п.

н.п. н.отсюда по лемме 3.5 αm → 0 и βm → 0 при m → ∞, другими словами, найдутсямножества A, B ⊂ Ω такие, что при m → ∞αm (ω) → 0 при всех ω ∈ A,βm (ω) → 0 при всехω∈Bи при этом P (A) = 1, P (B) = 1. Тогда на множестве A ∩ B мы имеем для m → ∞αm (ω) + βm (ω) → 0при всех ω ∈ A ∩ B,P (A ∩ B) = 1.Очевидно, что это же утверждение верно и для любых подпоследовательностей{αmn }n=1,∞ и {βmn }n=1,∞ . Выбирая эти подпоследовательности так, как сказано в условии теоремы, т. е.

из условия m2n < n 6 (mn + 1)2 , получаем, что для всехω ∈ A ∩ B (где P (A ∩ B) = 1) и для всех n > 1 X1 nn → ∞,ξk (ω) 6 αmn (ω) + βmn (ω) → 0,0 6 nk=1что и влечётn1 X п. н.ξk → 0.nk=1Теорема 1.2. Для любого n > 1 и для любых n1 , n2 таких, что n1 < n 6 n2 ,существуют такие случайные величины αn1 и βn1 ,n2 , что для любого ω ∈ Ω n1 Xξk (ω) 6 αn1 (ω) + βn1 ,n2 (ω),(3.13)06nk=1и при n1 = m2 и n2 = (m + 1)2 выполнено условие (3.11).7Доказательство.

Всюду в доказательстве мы будем опускать зависимость случайных величин от ω, если утверждение верно для любого ω ∈ Ω.Начнём с простых неравенств n n1n1 X 1 X 1 X 1ξk 6 ξk + ξk 6 nn1n1n1k=1k=1k=1nXk=n1 +1Далее положимξk ,n1 < n.(3.14) X 1 n1 defξk = αn1 n1k=1и тем самым определим случайную величину αn1 , причём, очевидно, αn1 > 0 с вероятностью единица.Для определения случайной величины βn1 ,n2 запишем следующее очевидное неравенство, справедливое при n1 < n 6 n2 : 1 n1nXk=n1 +1ξk 61max n1 <r6n2 n1rXk=n1 +1 defξk = βn1 ,n2 .Понятно, что βn1 ,n2 > 0 с вероятностью единица.Подставляя все полученные оценки в (3.14), получаем (при n > 1) X1 nξk 6 αn1 + βn1 ,n2 ,nn1 < n 6 n2 .k=1Итак, мы нашли случайные величины αn1 и βn1 ,n2 такие, что выполнено неравенство (3.13).Для получения оценок (3.11) применим неравенство Чебышёва (напомним, чтоM ξk = 0, Dξk 6 σ 2 ): для любого ε > 0P (αn1 > ε) = PДалее, событие X Xn1n 1 n1 1 Xσ21 11=Dξk 6D.ξξ>ε6kk2 n122εn1n1 εn1 ε 2k=1k=1k=1(3.15)βn1 ,n2 1= max n<r6n2 n1defrXk=n1 +1ξk > εпроисходит тогда и только тогда, когда найдётся номер r из интервала значенийn < r 6 n2 , при которомr1 Xξk > ε, n1k=n1 +1что, как обычно, можно перформулировать в терминах объединения множеств:ω : βn1 ,n2 > ε =n2[ω:r=n1 +181 n1rXk=n1 +1ξk > ε .ОтсюдаP βn1 ,n2 > ε) = P6n2[ω:r=n1 +1n2Xr=n1 +1 1 n1rXk=n1 +1rX 1P n1k=n1 +1ξk > ε6ξk > ε ,(3.16)где мы воспользовались леммой 3.1.

Снова применим неравенство Чебышёва:rr 1 X1 X1P ξk > εξk =6 2Dn1εn1k=n1 +1=k=n1 +1rX1Dξkn21 ε2k=n1 +161rXσn21 ε2k=n1 +12=(r − n1 )σ 2.n21 ε2Подставляя эту оценку в каждое слагаемое правой части (3.16), получаемP βn1 ,n2 > ε) 6n2Xr=n1(r − n1 )σ 2σ2=1 + 2 + · · · + (n2 − n1 ) =2222n1 εn1 ε+1=σ 2 (n2 − n1 )(n2 − n1 + 1).n21 ε22(3.17)Подставим в правые части (3.15) и (3.17) значения n1 = m2 и n2 = (m + 1)2 .С учётом равенства(2m + 1)(2m + 2)(n2 − n1 )(n2 − n1 + 1)=2n1m4получаем из (3.15) и (3.17) искомые оценки (3.11):1σ2 1,P (αm > ε) 6 2 · 2 = Oε mm2σ 2 (2m + 1)(m + 1)1P βm > ε) 6 2 ·.=Oεm4m2Теорема доказана.Объединяя утверждения теорем 1.1 и 1.2, получаем доказательство теоремы 3.1.Как следствие усиленного законе больших чисел получаем утверждение о сходимости частоты к вероятности.Теорема 2.

Пусть случайная величина ζn равна частоте наступлений успеховп. н.в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p. Тогда ζn → p.Доказательство. Представим частоту успеха как (ξk – число успехов в единичном (k-м) испытании)nζn =1Xξk ,nP (ξk = 1) = p,P (ξk = 0) = q.k=1Тогда случайные величины ξ1 , ξ2 , . .

. независимы, M ξk = p, Dξk = pq, и мы можемп. н.применить к ним теорему 3.1. Получаем ζn → p.9.

Характеристики

Список файлов лекций