Метод решения второго практического задания (1133517)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Схема переменных направлений для уравнения теплопроводности в прямоугольной областиРассмотрим в качестве примера задачу∂u= 4u + et (x2 − 1) cos y;∂tx ∈ (−1, 1), y ∈ (0, π), t ∈ (0, T ]u|x=−1 = u|x=1 = 0;∂u ∂u == 0;∂y ∂y y=0(1)(2)(3)y=πu|t=0 = 0(4)Первым шагом ее численного решения является введение сетки в области Ω = G⊗[0, T ]:G = {(x, y); −1 6 x 6 1, 0 6 y 6 π}ω̄h = {(xi1 , yi2 ); xi1 = −1 + i1 h1 , i1 = 0, 1, ..., N1 , h1 N1 = 2;yi2 = i2 h2 , i2 = 0, 1, ..., N2 , h2 N2 = π}ω̄τ = {tj = jτ ; j = 0, 1, ..., J, Jτ = T }ω̄hτ = ω̄h ⊗ ω̄τс шагом h1 по x, шагом h2 по y и шагом τ по времени. На введенной сетке будемрассматривать сеточные функции wij1 ,i2 .Вторым шагом является разностная апроксимация оператора Лапласа:Λw = Λ1 w + Λ2 w,гдеΛ1 w =wi ,i −1 − 2wi1 ,i2 + wi1 ,i2 +1wi1 −1,i2 − 2wi1 ,i2 + wi1 +1,i2; Λ2 w = 1 22h1h22(5)В выражениях (5) для краткости индекс j опущен.Уравнение для сеточной функции wij1 ,i2 можем взять в видеwj+1 − wj= Λ σwj+1 + (1 − σ)wj + f j+1/2 ,τгде f j+1/2 = etj+1/2 (x2 − 1) cos y.Начальное условие для функции wij1 ,i2 получаем непосредственно из (4):wi01 ,i2 = 0 для всех i1 = 0, 1, ..., N1 , i2 = 0, 1, ..., N2 .Граничные условия (2) апроксимируются точно:w0,i2 = 0, wN1 ,i2 = 0 для всех i2 = 0, 1, ..., N2 .1(6)Граничные условия (3) могут быть апроксимированы с помощью односторонней разностной производной:wi1 ,1 − wi1 ,0wi1 ,N2 − wi1 ,N2 −1= 0,= 0 для всех i1 = 0, 1, ..., N1 .h2h2(7)Однако порядок апроксимации в этом случае будет лишь O(h2 ).При решении многомерной задачи методом сеток большое значение имеет объемвычислений, то есть число арифметических действий для решения задачи с требуемойточностью.

Явная (σ = 0) и неявная (σ = 1) схемы имеют одинаковый порядок точности. При использовании явной схемы число Qяв действий для определения wj+1 вовсех узлах ωh на слое t = tj+1 пропорционально числу узлов сетки:1Qяв = O,h1 h2но явная схема лишь условно устойчива. В случае неявной схемы для определения wj+1нужно решать систему уравнений, число которых пропроционально числу узлов сетки,то есть1,Qнеяв = O(h1 h2 )2но неявная схема безусловно устойчива. Так называемые экономичные разностные схемы, к числу которых относится и схема переменныхсочетает достоинства направлений,явных и неявных схем (объем работы Qяв = O h11h2 и безусловная устойчивость).Разностная апроксимация уравнения (1) в схеме переменных направлений имеетвид:wj+1/2 − wj= Λ1 wj+1/2 + Λ2 wj + f j+1/2 ,(8)0.5τwj+1 − wj+1/2= Λ1 wj+1/2 + Λ2 wj+1 + f j+1/2 ,(9)0.5τПереход от слоя j к слою j +1 совершается в два этапа с шагами 0.5τ : сначала решаетсяуравнение (8), неявное по направлению x и явное по направлению y, а затем уравнение(9), явное по направлению x и неявное по направлению y.

Значение wj+1/2 являетсяпромежуточным и играет вспомогательную роль. Схема переменных направлений безусловно устойчива при любых шагах h1 , h2 и τ .Рассмотрим подробнее переход со слоя j на промежуточный слой j + 1/2. Используяявный вид разностных операторов Λ1 и Λ2 , приходим к краевой задаче:j+1/2j+1/2j+1/2j+1/20.5γ1 wi1 −1,i2 − (1 + γ1 )wi1 ,i2 + 0.5γ1 wi1 +1,i2 = −Fi1 ,i2 ;j+1/2w0,i2где γα =j+1/2= 0; wN1 ,i2 = 0;τ, α = 1, 2 иh2αj+1/2Fi1 ,i2= 0.5γ2 wij1 ,i2 −1 + wij1 ,i2 +1 + (1 − γ2 )wij1 ,i2 + 0.5τ f j+1/22Рис.

1: График зависимости функции u от координат x и y в момент времени t = 2.Эта задача решается с помощью метода прогонки (см., например, Тихонов А.Н.,Самарский А.А. "Уравнения математической физики") при каждом фиксированномi2 = 1, 2, ..., N2 − 1. В результате получаем значения wj+1/2 во всех узлах сетки ωh .Для того, чтобы осуществить переход со слоя j + 1/2 на слой j, необходимо решитькраевую задачу0.5γ2 wij+1− (1 + γ2 )wij+1+ 0.5γ2 wij+1= −Fij+1;1 ,i2 −11 ,i21 ,i2 +11 ,i2wij+1− wij+1= 0; wij+1− wij+1= 0;1 ,11 ,01 ,N2 −11 ,N2гдеj+1/2j+1/2j+1/2j+1/2Fij+1=0.5γw+w1i1 −1,i2i1 +1,i2 + (1 − γ1 )wi1 ,i2 + 0.5τ f1 ,i2Как и в предыдущем случае, она решается методом прогонки при каждом фиксированном i1 = 1, 2, ..., N1 − 1. В результате получаем значение wj+1 на новом слое.

Припереходе от слоя j + 1 к слою j + 2 процедура повторяется.3Рис. 2: Зависимость функции u от времени t и координаты y при фиксированном x = 0.Рис. 3: Зависимость функции u от времени t и координаты x при фиксированном y =2π/3.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы